机械能守恒定律　(ppt 60页).ppt

1、1,笫五章机械能守恒,一） 功 动能定理 （二） 保守力做功与势能 （三）机械能和机械能守恒定律 （四）两体碰撞与两体问题,目录,2,一、功,一） 功 动能定律,定义：力对质点所做的功等于力在质点位移方向的分量 与位移大小的乘积,元功,第五章机械能守恒,3,说明,1）在直角坐标系中,第五章机械能守恒,2）几个力同时作用在物体上时，所作的功,4,合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和,4）功率,单位:焦耳/秒(瓦特) 量纲：ML2T-3,力在单位时间内所做的功,第五章机械能守恒,3）功是标量，没有方向，但有正负,5,例题5.1 如图所示，一绳索跨过无摩擦的滑轮系在质 量为1.0kg的物

2、体上，起初物体静止在无摩擦的水平 面上。若用5.0N的恒力作用在绳索的另一端，使物体 向右作加速运动.当系在物体上的绳索从与水平成 变为 时,力对物体作功为多少?己知滑轮与水平面 间的距离为1m,第五章机械能守恒,6,解: 建立坐标系(如图,第五章机械能守恒,7,二、质点动能定理,元功,质点由A到B这一过程中，力作总功为,质点的动能,第五章机械能守恒,质点动能定理,令,则,8,例题5.2 如图，初始时，绳子垂在桌外的长度为b,设 绳子总长度为L,求绳全部离开光滑桌面时的瞬时速率,解：方法一：利用动能定理,建立作坐标系，重力所作元功为,由动能定理得,第五章机械能守恒,9,方法二：利用牛顿定律,由

3、牛顿定律得,两种方法结果相同,第五章机械能守恒,10,例题5.3 假定地球的密度是均匀的，并沿地球的直径钻一个洞，质点从很高的位置 h 落入洞中，求质点通过地心的速度,由动能定理,解：矢径方向如图所示，设通过 地心的速度为,第五章机械能守恒,11,又质点在地球内、外受力不同,第五章机械能守恒,12,三、质点系动能定理,质点系动能定理,对所有质点求和,设一个系统内有n个质点，作用于笫 i 个质点的力所作的 功为 ，由质点动能定理,第五章机械能守恒,13,2） 是每个质点所受外力（内力）作功 之和，而不是合力功之和,说明,1）质点系所受的力分外力和内力，则,内力作的总功一般不为零,第五章机械能守恒

4、,14,例题5.4 如图，质量为M的卡车载一质量为m的木箱， 以速率v沿平直路面行驶。因故突然紧急刹车，车轮 立即停止转动，卡车滑行一定距离后静止，木箱在 卡车上相对于卡车滑行了l 距离,卡车滑行了 L 距离。 求 L 和 l 。巳知木箱与卡车间的滑动摩擦系数为 ， 卡车轮与地面的滑动摩擦系数为,第五章机械能守恒,15,卡车和木箱受力如图.只有二者间摩擦力 和地面对车 的摩擦力 F 做功，三力之受力质点位移各为 . 根据质点动能定理得,解得,解：解法一（用质点动能定理求解,第五章机械能守恒,卡车： （1,木箱： （2,16,解法二（用质点系动能定理求解,视卡车与木箱为一质点系.外力F 做功 ，

5、 内力做功等于力与相对位移的标积，即,根据质点系动能定理，有,又视木箱为质点，得上面(2)式.(2)(3)联立得与上法相同结果,第五章机械能守恒,3,17,二） 保守力做功与势能,一、几种常见的力作功,1、重力作功,重力作功只与质点的起始和终止位置有关，而与所经过的路径无关,第五章机械能守恒,18,由图知,于是,2、万有引力作功,如图，M不动，m由a 经任一路径到b,第五章机械能守恒,19,在弹性限度内，弹性力所作的功只由弹簧的起始和终了位置决定，而与形变的过程无关,3、弹性力作功,如图，O点为平衡位置，拉长到P点时，伸长量为x,万有引力作功只取决于质点的起始和终了位置，与所经过的路径无关,第

6、五章机械能守恒,20,保守力：作功只与物体的始末位置有关，而与路径无关 的力,二、保守力与非保守力,反映保守力作功特点的数学表达式,物体沿不同路径从a 到 b，保守力作功,第五章机械能守恒,该类力产生的力场为保守力场,21,保守力沿任意闭合路径作功为零,沿闭合路径运动一周，保守力作功,保守力的一些判据,1)对于一维运动，凡是位置x单值函数的力都是保守力,如弹性力 f = f (x) = k(xx0) 是 x 的单值函数，故它是保守力,2)对于一维以上的运动，大小和方向都与位置无关的力，如重 力 f = mg, 是保守力,3)有心力是保守力，例如万有引力、库仑力都是保守力,第五章机械能守恒,22

7、,称为耗散力（如滑动摩擦力， 将机械能转化为热能,非保守力,（如爆炸力），将其他形态的能 （如化学能、电磁能）转化为机械能,所作的功不仅与始、末位置有关，而且与具体路径有关，或沿任一闭合路径一周作功不为零的力,非保守力可分两类,第五章机械能守恒,23,三、势 能,证：在保守力场中，选择一个标量函数：如图，先任取一点 rC ，令,对空间任意点，定义,第五章机械能守恒,定理 对于保守力场，可以定义一个标量函数 ，使保守力做的功为 其中， 表示质点从空间点 运动到点 时保守 力所做的功。 称为势能（或势函数、位能,24,由于是保守力场，故 唯一确定，与运动的路径无关，于是对于空间中的任意点，我们定义

8、的的值确定并且唯一,下面证明 就是势能,对于空间中任意两点 和 ，按照我们对 的定义，有,由定义,第五章机械能守恒,25,将上面(1)与(2)两式相减，注意到保守力作功与路径无关，可得,故 就是势能。证毕,反之，存在势能的力一定是保守力,注：由证明可见，势能具有一个任意常数,一般我们规定点（无穷远处）的势能为零,第五章机械能守恒,26,2)势能是相对性的。为确定质点系在任一给定位置的势能值，必须选定某一位置为参考位置（势能零点），规定该点的势能为零.而势能零点可根据问题的需要任意选择,3)势能是属于系统的。实质上势能是相互作用能,说明,1)势能是状态（位置坐标）的函数，即,4)自然界中的大部分

9、能量是以引力势能的形式存在,1. 势能 的计算,由定理可得,即某点的势能等于保守力从该点沿任意路径到势能零点的积分值,第五章机械能守恒,27,即：保守力对物体作的功等于物体势能增量负值,重力势能,2 三种势能,保守力作功可用势能差表示,引力势能,弹性势能,第五章机械能守恒,28,3 势能曲线,当坐标系和势能零点一经确定，势能仅是坐标的函数,势能随坐标变化的曲线称为势能曲线。如图,第五章机械能守恒,29,势能曲线的用途,保守力与势能的关系,1) 由势能曲线求保守力,第五章机械能守恒,30,第五章机械能守恒,重力及其势能,万有引力及其势能,弹性力及其势能,双原子分子及其势能,31,平衡位置：就是物

10、体所受作用力为零的位置,2) 求平衡位置及判断平衡的稳定性,平衡的稳定性：取决于偏离平衡位置时，物体所受力方向,第五章机械能守恒,a)稳定平衡(),力始终指向平衡位置,b)不稳定平衡( ),离开平衡位置,力背离平衡位置方向,c)亚稳平衡,d)随遇平衡（x1x2 ,32,第五章机械能守恒,利用势能曲线求平衡位置,例如：弹性势能,二维三维情况：特例马鞍形势能曲面中心O处的质点在x方向不稳定平衡，y方向为稳定平衡,3) 决定质点的运动范围,双原子分子势能曲线,33,一、质点系的功能原理,三） 机械能守恒定律,根据质点系动能定理,功能原理 质点系机械能的增量，等于外力与非保守内力 对质点系作功之和,机

11、械能：E=Ek+V,第五章机械能守恒,与质点系动能定理的关系,34,二、机械能守恒定律,当作用于质点系的外力和内非保守力作功为零时，系统机械能守恒,当,根据功能原理,第五章机械能守恒,35,第五章机械能守恒,说明,1）功能原理和 机械能守恒定律只在惯性系中成立；非惯性系中要引入惯性力,2）在不同的参考系中，力所做的功，体系的动能和体系的机械能可能不同,3）一个体系在一个参考系中机械能守恒，但在另一个参考系中并不一定成立,i.功与参考系有关: 内力做功与参考系无关; 外力做功与参考系有关,ii.体系的动能与参考系有关,iii. 体系的势能与参考系无关,4）功是一个过程量, 能量是一个状态量,36

12、,三、柯尼希（Konig）定理,相对一定惯性参照系，质点系的动能为所有质点的动能之和,设 为质点系的质心速度， 为笫i个质点相对质心系的速 度，则有,代入上式得,第五章机械能守恒,37,于是,柯尼希定理体系动能等于质心动能和体系相对质心系 的动能之和,第五章机械能守恒,其中笫三项中,38,第五章机械能守恒,四、一般质心系中的功能原理,ac=0，质心系为惯性系,ac0，质心系（平动参考系）为非惯性系,此时惯性力所做的总功为,即质心系虽为非惯性系时，可不考虑惯性力所做的功,39,五、三种宇宙速度,笫一宇宙速度人造卫星,笫二宇宙速度（或称逃逸速度）人造行星（太阳系,飞行物冲出地球引力范围而围绕太阳运

13、动，成为人造行星。脱离地球引力的最低水平速度被称为笫二宇宙速度,飞行物在地球引力作用下，环绕地球表面运行，成为人造卫星,分别考虑 r 处和无穷远处的机械能,第五章机械能守恒,40,应当满足机械能守恒，即 ，于是,取其等于零，得逃逸速度,第五章机械能守恒,产生“黑洞”的条件,令笫二宇宙速度取其等于光速c，则对质量为M的天体， 要成为“黑洞”，其半径需为,以太阳为例：Ms=1.99x1030kg,41,笫三宇宙速度人造行星(银河系,飞行物冲出太阳的引力范围而成为银河系中的人造行星,根据笫二宇宙速度的同样原理，得到以太阳为参考系的 笫三宇宙速度,第五章机械能守恒,其中太阳质量 （地球质量） ， 太阳

14、-地球平均距离 （地球半径,故,42,这是从日心系看飞行器冲出的速度，自然其中包含了地球绕 太阳的公转速度 ，两者相减,这是地球-飞行器质心参考系看来，飞行器冲出地球引力 范围时，应有的速度。再追溯到地面附近 h 高度，发射速 度 应当满足机械能守恒，即,第五章机械能守恒,注意到 ，故,Sun,Earth,43,最后得出笫三宇宙速度,综上所述，三种宇宙速度均立足于地球上空预定 高度，物体在水平方向上的三个特征速度,第五章机械能守恒,当 ，发射体环绕太阳作椭圆轨道运行,当 ，发射体环绕地球作椭园轨道运行,当 ，发射体将沿双曲线轨道离开太阳系,44,四） 两体碰撞与两体问题,所谓碰撞，是指两质点相

15、互接近，运动状态发生迅速变化的 现象。碰撞的特征是极短的时间和强烈的相互作用,一、正碰对心碰撞,说明： e=0 完全非弹性碰撞 0e1 非弹性碰撞(如采用不同材料时) e=1 完全弹性碰撞,碰撞定律,碰撞前两球速度均沿两球中心 连线满足：动量守恒定律,第五章机械能守恒,45,当两物体发生对心碰撞时，由以上两方程解得,讨论,碰撞过程中损失的动能为,由此可知，对于完全弹性碰撞，e=1，动能守恒； 对于完全非弹性碰撞，e=0，动能损失最大,第五章机械能守恒,46,第五章机械能守恒,高能粒子加速器,资用能: 真正参与粒子反应的能量，质心动能不参与反应,目的：用来研究微观粒子的结构、相互作用和反应机制,

16、情况i,情况i:资用能,情况i:资用能,情况ii :高能粒子对撞,例如: 1987年,北京正负电子对撞机:资用能2x2.2GeV 若单束加速:1.9x104GeV,47,质心系中的正碰撞,上面讨论的是在实验室系（L系）中正碰撞。而在质心系（C系）中，由于对质心的动量之和永远为零，故在质心系中描写碰撞，表达形式简单，物理意义清晰,在L系中，质心速度为,在C系中，设碰撞前后两质点的速度分别为 和 则,由这两方程可得,第五章机械能守恒,48,在C系中，碰撞损失的动能为,思考：如何把质心系的碰撞结论化回实验室坐标系,提示,第五章机械能守恒,49,如图，取 的方向为x轴，则上 面笫一式化为,在完全弹性碰

17、撞中，动量和能量都守恒，有,式中 称为散射角.另外，碰撞结果还与碰撞前两小球中 心在y方向上的距离b有关.b称为瞄准距离.b=0时即为正碰,通常，应用实验方法测出上面四个未知数中的一个，才 能求出其余三个未知数,第五章机械能守恒,50,例题5.5 如图，质量为M的物块A在离平板为h的高度 处自由下落.落在质量也为M的平板B上.已知轻质弹 簧的倔强系数为k，物体与平板作完全非弹性碰撞， 求碰撞后弹簧的最大压缩量,解：本题可分为三个物理过程,物块A下落,物块A与平板B发生碰撞,碰撞后弹簧被压缩,机械能守恒,第五章机械能守恒,51,弹簧被最大压缩时,如图，取弹簧不承载平板 的平衡位置为坐标原点O.则

18、 平板B放上后位移为 ，物 块A碰撞后位移为 ，则,根据机械能守恒式，得,而,第五章机械能守恒,O,52,将、式代入式，整理后得,因 ，故应将负根舍去.得碰撞后弹簧最大压缩量为,解之得,第五章机械能守恒,53,第五章机械能守恒,例题5.6 弹弓效应 如图，土星的质量为5.67x1026kg，以相对于太阳的轨道速率9.6km.s-1运行；一空间探测器质量为150kg，以相对于太阳10.4km.s-1的速率迎向土星飞行。由于土星的引力，探测器绕过土星沿和原来速度相反的方向离去，求它离开土星的速度,v10,v1,v20,解：将其看成无接触碰撞，其中e=1，m1可忽略，则,探测器绕过土星后由于引力作用

19、速率增大，这种效应称 为弹弓效应,54,第五章机械能守恒,三、两体问题处理方法,如图，考虑质量分别为 m1 和 m2 的两个质点的孤立体系，质点间的作用力是保守力，由两质点的相对位置决定。取一惯性系，位矢和速度分别为 ，质心的质量、位矢分别为 mC 和 rC，则有,在该惯性系中，动力学方程为,处理方法一（S参考系法,55,第五章机械能守恒,考虑 m1 相对于 m2 的运动。选择与 m2 （通常选取质量较大的物体）相对静止的参考系，m2 位于原点，称该参考系为S系（非惯性系,在S系中，m1 的位置为r，速度为v,也可以通过引入惯性力来列出运动的牛顿方程,由,令 ，则,该方程与牛顿定律类似，即利用约化质量，即可把两体问题化成单体问题,其中m 约