函数性质的综合运用常见题型与解题方法总结

1、函数性质的综合运用1.函数的图像与函数（）的图像所有交点的横坐标之和等于( )A2 B4 C6 D82.已知函数的周期为2，当时函数，那么函数的图像与函数的图像的交点共有( ) A10个 B9个 C8个 D1个【答案】A【解析】考查数形结合思想，在同一直角坐标系中作出两个函数的图像，故下图容易判断出两函数图像的交点个数为10个，故选择3.已知函数若互不相等，且则的取值范围是(A) (B) (C) (D) 【答案】C20【解析】命题意图：本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力.作出函数的图象如右图，不妨设，则则.应选C.4. 设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）

2、5. 设函数f(x)=的最大值为M，最小值为m，则M+m=_答案： 2解析： 设为奇函数，由奇函数图像的对称性知考点定位：本题考查函数的性质,奇函数性质的应用，考查学生的转化能力.【最新考纲解读】1函数与方程结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法2函数模型及其应用比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解

3、函数模型的广泛应用3.函数性质主要是单调性、奇偶性的考查，有时也涉及周期性要求考生会利用单调性比较大小，求函数最值与解不等式，并要求会用定义证明函数的单调性新课标对函数的奇偶性要求降低了很多，故应重点掌握其基本概念和奇偶函数的对称性4.函数的图象主要是在选择与填空题中考查用数形结合法解题和识图能力，大题常在应用题中给出图象据图象求解析式5函数与方程、函数的应用主要考查：(1)零点与方程实数解的关系(2)函数的概念、性质、图象和方法的综合问题(3)导数与零点的结合；方程、不等式、数列与函数的综合问题(4)函数与解析几何知识的综合问题(5)常见基本数学模型，如分段函数，增长率、幂、指、对等【回归课

4、本整合】1.函数的奇偶性.（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：定义法；利用函数奇偶性定义的等价形式：或（）.图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称.（3）函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.若为偶函数，则.若奇函数定义域中含有0，则必有.2. 函数的单调性

5、1.函数单调性的定义：（1）如果函数对区间内的任意，当时都有，则在内是增函数；当时都有，则在内是减函数.（2）设函数在某区间内可导，若，则在D内是增函数；若，则在D内是减函数.单调性的定义（1）的等价形式：设，那么在上是增函数；在上是减函数；证明或判断函数单调性的方法：(1)定义法：设元作差变形判断符号给出结论.其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘积、平方和等形式，再结合变量的范围，假设的两个变量的大小关系及不等式的性质作出判断；(2)复合函数单调性的判断方法：即“同增异减”法，即内层函数和外层函数的单调性相同，则复合函数为增函数；若相反，则复合函数为减函数.解决问题的

6、关键是区分好内外层函数，掌握常用基本函数的单调性；（3）图象法：利用数形结合思想，画出函数的草图，直接得到函数的单调性；（4）导数法：利用导函数的正负来确定原函数的单调性，是最常用的方法.（5）利用常用结论判断：奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；互为反函数的两个函数具有相同的单调性；在公共定义域内，增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数;复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，特别提醒：求单调区间时，勿忘定义域， 3. 函数的周期性.（1）类比“三角函数图像”得：若图像有两条对称轴，则必是周期函数

7、，且一周期为；若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为；如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为；（2）由周期函数的定义“函数满足，则是周期为的周期函数”得：函数满足，则是周期为2的周期函数。4. 函数的对称性.满足条件f(a+x)=f(b-x) 的函数的图象关于直线对称. 点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为；点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为； 点关于原点的对称点为；函数关于原点的对称曲线方程为； 点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为；点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为；曲线关于点的对称曲线的方程

8、为；形如的图像是双曲线，其两渐近线分别直线(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)，对称中心是点；的图象先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到；的图象先保留在轴右方的图象，擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到.5. 常见的图象变换函数的图象是把函数的图象沿轴向左平移个单位得到的.函数(的图象是把函数的图象沿轴向右平移个单位得到的.函数+的图象是把函数助图象沿轴向上平移个单位得到的；函数+的图象是把函数助图象沿轴向下平移个单位得到的；函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得到的.函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原

9、来的倍得到的. 的图象先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到；的图象先保留在轴右方的图象，擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到. 特殊函数图象:(1)函数:可由反比例函数图象平移、伸缩得到.图1示例.图1图象是双曲线,两渐近线分别直线(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)；对称中心是点.(2)函数：如图2.xyo图2图象类似“对号”，俗称对号函数.定义域；函数的值域为；函数为奇函数，图象关于原点对称；增区间为,减区间为.6.函数的零点（1）一般地，如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

10、f(a)f(b)0，方程f(x)=g(x)在0，1内恒有解；若存在，使得成立，则实数a的取值范围是.其中所有正确结论的序号是_.13.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x1）f（x）。当x0,1时，f（x）x，若g（x）f（x）m（x1）在区间（1,2有3个零点，则实数m的取值范围是（A）（，）（B）（，（C）（D）【答案】B14.定义域为R的函数满足时，若时，恒成立，则实数t的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】当，则，所以 ，当时，的对称轴为，当时，最小值为；当时，当时，取最小值，最小值为；所以当时，函数的最小值为，即，即，所以不等式等价于或，解得或，即的取值范围是，选D.15.设函数是定义在R上以为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为( )A B C D17.函数的定义域为,若且时总有,则称为单函数.例如,函数是单函数.下列命题:函数是单函数;函数是单函数;若为单函数,且,则;函数在定义域内某个区间上具有单调性,则一定是单函数.其中的真命题是 (写出所有真命题的编号).【答案】18.给出定义：若 (其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：的定义域是，值域是；点是的图像的对称中心