二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(复习

1、二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考点串串讲1二元一次不等式表示平面区域(1) 一般地，二元一次不等式Ax+ By+ C 0在平面直角坐标系中表示直线Ax+ By+ C= 0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线，表示区域不包括边界直线当我们在坐标系中画不等式Ax+ By+ O0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线.(2) 用二元一次不等式表示平面区域，常有一定的规律性，大致可分为以下四种情况(如图所示)必龙+代丫+C孑0(A0t50)Ar+/?.v+CO等式所表示的某一侧的线 Ax + By“直线定 把原点作为不等式所表yi) , Q(x2, 与 Ax

2、2 + + C 与 Ax2 侧异号”.(3) 关于二元一次不等式表示平面区域的几点说明： 用集合的观点和语言分析直线和二元一次不 的平面区域。 Ax+ By+ C 0表示的是直线 Ax+ By+ C= 0平面区域，不包括边界；Ax+ By+ O0表示的是直+ C= 0及直线某一侧的平面区域，包括边界. 画二兀一次不等式表示的平面区域常米用界，特殊点定域”的方法；特别地，当8 0时，常此特殊点. 二元一次不等式组所表示的平面区域为各个 示的平面点集的交集，即公共部分. 在直线I : Ax+ By+ C= 0外任取两点 P(x1 , y2).若P、Q在直线I的同一侧，贝U Ax1 + By1+ C

3、 By2 + C同号；若 P、Q在直线I异侧，贝U Ax1+ By1 + By2 + C异号.这个规律可概括为“同侧同号，异2. 线性规划(1) 线性规划的有关概念 约束条件：由x、y的不等式(或方程)组成的不等式或等式混合组，是 x, y的约束条件. 线性约束条件：关于 x、y的一次不等式(或方程)组成的不等式或等式混合组，是x, y的线性约束条件.x、y的解析式. 目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量 线性目标函数：目标函数为 x、y的一次解析式. 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解：满足线性约束条件的解 (x , y). 可行域：所有可行解组

4、成的集合. 最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解.(2) 求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤： 作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线I. 平移：将直线I平行移动，以确定最优解所对应的点的位置. 求值：解有关的方程组求出最优解，再代入目标函数，求出目标函数的最值.关于线性规划的几点说明： 最优解有时唯一，有时不唯一，甚至是无穷多. 对于二元一次不等式组所表示的区域，如果存在使线性目标函数达到最大或最小的点，那么最值一 定是在该区域的顶点或边界上达到.a z求目标函数z = ax+ by的最值，要把z与直线y bx+評截距联系起来去理解

5、.(5)线性规划的图解法及其应用.图解法的步骤： 求可行解一一即可行域.将约束条件中的每一个不等式，当作等式作出相应的直线，并确定原不等式表示的半平面，然后求出 所有半平面的交集，即为可行解(可行域). 作出目标函数的等值线.目标函数z= ax + by(a、bR且a、b为常数)，当z是一个指定的常数时，就表示一条直线.位于这 条直线上的点，具有相同的目标函数值z,因此称之为等值线.当 z为参数时，就得到一组平行线，这一组平行线完全刻画出目标函数z的变化状态. 求出最终结果.在可行域内平行移动目标函数等值线，从图中能判定问题是有唯一最优解，或是有无穷最优解，或是 无最优解.3. 线性规划的实际

6、应用(1)在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用 它们来完成最多的任务.给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来 完成该项任务. 线性规划中的常见问题：物资调运问题；产品安排问题；合理下料问题；配方问题.(3) 利用线性规划解决实际问题的一般步骤为：模型建立；模型求解；模型应用. 关于线性规划的实际应用的几点说明： 解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽可能地准确，图上操作尽可能规范. 因作图有误差，若图上的最优点并不明显易辨，求不出可能是最优点的坐标 典例对对碰题型一一二兀一次不等式组表示平面区域例1

7、如图，在 ABC中，A(3 , 1) , B( 1,1) , C(1,3)，写出 ABC区域所表示的二元一次不等式组. 分析 首先写出厶ABC三边所在直线方程，然后再根据区域确定不等式组.解析解法一：由两点式得 AB BC CA直线方程并化简为：AB: x+ 2y 1 = 0, BC: x y+ 2 = 0,AC: 2x+ y 5 = 0.线方程左端,2x+y6=0C3A原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直 结合式子的符号可得不等式组为”x+ 2y 1 0,x+2v-l=0丿 x y + 2 0,、2x + y 5 0.由BC的方程及三角形区域在BC下方，根据“异号在下”原则，得不

8、等式x y + 2 0.同理得2x + y 5 0表示直线x 2y+ 1 = 0右下方的点的集合;fx 2y + 1 0, 彳 x + 2y + 1 0,解析不等式上及其右上方x则或3vxw5,它 行线x= 3和x =3上的点.不等式x+ 2y + 1 0表示直线x + 2y+ 1 = 0 的点的集合；不等式 1 v |x 2| w 3,可化为一1wxv 1 表示夹在两平行线 x = 1和x= 1之间或在两平 =5之间的带状区域，但不包括直线x = 1和所以，原不等式组表示的区域如图所示.题型二线性目标函数的最值问题3x + 8y + 15 0,例2已知x,y满足 0,取值范围是.解析 先画出

9、约束条件的可行域，如图所示,3x + 8y + 15= 0,由得 B(3 , - 3),5x + 3y 6= 0,3x + 8y + 15= 0,由 1.求z的最大值和最小值.g x 1.所示)作直线 I : 2y 2x = t ,当I经过点A(0,2)时,当I经过点B(1,1)时, 题型三平面区域的面积问题例3在平面直角坐标系 =(x + y,A. 2c.1zmax= 2X 2 2X 0+ zmin = 2X 1 2X 1 +可行域(如图2a Z/2yx-1/ 丿 / /O1X的44解析=8;=4.xOy中，已知平面区域x y)|(x , y) A的面积为( B.A= (x , y)|x +

10、 y0, y0，则平面区域 BD.u = x + y, 令.Iv = x y,uw 1, f u + v 0,通过画图不难得知不等式组对应的平面区域的面积X 2X 1= 1.故选 B.答案 B点评 求线性平面区域的面积可以先根据不等式组画出相应的平面区域，再求出相应的顶点坐标，根 据图形的特点解决问题.若图形是不规则的多边形，一般是划分为几个三角形分别求面积再相加.在划分 时尽量多构造直角三角形，这样可以降低运算难度变式迁移3求不等式|x| + |y| w2表示的平面区域的面积.解析|x| + |y| w2可化为：Vx0,或 yw 0,x + yw 2.1-x yw 2.其平面区域如图所示.1

11、面积 S= X 4X 4= 8.题型四 利用可行域求非线性函数的最值4x + 2y- 7 0,例4.已知x, y满足条件 x 2y+ 20,3x y 4(-1,-2)延长线上，从而2.5.故z= x2 + y2 + 2x+ 4y的取值范围为一|,点评 禾U用线性规划思想去理解高中数学中的一些最值问题，实际上是对数形结合思想的提升，禾U用 线性或非线性函数的几何意义，通过作图解决最值问题，是从一个新的角度对求最值问题的理解，对于同 学们最优化思想的形成是非常有益的变式迁移42x + y 50且 z= (x + 1)2 + (y + 1)2已知x, y满足条件 3x y 50在什么时候z取得最大值

12、、 解析 作出可行域如图2x+ y 5 = 03x y 5 = 0j3x y 5 = 0解方程组|x 2y + 5 = 0解方程组得 A(2,1)得 B(3,4)z = (x + 1)2 + (y + 1)2的几何意义为可行域内的点(x , y)为点(一1,1)的距离的平方显然当圆过A点时半径最小，最小值为13,圆过B点时半径最大，最最小值，最大值、最小值各是多少?大值为41.题型五 可行域与斜率的最值问题则x的取值范围是()x- y + K 0, 例5若实数x、y满足x 0,yw 2,A. (0,2) B . (0,2C(2 ,+s) D .2 ,+s)x - y + iw 0,的平面区域为

13、如点(x , y)与原点Oy越大，故丄的取值x解析不等式组 x0,表示yw 2,y图所示的厶ABC及其内部(不包括边AC), L表示x 连线的斜率，y2当点(x , y)在B处时，乂有最小值-=2.xIy当点(x , y)由B在区域内向左移动时x越来范围是2 ,).答案 D变式迁移5x 0,2,2.y 2 已知x、y满足yx,贝U的取值范x + 14x + 3yw 12,答案 2,2解析 作出可行域如图所示，设点M(x, y)在可行y 2的坐标为(一1,2)，则目标函数的值为直线PM的斜x + 1y 2PA的斜率分别为一2、2，由图可得的取值范围是x + 1题型六 线性规划的实际应用例6某工厂

14、有甲、乙两种产品，计划每天各生产量不少于15吨，已知生产甲产品 1吨，需煤9吨，电力4千瓦，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦，劳力10个；甲产品每1吨利润7万元， 乙产品每1吨利润12万元；但每天用煤不超过 300吨，电力不超过 200千瓦，劳力只有300个问每天生 产甲、乙两种产品各多少，能使利润总额达到最大？分析将已知数据列成表，如下表所示q=i产岛伍滅PR3(H)M=L ：Jj kW * h )斗52(H)31 71 2解析设每天生产甲、乙两种产品分别为xt、yt，利润总额为z万元，那么9x + 4yW 300,4x + 5yW 200,3x+ 10yw 300,数）经过可

15、行直线4x + 5y =x 15,y 15.作出以上不等式的可行域，如图.目标函数为z = 7x + 12y.作出在一组平行直线 7x + 12y = t中（t为参 域内的点且和原点距离最远的直线.此直线经过200 和直线 3x + 10y= 300 的交点 A（20,24）.即生产甲、乙两种产品分别为20t,24t时，大.zmax= 7X 20+ 12X 24= 428（万元）.变式迁移6某工厂家具车间生产 A B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成，已知木工做一张A、B型桌子分别需要 1h和2h,漆工油一张 A、B型桌子分别需要 3h和1h ;又知木工、漆工每天工作分别不得 超过8

16、h和9h,而工厂造一张 A、B型桌子分别获得利润200元和300元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？解析 设每天生产 A型桌子x张，B型桌子y张，则x+ 2yw 8,1 3x + yw 9,x 0,目标函数为：z= 2x + 3y,作出可行域如图中阴影部分所示,把直线I : 2x + 3y = 0的点M,且与原点距离最大，x + 2y = 8,解方程组tI3x+ y = 9,y 0,每天应生产 A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润.【教师备课资源】题型七 线性规划中的整数解问题例7某运输公司有7辆载重量为6吨的A型卡车与4辆载重量为10吨的B型卡车，有9名驾驶员

17、，在 建造某高速公路中，该公司承包了每天至少搬运360吨土方的任务，已知每辆卡车每天往返的次数是：A型卡车为8次而B型卡车为6次每辆卡车每天往返的成本费用情况是：A型卡车160元，B型卡车252元，试问：A型卡车与B型卡车每天各出动多少辆时公司成本费用最低.分析 本题考查学生的数学建模能力及数形结合能力解题时一定注意最优解是整数解.解析 设每天出动的 A型卡车数为x,则0wx乙每天出动的 B型卡车数为y,贝U 0y 360,每天公司所花成本费用为z= 160x+ 252y.0W xw 7,0W y W 4,本题即求满足不等式组x + yw 9,48x + 60y 360.且使z= 160x +

18、 252y取得最小值的非负整数x与y的值.不等式组表示的平面区域，即可行域如图所示，其可行域为四边形ABCD区域(含边界线段)，它的顶点52是A(2，4)，B(7, 5)，C(7,2)，D(5,4).结合图象可知，在四边形区域上，横坐标与纵坐标都是非负整数的点只有 P1(3,4)、P2(4,3)、P3(4,4)、P4(5,2)、P5(5,3)、D(5,4)、P6(6,2)、P7(6,3)、P8(7,1) , C(7,2) 共10个点.作直线 l : 160x + 252y = 0.将I向上方作平行移动，可发现它与上述的10个点中最先接触到的点是P4(5,2)，所以在点P4(5,2)处，得到的z

19、的值最小.zmin = 160X 5+ 252X 2= 1304.答：当公司每天出动 A型卡车5辆，B型卡车2辆时，工司的成本费用最低变式迁移7x+ 2y8已知x、y满足约束条件2x+ y 0,所表示的平面区域为 Dn,设Dn内的整点个数为 an(n N*)(整点例8设不等式组*；y 0,吕 nx + 3n,即横坐标和纵坐标均为整数的点).(1)求数列an的通项公式；记数列an的前n项和为Sn,且Tn= 雲，若对于一切正整数n,总有Tn0, nx+ 3ny 0,得 0vx v 3,. x= 1 或 x = 2. Dn内的整点在直线 x= 1或x= 2上.记直线y= nx+ 3n为I , I与直

20、线x = 1、x= 2的交点的纵坐标分别为 y1、y2,则 y1 = n+ 3n= 2n, y2= 2n+3n=n, an= 3n(n N*). tSn= 3(1 + 2 + 3+ n)+i+ 111 + 12n Tn= 2n +1 n + 2 -Tn+ 1 Tn=2n+ 111+1 n2n+ 1,当 n3 时，TnTn+ 1, 且 T1= 1v T2= T3= |,3 T2, T3是数列Tn的最大项，故T2=勺点评本题把二元一次不等式组所表示的平面区域和数列综合在一起，所考查的线性规划知识很浅显, 也很简单，核心部分则是考查数列的有关知识变式迁移8一b已知实系数一兀二次方程x2 + (1 + a)x + a+ b+ 1 = 0的两个实根为 x1 , x2，且0v x1 v 1, x2 1，则-a的取值范围是()1 1 1a. (1, 2) B - ( 1， 2C - ( 2， 2D答案