等比数列的前N项和(一

1、等比数列的前n项和（一）教学基本流程复习回顾创设情境提出问题师生互动探究问题回归一般解决问题加深理解巩固公式例题讲解形成技能巩固训练反馈提高总结归纳加深理解等比数列的前n项和一、教学目标1、知识与技能目标：掌握等比数列的前n项和公式，能用公式解决一些简单问题。2、过程与方法目标：通过公式的推导，提髙学生的建模意识及探究问题、分析与解决 问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想 及转化思想。3、情感态度与价值观目标：通过经历对公式的探究，激发学生的求知欲，鼓励学生大 胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练其思维品质。二、教学重难点重点:使学生掌握等比数列的前n项

2、和公式，用等比数列的前n项和公式解决实际问题。 难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式。三、教学方法与手段采用教师引导、观察发现、类比、探究、启发式教学等多种教学方法，借助信息技术辅助教学等手段。四、教学过程设计教学 过程教学内容师生互动设计意图复 习 回 顾问题1:等差数列的槪念，等差 数列前n项和公式的推导方法 问题2：等比数列的概念教师提岀问题 学生积极思考 作出回答复习前而所学的内 容，为本节求等比 数列前n项和提供 方法指导创 设 情 境提 出 问 题小故事：国际象棋起源于古代印 度，相传国主要奖赏国际象棋的 发明者-西萨，问他想要什么， 发明者说：“请在棋盘的第

3、1格 子里放上1颗麦粒，第2个格子 里放上2颗麦粒，第3个格子里 放上4颗麦粒，依此类推，每个 格子里放的麦粒数都是前一个 格子里放的麦数的2倍，直到第 64个格子，请给我足够的麦粒 以实现上述要求”，国王觉得这 个要求不高，就欣然同意了。假 泄1000粒麦子的质量为40g, 据查目前世界年度小麦产量约6 亿，根据以上数据，判断国王 是否能实现他的诺言？引导学生分析，如果把各格 所放的麦粒数看成一个数 列，我们就可以得到一个等 比数列，它的首项是1,公比 是2,求第1个格子到第64 个格子各格所放的麦粒总和 就是求这个等比数列前64项 的和。教师引入课题故事设置，激起学 生的学习兴趣，再 提炼

4、数学模型 引入课题师 生 互 动问题：你们知道四萨要的是多少 粒小麦吗？探讨1：求等差数列前n项和时，引导学生写出 S64=l+2+22+-+263 ( 1 )引导学生从等比数列的特征等比数列前n项和 公式推导关键是变加”为“减”，在 教师看来是“天经教学 过程教学内容师生互动设计意图我们用倒序相加法，实质就是消岀发进一步认识，从第二项地义”，在学生看来探去数列中项与项的差异，构造出起，每一项都是前一项的2却是“不可思议”，究相同项，那这里我们能构造相同倍，也就是说将每一项乘以2因此教学中应着力问项以达到化简的目的吗？后就变成了它的后项，这样在这里做文章。题2Sz与S64就会出现许多相同 的项

5、。引导学生写岀 2S64=2+22+23+-+264 （2）探讨2观察（1） （2）两式，它 们有什么共同特征？怎样达到 化简目的？学生观察发现：（2）-（1） 得：SM=2M- （ = 1.84X1（）19 注大约7000亿吨，大约是全 世界一年粮食产量的459倍， 显然国王兑现不了他的承 诺。）教师指岀这就是错位相减 法，并要求学生纵观全过程 反思，为什么（1）式两边同 乘以2问题：一般地,设等比数列aj,让学生自主完成，对个别学在教师的指导下，首项为ai,公比为q,如何求前生进行指导。让学生从特殊到一n项和SM般步步深入，让学 生自己探究公式，探讨 1：由(1-q) Sn=ai-aiqn

6、从而体验到学习的回 归得Sn-对不对？这里1-4引导学生对q进行分类讨论 得出公式s/d）（1）愉快和成就感。般的q能否等于1?若q=l,则 Sn=?1 一 (/解 决 问 题探讨2：结合等比数列的通项公 式an=aiqn-*如何把Sn用a】、务、 q表示出来？引导学生得出公式的另一形式探讨3：公式的适用条件分1一4别是什么？引导学生分析公式的特征，会 为后而熟练选用公式作准备教学 过程教学内容师生互动设计意图总结：0(1)/加(少1)Sn=5 _ql_q已知ai,q.n时用公式(1),已知玄皿的时用公式(2)血2 = 1)深入 理解 巩固 公式根据下列各题中的条件，求相应 的等比数列an的前

7、n项和Sn.(1) a】=3 q=2 n=6(2 )ai=-2.7q=-31an=90学生自行解答 让学生回答答案通过简单应用，让 学生熟记公式，并 会根据条件适当的 选用公式。小结：求等比数列前n项和时，根据已知条件合理选择公式 已知q.aiJi用公式(1)，已知q,ahan用公式(2)例 题 讲 解形 成 技 能例1:(1)已知等比数列an为 丄丄丄求Sso2 4 8(2)已知等比数列1XX2,(XH 0),求 S4。解:(1) Vai= q= 2 2inYl -1- 2L辽丿2551一丄2562(2) Vai=Lq=x/.当 xH 1,1(1-X4)_S4= =(l+x2)(l +x)1

8、-A当 x=l S4=4给学生充足的时间，让其尝 试自行解决，教师再规范解 题过程。练习：已知等比数列1 1 1 *一,一一，一求 s424 8已知数列a.a2,a3,-求Sn让学生理解公式， 记住公式的使用条 件，使其解题过程 规范化。小结：公式(1) (2的使用前提是：等比数列且qHl,所以对于公比是字母的数列， 求和时要注意分类讨论思想例2:(1)在等比数列an 中a-27.a)-.qV0,求 Ss0243(2)等比数列%前n项和为S”若ST, S6=63,求公比q分析：(1) T ai=27,a9= 243学生在教师的提示下自己完 成，然后再展示规范的解题 过程。深化公式，让学生 进一

9、步体会公式的 使用条件，再次强 调分类讨论思想， 同时渗透方程思 想。教学过程教学内容师生互动设计意图=27qs又Vq0 Aq=-1640sF练刃：等比数列an中已知39as= , S3=求 ai 与 q22(1-q3) = (1-q) (1+q+q2)(2)VS3=7, S6=63,又.pHl = 7(1). 1-餐 血也=63.1 一？.q3=8 /. q=2 小结：在等比数列的通项公式及前n项公式中共有ahanjLq,Sn五个虽:，由于有an=aiq.& =）$尸 鱼二 三个式子，所以上述五个咼中可以知三求二，求解时1一彳-q注意解方程思想。例3:某商杨今年销售计算机 5000台，如果平

10、均每年的销售 量比上一年的销售量增加10%, 那么从今年起，大约几年可使总 销售量达到30000台。（结果保留到个位lg0.60.20 lgl.10.041）分析：解决实际问题时，我们应 当先将实际问题转化为数学问 题，再用相应的知识求解。解：根据题意，每年销售量比上 一年增加的百分率相同，所以， 从今年起，每年的销售量组成一 个等比数列an,其中 ai=5000,q=l + 10%=l Sn=30000.5000（1 1.1”）:,=30000给学生充足时间，自己尝试 解决问题，然后教师板书， 规范过程。练习：某市近10年的国内生 产总值从2000亿元开始以 10%的速度增长，这个城市近 1

11、0年的国内生产总值一共是 多少？ （1*2.594）1-1.1涉及实际问题，渗 透建模思想教学 过程教学内容师生互动设计意图整理得1.U1.6两边取对数,得：nlgl.l=lgl.6.lg 1.60.20、An-心心5（年）lgl.l 0.041答：大约5年可以使总销量达到30000 台。小结：解决实际问题，应当先将实际问题转化为相应的数学模型，再用相关的知识 求解，数学模型思想很重要。巩固 训练 反馈 七曰tV lJ见巩固练习学生做巩固练习 完成后，回答答案 教师完善过程征对例题进行练 习，巩固本节课所 学内容总 结 归 纳1 这节课主要学习了等比数列前n项和公式Sn 彳 -q-q血（? = 1）在应用等比数列前n项和公式时若公比为字母，要注意讨论公 比是否为12在推导等比数列前n项和公式时应用的是错位相减法。3.在等比数列中ahan.q.n,sn五个呈:中，会选择适当公式知三求 二，注意方程思想培养学生的口 头表达能力，归纳 概括能力。作业 布置必做题：1 在等比数列a中，已知aj=-La4=64求q与S42某企业去年的产值是138万元