第4章机器人逆运动学ppt课件

1、逆运动学: 已知工具坐标系相对于工作台坐标系的期望位置和姿态，计算一系列满足期望要求的关节角 为求出要求的关节角以放置相对于工作台坐标系S的工具坐标系T，可将这个问题分为两部分: 首先，进行坐标变换求出相对于基坐标系B的腕部坐标系 W. 应用逆运动学求关节角,第四章: 操作臂逆运动学 4.1 概述,求解运动方程时，可以从 开始求解。 根据式： 两边同时乘 ， 有： 由此求解 ； 再两边同时乘 ，有： 由此求解 。 依次类推，便可以求解各个关节角度，但通常不需要全部递推过程便可利用等式两边对应项求解,第四章: 操作臂逆运动学 4.1 概述,1. 解的存在性 解是否存在的问题完全取决于操作臂的工作

2、空间. 灵巧工作空间: 机器人的末端执行器能够从各个方向到达的空间区域. 可达工作区间:机器人至少从一个方向上有一个方位可以达到的空间,第四章: 操作臂逆运动学 4.2 可解性,例: 考虑一个两连杆操作臂. 如果 , 则可达工作空间是半径为 的圆，而灵巧工作空间仅是单独的一点，即原点。如果 ，则不存在灵巧工作空间，而可达工作空间为一外径为 ，内径为 的圆环。在可达工作空间内部，末端执行器有两种可能的方位，在工作空间的边界上只能一种可能的方位,第四章: 操作臂逆运动学 4.2 可解性,当一个操作臂少于6自由度时，它在三维空间内不能达到全部位姿. -操作臂的工作空间是一个子空间. -更简单的操作臂

3、的工作空间是这个子空间的子集. 对于少于6个自由度的操作臂来说，给定一个确定的一般目标坐标系，什么是最近的可达目标坐标系？ 一般来说，工具坐标系的变换与操作臂的正逆运动学无关，所以一般常去研究腕部坐标系W的工作空间。对于一个给定的末端执行器，定义工具坐标系T，给定目标坐标系G，去计算相应的腕部坐标系W,第四章: 操作臂逆运动学 4.2 可解性,例: 试着描述三连杆操作臂 的子空间. 利用连杆参数求得操作臂的运动学方程为: 这里 和 是满足约束的任意变量,因此，子空间就建立了.连杆长度和关节的限位决定了操作臂的工作空间,第四章: 操作臂逆运动学 4.2 可解性,例: 试描述下图两自由度操作臂 的

4、子空间. 已知: 这里 可以取任意值. 它的方位是确定的，因为 的方向取决于 它的姿态受限， 总是向下，而 的方向是叉乘求得,第四章: 操作臂逆运动学 4.2 可解性,2. 多重解 一个具有3个旋转关节的平面操作臂，由于从任何方位均可到达工作空间内的任何位置，因此在平面中有较大的灵巧工作空间（给定适当的连杆长度和大的关节运动范围）. 系统最终只能选择一个解，比较合理的选择应当是取“最短行程”解,第四章: 操作臂逆运动学 4.2 可解性,最短行程的确定： 计算最短行程需要加权，使得选择侧重于移动小连杆而不是移动大连杆. 在存在障碍的情况下，最短行程发生干涉，这时选择较长行程,第四章: 操作臂逆运

5、动学 4.2 可解性,解的个数取决于操作臂的关节数量，它也是连杆参数和关节运动范围的函数. 例子: PUMA 到达一个确定目标有8个不同的解. 图中给出了其中的4个解.它们对于末端手部运动来说具有相同的位姿。对于图中所示的每一个解存在另外一种解， 其中最后三个关节变为另外一种位形： 由于关节运动的限制， 这8个解中的某些解是不能实现的,第四章: 操作臂逆运动学 4.2 可解性,通常，连杆的非零参数越多，达到某一特定目标的方式也越多. 以一个具有6个旋转关节的操作臂为例，解的最大数目与等于零的连杆长度参数的数目相关。非零参数越多，解的最大数目就越大,第四章: 操作臂逆运动学 4.2 可解性,3.

6、 解法 与线性方程组不同，非线性方程组没有通用的求解方法，我们把操作臂的全部求解方法分成两大类： 封闭解: 封闭解是指基于解析形式的算法，或者指对于不高于四次的多项式不用迭代便可完全求解。可将封闭解的求解方法分为两类：代数解法和几何解法. 数值解法: 数值解具有迭代性质，所以比封闭解法的求解速度慢得多。通常，数值解的计算也依赖于解的解析形式，一般不用数值解来求解运动学问题，对运动方程的数值迭代本身已形成一个完整的研究领域,第四章: 操作臂逆运动学 4.2 可解性,关于运动学逆解的几个结论: 所有包含转动关节和移动关节的串联型6自由度操作臂都是可解的，但这种解一般是数值解. 对于6自由度操作臂来

7、说，只有在特殊情况下才有解析解。这种存在解析解（封闭解）的操作臂具有如下特性：存在几个正交关节轴或者有多个 为0或 . 具有6个旋转关节的操作臂存在封闭解的充分条件（sufficient condition）是相邻的三个关节轴线相交于一点,第四章: 操作臂逆运动学 4.2 可解性,为了介绍运动学方程的求解方法，这里用两种不同方法对一个简单的平面三连杆操作臂进行求解,第四章: 操作臂逆运动学 4.3 代数解法和几何解法,1. 代数解法 该操作臂的运动方程为,第四章: 操作臂逆运动学 4.3 代数解法和几何解法,研究的是平面操作臂,通过确定三个量 就可以容易确定目标点的位置 : . 所有可达目标点

8、均位于上式描述的子空间内,第四章: 操作臂逆运动学 4.3 代数解法和几何解法,得到四个非线性方程: 上式有解的条件是 的值必须在-1和+1之间。在这个解法中，可用这个约束来检查解是否存在。如果约束条件不满足 ,则操作臂离目标点太远,第四章: 操作臂逆运动学 4.3 代数解法和几何解法,假设目标点在工作空间内，则: 上式是多解的，可以选择正或者负,第四章: 操作臂逆运动学 4.3 代数解法和几何解法,为便于计算引入新的变量: 式中: 为了求解这种形式的方程，进行变量代换: 令 那么 于是有,第四章: 操作臂逆运动学 4.3 代数解法和几何解法,得到 最后，我们解出 : 总之，用代数解法求解运动

9、学方程是求解操作臂的基本方法之一，在求解方程时，解的形式已经确定。可以看出，对于许多常见的几何问题，经常会出现几种形式的超越方程。 注：超越方程：等号两边至少有一个含有未知数的初等超越函数式的方程。如指数方程、对数方程、三角方程、反三角方程等。具有未知量的对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数等的方程。超越方程一般没有解析解，而只有数值解或近似解，只有特殊的超越方程才可以求出解析解来,第四章: 操作臂逆运动学 4.3 代数解法和几何解法,2. 几何解法 为求出操作臂的解，将操作臂的空间几何参数分解成为平面几何参数，然后应用平面几何方法求出关节角度。对于例子中的3自由度操作臂，有于操作臂是平面

10、的，因此利用平面几何关系直接求解。 We have,第四章: 操作臂逆运动学 4.3 代数解法和几何解法,为了使该三角形成立，到目标点的距离 必须满足小于等于两个连杆长度之和,第四章: 操作臂逆运动学 4.3 代数解法和几何解法,应用反正切公式: 应用余弦定理: Here, the arccosine must be solved so that , in order that the geometry which lead to the equation will be preserved. Then we have: 平面内的角度是可以相加的，因此三个连杆的角度之和即为最后一个连杆的姿态:

11、 This equation is solved for to complete our solution,第四章: 操作臂逆运动学 4.3 代数解法和几何解法,3. 通过化简为多项式的代数解法 万能公式,第四章: 操作臂逆运动学 4.3 代数解法和几何解法,例子: 求解超越方程 的 . 利用: 得到: 取u的幂函数形式: 得到: 如果 , 那么,第四章: 操作臂逆运动学 4.3 代数解法和几何解法,尽管一般具有6自由度的操作臂没有封闭解，但在某些特殊情况下还是可解的.PEIPER研究了3个相邻的轴相交于一点的6自由度操作臂。PEIPER的方法主要针对6各关节均为旋转关节的操作臂，且后面3个轴

12、相交。该成果广泛应用于产品化的机器人中,第四章: 操作臂逆运动学 4.4 三轴相交的PIEPER解法,当最后3根轴相交时，连杆坐标系4、5、6的原点均位于这个交点上，这点的基坐标如下,第四章: 操作臂逆运动学 4.4 三轴相交的PIEPER解法,第四章: 操作臂逆运动学 4.4 三轴相交的PIEPER解法,利用 ,得到,第四章: 操作臂逆运动学 4.4 三轴相交的PIEPER解法,We now write an expression for the squared magnitude of , which we will denote as : We now write this equati

13、on, along with the Z-component equation, as a system of two equations in the form: where,第四章: 操作臂逆运动学 4.4 三轴相交的PIEPER解法,Equation * is useful because dependence on has been eliminated and because dependence on takes a simple form. Now consider the solution of for : 1. If , then , where r is known. is

14、 a function of only. After the substitution, a quadratic equation in may be solved for . 2. If , then we have , where z is known. Again, after substituting, a quadratic equation arises that can be solved for . 3. Otherwise, eliminate and , the equation results in an equation of degree 4, which can b

15、e solved for,第四章: 操作臂逆运动学 4.4 三轴相交的PIEPER解法,Having solved for , we can solve equation * for and * for . To complete our solution, we need to solve for . These axes intersect, so these joint angles affact the orientation of only the last link. We can compute them from nothing more than the rotation p

16、ortion of the specified goal,第四章: 操作臂逆运动学 4.4 三轴相交的PIEPER解法,得到 之后 , 我们还需要求 ，由于这些轴相交，所以这些关节角只影响最后连杆的方位，我们只需计算指定目标的方向: 求出 后，当 时，可以由连杆坐标系4相对于基坐标的方位计算出 。坐标系6的期望方位与连杆坐标系4的方位差别仅在于最后三个关节的作用。 对于大多数操作臂来说，完全可以将之前介绍的 Z-Y-Z欧拉角解法应用于,第四章: 操作臂逆运动学 4.4 三轴相交的PIEPER解法,Example: Z-Y-Z 欧拉角的求法 描述一个坐标系 B : 与参考坐标系 A重合，首先绕

17、旋转 然后绕 旋转 ，最后绕 旋转,第四章: 操作臂逆运动学 4.4 三轴相交的PIEPER解法,解: 如果 或 , 解就简化为,第四章: 操作臂逆运动学 4.4 三轴相交的PIEPER解法,例子：puma560机器人逆解: 将含有 的部分移到方程的左边,第四章: 操作臂逆运动学 4.4 三轴相交的PIEPER解法,转置 : 令元素 (2,4) 相等，得到: 进行三角恒等变换: 其中,第四章: 操作臂逆运动学 4.4 三轴相交的PIEPER解法,We obtain If equate both the (1,4) and (3,4) elements: We can obtain,第四章: 操

18、作臂逆运动学 4.4 三轴相交的PIEPER解法,Solved by the same kind of trigonometric substitution: Rewrite again (left-hand side is a function of only knowns and,第四章: 操作臂逆运动学 4.4 三轴相交的PIEPER解法,Equating both the (1,4) and (2,4) elements: We can get We can solve,第四章: 操作臂逆运动学 4.4 三轴相交的PIEPER解法,Equating both the (1,3) and (3,3) elements: As long as , we can solve for as: When , the manipulator is in a singular configuration in which joint axes 4 and 6 line up and cause the same motion of the last link. In this case, all that matters (and all that can be solved for) is the sum o