高考数学一轮复习人教A版参数方程名师制作优质学案(理)

1、专题 02参数方程知识通关1曲线的参数方程xf (t )一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y 都是某个变数 t 的函数，并yg(t )且对于 t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点m(x， y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x， y 的变数 t 叫做参变数，简称参数2参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x， y 中的一个与参数 t 的关系，例如x f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系xf (t)y g(t)，那么就是曲线的参数方程在参数yg(t)方程与普通方程的互化中，必须使x，

2、y 的取值范围保持一致（ 1）参数方程化为普通方程基本思路是消去参数,常用的消参方法有:代入消元法;加减消元法;恒等式 (三角的或代数的)消元法等 ,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧.对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参.如 sin2cos21 等 .（ 2）普通方程化为参数方程曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单; 当参数取某一值时, 可以唯一确定x,y 的值 . 一般地 , 与旋转有关的问题 , 常采用旋转角作为参数 ; 与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数 ; 与实践有关的问题 , 常取时间作为参数 . 此外 , 也常常用

3、线段的长度、某一点的横坐标( 纵坐标 )作为参数 .3常见曲线的参数方程普通方程参数方程过点 m0(x0,y0), 为直线的倾斜角的直线y y0 tan (x x0)xx0t cosyy0( t 为参数 )t sin圆心在原点，半径为r 的圆x2 y2r2xr cosy(为参数 )r sin中心在原点的椭圆x2y2xa cosa2b21(ab0)(为参数 )yb sin【注】（ 1）在直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1 时， t 才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点m (x， y)到 m 0(x0， y0)的距离（2）若圆心在点m0(x0,y0),r,xx0rcos( ).

4、则圆的参数方程为半径为y0rsin为参数y（3xx0a cost）若椭圆的中心不在原点,而在点 m0(x0 ,y0),相应的椭圆参数方程为y0(t 为参数 ).yb sin t基础通关1了解参数方程，了解参数的意义.2能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.题组一参数方程与普通方程的互化（ 1）将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数（ 2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中取值范围的影响，要保持同解变形【例 1】已知直线l 的参数方程为(t 为参数 )，圆 c 的参数方程为（ 1）求直线l 和圆 c 的

5、普通方程；（ 2）若直线l 与圆 c 有公共点，求实数a 的取值范围【解析】（1）直线 l 的普通方程为2x y 2a 0，圆 c 的普通方程为x2 y2 16.（ 2）因为直线l 与圆 c 有公共点，故圆 c 的圆心到直线l 的距离 d|2a |4 ，解得 2 5a25.5x 及 y 的(为参数 )题组二参数方程及其应用学（ 1）解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题xx0at2 b2（ 2）对于形如(t 为参数 )，当 at1的几何意义解题yy0时，应先化为标准形式后才能利用bt【例 2】已知曲线 c： x2y2x2t1，直线 l ：2

6、(t 为参数 ).49y2t（ 1）写出曲线 c 的参数方程，直线 l 的普通方程；（ 2）过曲线 c 上任意一点 p 作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点 a，求 |pa|的最大值与最小值【解析】（1）曲线c 的参数方程为x 2cos ，y 3sin (为参数 )直线 l 的普通方程为2x y 6 0.（ 2）曲线 c 上任意一点 p(2cos ， 3sin )到 l 的距离为 d5 |4cos 3sin 6|，5则 |pa|d 254sin 305|5sin( ) 6|，其中 为锐角，且 tan 3.当 sin( ) 1 时， |pa|取得最大值，最大值为22 5 .5当sin( )

7、1时，|pa|2 5.取得最小值，最小值为5故 |pa|的最大值与最小值分别为225 ， 2 5 .55能力通关1直线参数方程的应用:直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离问题 .它可以避免求交点时解方程组的烦琐运算,但应用直线的参数方程时,需先判断是否是标准形式再考虑参数的几何意义. 设过点m(x0， y0) 的直线l交曲线c 于a ， b 两点，若直线的参数方程为xx0t cosyy0(t 为参数 )，注意以下两个结论的应用：t sin(1)|ab | |t1 t2 |；(2)|ma | |mb | |t1 t2|.2圆的参数方程突出了工具性作用,应用时 ,

8、把圆上的点的坐标设为参数方程的形式,将问题转化为三角函数问题 ,利用三角函数知识解决问题.3 参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程求解时，充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用 和 的几何意义，直接求解，可化繁为简利用参数的几何意义解决问题【例 1】在平面直角坐标系中，已知曲线x1cos为参数），以原点为极点， x 轴c 的参数方程为1sin（y的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2 cos(1.)6（ i ）写出直线 l 的直角坐标方程以及曲线c 的极坐标方程；22（ ii ）若 p(

9、0, 1) ，且直线 l 与曲线 c 交于 m , n 两点，求 | pm |+ | pn |2的值 .(| pm | | pn |)【解析】（i ）依题意，曲线c： x2y21，即 x2y 22x2 y1 0 ，11故曲线 c 的极坐标方程为22cos2sin10 ；3cossin10，所以直线 l 的直角坐标方程因为直线 l 的极坐标方程为 2 cos() 1，即6为 3x y 1 0 .坐标系与参数方程的综合问题xcos【例 2】在直角坐标系xoy 中，曲线 c1 的参数方程为(为参数 )，以原点 o 为极点， x 轴的y3 sin正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2 的极坐标方程为cos

10、()32 4（ 1）求曲线 c1 的普通方程和曲线c2 的直角坐标方程；（ 2）已知点 p 在曲线 c1 上，点 q 在曲线 c2 上，求 | pq |的最小值及此时点p 的直角坐标（ 2）由题意，可设点p 的直角坐标为(cos,3sin) ，因为曲线 c2 是直线，所以 | pq |的最小值即点p 到直线 xy60 的距离的最小值，易得点 p 到直线 xy 60 的距离为 d| cos3sin6|)3|，22 | sin(6当且仅当2k(kz ) 时， d 取得最小值，即| pq |取得最小值，最小值为22 ，此时点 p 的直角3坐标为 ( 1 , 3) 22x2 2cosxx2 后的曲线为

11、 c2 ，【例 3】在平面直角坐标系中，曲线 c1 :sin（为参数）经伸缩变换yyy以坐标原点 o 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（ 1）求曲线 c2 的极坐标方程；（ 2）已知 a, b 是曲线 c2aob3 ob 的取值范围 .上两点，且，求 oa6x2 2cosx 22【解析】（1）曲线 c1y21 ，:sin化为普通方程为：y4xxx2x2，代入上式可知：曲线c2 的方程为y21 ，即 x2y22x ，由2 得yx 1yyy曲线 c2 的极坐标方程为2cos.（ 2）设 a 1,， b2 , （,），623 oa3 ob3 22cos22sin13cos，66因为2 ,

12、 ，636所以 oa3 ob 的取值范围是 2,1 .高考通关1在平面直角坐标系xoy 中，直线 l :x2t1（ t 是参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立yt1极坐标系，曲线c ：4cos.（1）求直线 l 的普通方程与曲线c 的直角坐标方程；（2）试判断直线 l 与曲线 c 是否相交，若相交，请求出弦长；若不相交，请说明理由.【解析】（ 1）由x2t12 y30 ，yt消去 t 得 x1所以直线 l 的普通方程为x 2 y3 0.由4cos两边同乘以得24cos，因为 x2y22 ， xcos，所以 x2y24x ，配方得 (x2)2y24，即曲线 c 的直角坐标方程为(x2

13、)2y24 .（2）法一：由（1）知，曲线c : (x2)2y24的圆心为 ( 2,0) ，半径为，2由圆心到直线的距离公式得(2,0) 到直线 x2 y3| 20 3|50 的距离 d52 ，5所以直线 l 与曲线 c 相交，设交点为a 、 b ，所以 | ab | 2 22( 5 ) 22 95 .55所以直线 l 与曲线 c 相交，其弦长为295 .5法二：由（ 1）知， l : x2 y30 ， c : ( x2)2y24 ，联立方程，得x2 y 3 0，消去 y 得 5x222 x9 0 ，(x2)2y24因为 2224593040 ，所以直线 l 与曲线 c 相交，设交点坐标为 a

14、( x1,y1) ， b( x2 , y2 ) ，由根与系数的关系知229x1 x2， x1x2，55所以 | ab |1)222249295，1 ( )5525所以直线 l 与曲线 c 相交，其弦长为295.学5x32 t2在直角坐标系xoy中 直线l的参数方程为2（ t 为参数） ,以原点为极点 , x 轴的正半轴为极,2 ty12轴建立极坐标系 ,曲线 c 的极坐标方程为2cos6（1）求直线 l 的极坐标方程；（2）若射线0 与直线 l 交于点 p,与曲线 c 交于点 q(q 与原点 o 不重合 ),求oq=的值3opx32 t【解析】（ 1）由2消去 t 得直线 l 的普通方程为x

15、y 4 0 ,2y1t2把 xcos, ysin,代入 x y40得直线 l 的极坐标方程为cossin4 .2）由题意可得 , op48, oq2cos 3 ,（ 13cossin3633所以oq1333.=388op3已知在平面直角坐标系xoy 中，点 p 的坐标为 (1,3) ，在以 o 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 c 的极坐标方程为44 cos2 sin.（ 1）求点 p 的极坐标 (1 ,) (02) 及曲线 c 的参数方程；（2）过点 p 的直线 l 交曲线 c 于m ， n 两点，若 | mn |3 ，求直线 l 的直角坐标方程 .【解析】（ 1）在平面直角坐

16、标系xoy 中，点 p(1,3) 是第一象限内的点，2 ， tan3 且 01，2，3点 p 的极坐标为 (2,) .3曲线 c 的极坐标方程为44cos2sin ，244cos2sin，由2x2y2 ,cosx,siny 得 x2y 244x2 y ，曲线 c 的直角坐标方程为x2y 24x2 y40，即 (x 2) 2( y1) 21 ，x2cos曲线 c 的参数方程为y1sin（为参数） .（2）显然直线 l 的斜率存在，可设直线 l 的方程为 y3 k( x 1) ，即 kx y3 k 0 ，| mn |3 ，圆 c 的半径为1，圆 c 的圆心 (2,1) 到直线 l 的距离为1 ，2

17、| k 13 |1 ，化简得 3k 28(31)k15830 ，解得 k3 或 k8 5 3 ，k 2123直线 l 的直角坐标方程为 3xy2 30或 (853) x3 y 8 3 80 .4 已 知 极 点 与 直 角 坐 标 系 的 原 点 重 合 、 极 轴 与 x 轴 的 正 半 轴 重 合 ， 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为sin()3 1 6 2（ 1）求直线 l 的参数方程；x2cos(a ， b 两点，求点p(1,1) 到 a ， b 两点的距离之积（2）设 l 与曲线sin为参数）相交于y【解析】（ 1）因为直线 l 的极坐标方程为sin()3 1 ，化为直角坐标方程即 y 13 ( x 1) ，623显然直线 l 过点 (1,1)，倾斜角为，6x1t cosx13t2因此直线 l 的参数方程为6，即1 ty1t siny162x1t25在平面直角坐标系 xoy 中，已知曲线 c的参数方程为（ t 为参数），在以 o 为极点， x 轴的正y3t半轴为极轴的极坐标系中，曲线d 的极坐标方程为 (1sin) 2 .（ ）求曲线 c 的普通方程与曲线d 的直角坐标方程；（ ）若曲线 c