高中数学1.3.1二项式定理教案新人教A版选修2-3

1、131 二项式定理教学目 ：知 与技能： 一步掌握二 式定理和二 展开式的通 公式 程与方法：能解决二 展开式有关的 情感、 度与价 ： 教学 程中， 要 学生充分体 到 推理不 可以猜想到一般性的 果，而且可以启 我 一般性 的解决方法。教学重点： 二 式定理及通 公式的掌握及运用教学 点： 二 式定理及通 公式的掌握及运用授 型： 新授 教具：多媒体、 物投影 第一 一、复 引入： ( a b) 2a22abb2c20a2c21 ab c22 b2 ； ( ab) 3a33a2b 3ab2b3c30a3c31a2 bc32ab2c33b3 ( ab) 4(ab)(ab)( ab)( ab)

2、 的各 都是4 次式，即展开式 有下面形式的各 ：a4， a3b ， a2 b2， ab3， b4，展开式各 的系数： 上面4个括号中，每个都不取b的情况有1040种，即ac4c4的系数是；种，恰有 1个取 b 的情况有 c41 种， a3 b 的系数是c41 ，恰有2 个取 b 的情况有 c42 种， a2b2 的系数是 c42，恰有 3 个取 b 的情况有 c43种， ab3的系数是 c43，有 4 都取 b 的情况有 c44种， b4的系数是 c44 ， (a b)4c40a4c41a3b c42a2b2c 43a3b c44b4 二、 解新 ：二 式定理： (ab) ncn0ancn1

3、 anbc nr an r brcnnbn (n n ) (ab)n 的展开式的各 都是n 次式，即展开式 有下面形式的各 ：an ， anb ， an r br ， bn ，展开式各 的系数：每个都不取 b 的情况有 1种，即 cn0 种， an 的系数是 cn0 ；恰有 1个取 b 的情况有 c1n 种， a nb 的系数是 cn1 ，1恰有 r 个取 b 的情况有 cnr种， anr br的系数是 cnr，有n都取b的情况有cnbnnn 种，的系数是n ，c (a b)ncn0ancn1anbcnr an r brc nn bn (n n ) ， 个公式所表示的定理叫二 式定理 ，右 的

4、多 式叫 (ab)n 的二 展开式 ，它有 n 1 ，各 的系数r(r0,1,)cnn叫二 式系数 ， cnr an r br 叫二 展开式的 通 ，用 tr1表示，即通 tr 1cnr an r br二 式定理中， a1,bx， (1x)n11crxrxnnnc x三、 解范例：例 1展开 (11) 4 1x1111464141123341解一：(1x)1c4 (x)c4(x)c4( x)(x)xx2x3x4 解二： (11)4( 1)4 ( x1)4( 1)4x4c1x3c1 x2c3x1xxx44414641xx2x3x4例 2 展开 (2x1)6 x解： (2x1 )61 (2 x1)

5、6xx31(2 x)6c61(2 x) 5c62 (2 x)4c63 (2 x)3c62 (2x) 2c61 (2 x)1x3601213264x192x240x160xx2x3 2第二课时例 3 求 ( xa)12 的展开式中的倒数第4 项解： ( x a)12的展开式中共13 项，它的倒数第4 项是第 10 项，t9 1 c129 x129 a9c123 x3a9220x3 a9例 4 求（ 1） (2a3b) 6 ，（ 2） (3b 2a)6 的展开式中的第 3项解：（ 1） t2 1c62 (2 a)4 (3b)22160a4 b2，（ 2） t2 1c62 (3b) 4 (2 a)

6、24860b4a2 点评： (2a3b)6 ， (3b2a)6 的展开后结果相同，但展开式中的第r 项不相同例 5（ 1）求 ( x3)9 的展开式常数项；3 x（ 2）求 ( x3 ) 9 的展开式的中间两项3xc9r ( x ) 9 r (3 ) rc9r32r93 r解： tr 19 x2 ，3x（ 1）当 93r0,r6 时展开式是常数项，即常数项为t7 c96332268 ；2（ 2） ( x3)9 的展开式共 10项，它的中间两项分别是第5 项、第6 项，3x4899 124251099153x， t62378xt5 c93x3c93x3第三课时例 6（ 1）求 (12 x)7 的

7、展开式的第4 项的系数；（ 2）求 ( x1 )9 的展开式中 x3 的系数及二项式系数x解： (12 x) 7 的展开式的第四项是t3 1c73 (2 x)3280x3， (12x) 7 的展开式的第四项的系数是280（ 2） (x1)9的展开式的通项是tr 1c9r x9r (1) r(1)r c9r x92r ，xx 92r3 ， r3 ， x3的系数 (1)3 c9384 ， x3的二项式系数 c9384 例 7 求 ( x23x4) 4 的展开式中 x 的系数分析： 要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，也可以先把三项

8、式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开解：（法一） ( x23x4) 4( x23x)44c40 (x23x)4c41( x23x)34 c42 (x23x)242c43( x23x)43c44 44 ，显然，上式中只有第四项中含x 的项，展开式中含 x 的项的系数是c 43 3 43768（法二）： ( x23x4) 4( x1)(x4) 4(x1)4 ( x4) 4(c 40 x 4c 41 x 3c 42 x2c 43 x c 44 ) (c40 x4c41 x3 4 c42x2 42c43 x 43 c44 44 )展开式中含 x 的项的系数是c 43 4 4c 43 43768

9、例 8 已知 f ( x)12x m14x n( m,nn * ) 的展开式中含x 项的系数为36 ，求展开式中含x2 项的系数最小值分析：展开式中含x2 项的系数是关于m, n 的关系式，由展开式中含x 项的系数为 36 ，可得 2m 4n36 ，从而转化为关于 m 或 n 的二次函数求解解： 1m1nx 的项为2x4x 展开式中含cm12xcn14x(2cm14cn1 ) x4 (2 cm14cn1 )36 ，即 m 2n18 ，1mn2x1 4x 展开式中含 x2 的项的系数为tcm2 22cn2 422m22m 8n28n ， m 2n18 ， m18 2n， t2(18 2n)22(

10、182n) 8n28n 16n2 148n 61216(n237 n 153) ，当 n37时， t 取最小值，但 nn * ，448 n 5 时， t 即 x2 项的系数最小，最小值为272 ，此时 n5, m 8 5第四课时例 9 已知 (x1)n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，24 x（ 1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项解：由题意： 2cn111cn2( 1) 2 ，即 n29n80 ， n8( n1舍去）228r8rrr163r0 r 8r1r1rr2x 4r c84 tr 1x()xc8( )c8 x1rrz24 x22若 tr1 是常数项，则

11、163r0 ，即 163r0 ，4 r z ，这不可能，展开式中没有常数项；若 tr1 是有理项，当且仅当163r 为整数，4 0 r8, rz ，r0,4,8，即 展开式中有三项有理项，分别是：t1x 4 ， t535 x ， t91x 28256例 10 求 0.9986的近似值，使误差小于0.001解： 0.9986(10.002) 6c60c61 (0.002) 1c66 (0.002) 6 ，展开式中第三项为c62 0.00220.00006 ，小于 0.001 ，以后各项的绝对值更小，可忽略不计， 0.9986(1 0.002) 6c60c61 ( 0.002)10.998 ，一般

12、地当 a 较小时 (1a)n1na四、课堂练习 ：1. 求2. 求2a3b3b2a6的展开式的第3 项 .6的展开式的第3 项 .3.写出 (3x1) n 的展开式的第r+1 项 .23x4.求 x32x74 项的二项式系数，并求第4 项的系数 .的展开式的第5. 用二项式定理展开：（1）35x2 5b) ；（ ）() .( a22x611116.化 ：（ 1） (1x ) 5(1x ) 5 ；（ 2） (2x 23x 2 ) 4(2x 23x2 ) 47 xxlg x5展开式中的第 3项为 106 ，求 x 12n8求x展开式的中 x答案： 1. t21c62 (2 a)6 2 (3b) 2

13、2160a4 b22.t2 1c62 (3b)62 (2a)24860a2b41 ) rrn2 r3.tc r( 3 x )n r (1c r x 3r 1n2 3x2n4.展开式的第4 的二 式系数c7335，第 4 的系数 c73 232805.（ 1） (a3 b)5a55a4 3 b10a3 3 b210a2b5ab 3 bb 3 b2 ；（ 2）x2)5125x40x32x(32x xx x 5 x 20xx2x3 .2x86.（ 1） (1x)5(1x)5220 x 10 x2 ；1111432（ 2） (2 x23x 2 )4(2 x23x 2 )4192xx7.xx lg x5

14、展开式中的第3 项为 c52 x32lg x106x3 2lg x1052lg 2x3lg x50lg x1,lg x5x10, x10210002n8.x1展开式的中 (1)n c2nnx五、小 ：二 式定理的探索思路: 察 猜想 明；二 式定理及通 公式的特点六、 后作 ： p36 习题 1.3a 组 1. 2. 3.4七、板 （略）八、教学反思：(a+b) = 个公式表示的定理叫做二 式定理，公式右 的多 式叫做(a+b)的，其中 c rn （ r=0,1,2, ,n ）叫做，叫做二 展开式的通 ，它是展开式的第 ，展开式共有个 .7掌握二 式定理和二 展开式的通 公式，并能用它 解决与

15、二 展开式有关的 。培养 猜想，抽象概括，演 明等理性思 能力。教材的探求 程将 推理与演 推理有机 合起来， 是培养学生数学探究能力的极好 体， 教学 程中， 要 学生充分体 到 推理不 可以猜想到一般性的 果，而且可以启 我 一般性 的解决方法。二 式定理是指 (a b)nanc1n a n 1bc n2 an 2 b 2c nr an r brcnnb n 一个展开式的公式.它是 (a+b)2=a2+2ab+b2， (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 等等展开式的一般形式， 在初等数学中它各章 的 系似乎不太多，而在高等数学中它是 多重要公式的共同基 ，根据二 式定理的展开，才

16、求得y=xn的 数公式y =nxn 1，同 lim (11 )n =e 2.718281也正是由二 式定理的展开 律所确定，而e 在高等数学中的n n地位更是 足 重，概率中的正 分布，复 函数中的欧拉公式ie =cos+i sin ，微分方程中二 系数方程及高 常系数方程的解由e 的指数形式来表达.且直接由 e 的定 建立的 y=ln x 的 数公式y=1 与 分公式1=dxlnx+c 是分析学中用的最多的公式之一.而由xxy=xnf(x)=f(x0)+f ( x )fn (x)(x 的各 数 基 建立的泰勒公式；0(x x0)2+ 01!n!nf ( n 1) x0(x x0 )n 1以及

17、由此建立的 数理 ，更是广x0) +(n1)!( x x0 )( (0，1)泛深入到高等数学的各个分支中 .怎 使二 式定理的教学生 有趣正因 二 式定理在初等数学中与其他内容 系 少，所以教材上教法就 得呆板，单 ， 本上先 出一个(a+b)4 用 合知 来求展开式的系数的例子.然后推广到一般形式，再用数学 法 明， 因 明写得很 ，上 的板 几乎占了整个黑板，所以 必然上得累 ，学生必然感到被 .那么多的算式学生看都不及 看， 也感到吃力，又怎能 主体作用？怎 才能使得在 上学生 得主 ？采用 前 ；自学 ； 是学生 ， 或 ， 、 ， ，或目 教学， 是 置 情境？看来 些 法遇到真正困 都会无能 力， 因 些方法都无法改 算式的冗 ， 法