二次根式培优提高训练

1、二次根式培优一、知识讲解1根式中的相关概念二次根式：形如a a0 的代数式叫做二次根式。n 次根式： n a 形如的代数式叫做 n 次根式 . 其中若 n 为偶数，则必须满足a0 。最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含有能开方的因数或因式。同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式叫做同类二次根式。设 a 、 b 、 c 、 d 、 m 是有理数，且 m 不是完全平方数，则当且仅当 ac 、 bd 时，时， ab mcd m .2.二次根式的性质2a当 a0时，（ 1）a a 0 .（2）

2、 a2aa0当 a0时，a当 a0时 .3. 二次根式的运算法则：对于二次更是的加减， 先把二次根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可 .（ 1） a m b m a bm（2） a bab a 0, b 0（ 3）aa0,0mm（ ）bbab4aa a 0（ 5）若 ab 0 ，则ab .4. 分母有理化（ 1）把分母中的根号化去叫做分母有理化 .（ 2）互为有理数因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则这两个代数式互为有理化因式.ab 与ab 互为有理数因式。分母有理化时，一定要保证有理化因式的值不为0.第 1 页，共 8 页二、习题讲解基础巩固1. 化简：（1

3、） 12=（2）2=（3）5=312（4） 1 =（5）32=（6）2 125075=32解：（1） 12= 43=23.（2）2 =2 =23=6 .33333（3）5 = 5 3 = 15 = 15 .（4） 1 =1 3=3 .12123663333（5）2=232= 2 3 2 2 =2 3 2 2 .32323232（6） 2125075=43 5253=93 5 2 .2. 设 y2x12x ，求使 y 有意义的 x 的取值范围 .x12x10x12解：由题知2x0，解得 x2 ，所以 x 的取值范围为 1x 2 .x10x213.（ ）已知最简二次根式 ba 3和2ba2 是同类

4、二次根式，则a，b.1bn2m116m20，则 mnn2 的倒数的算术平方根为.（2）已知4m解：（1）由题知：ba 2a，解得 a0.3b2b2b2（2）因为 n2m10 ， 16m20，且n2m 116 m204m第 2 页，共 8 页n2m104所以 16m20m，解得.4m0n9所以12111 .mn n499 2255所以 mnn2 的倒数的算术平方根为 1 .54. （ 1）若 m 满足关系式3x5y2m2x3y mx199y199 x y ，试确定 m的值 .（2）已知 x 、 y 为实数， yx29x9x21 ，求 5x6 y .3解：（1）因为 x 199y0 ，即 xy19

5、9 ，所以 x y199 .199xy0xy199所以 3x 5 y 2 m2x 3 y m 0 .又因为 3x 5 y2m0，2x3 ym3x5y2m0 0 ，所以3ym.2x0 由 ， ， 可得： m2001 .5. 在 1 、2 、 3 、4 、1999 这 1999 个式子中，与 2000 是同类二次根式的共有多少个？解：由题知：2000400 5 205 ，所以与 20 5 是同类二次根式的共有 19 个.6. 计算：（1） 2 31116231711解：（1）原式 =16162311 23112311= 12 112 3 11 =2 3 11（2） 5 65223解：原式 = 56

6、2 56= 25656= 2 256 =19第 3 页，共 8 页（3） 102210252522解：原式 =10251025=1025102510251025210222542045085202 .（4）计算： 1x1x1xx 1xx解：原式1x1x1xx1 xx1 x 1 x2x21 xx2x 1 1 x3（5）235235235235解：原式5235232352355226322635262624 .7. 化简：2.23526152615C.36156315A.6B.66D.6解：2223526102610235235235222625362610266215161512122668.

7、计算：x4x7.x3 1x3 2x 4x 3 1x 7x 3 2解：原式x 3 1x 3 1x 3 2x 3 2第 4 页，共 8 页x4x31x7x32x31x 3 23.x4x79. 设 xn1n ， yn1n ， n 为自然数，如果 2x2197 xy2 y21993 成立，求 nn1nn1n的值 .解：由题知： 2x2197 xy2 y 22xy21993193xyn12n1n2xyn 1nn1nnn 1nn 1nn 1nn 1n2n 1 2 n n 1 2n 1 2 n n 14n2 .n1nxyn1nn1n1.n1nn1n当 xy4n n1， xy 1时， 2 4n2211993

8、，即 4n2900 .1932因为 n 为自然数，所以4n230，解得n7 .10. 若正整数 a 、 m 、 n 满足a24 2mn ，则 a 、 m 、 n 的值依次是.解：因为a2420 ，所以 mn0 ，即 mn .a222由题知：42mn，即 a24 2m n 2 mn .所以 a2m n ， mn 2 2 . 故有 mn 8 .因为 a 、 m 、 n 为正整数，所以 m 8 ， n1 ， a 3.11. （1）52012251201145 12010.1201020102解：原式515125142010512010251252420102010.5第 5 页，共 8 页（2）化简

9、：64332181236解：原式643326333326333321812961812966323326333326333326332633263321332363326332326363326362 .二、拓展提高1. 已知 x32 ， y32 ，求 yx的值 .3232x2y2解：由题知：y3x3xyx2xyy2xyx2原式y3xy22xy2xyxy32322x y323223232.3232323210 ， xy23132当 xy10 ， xy1时，原式1010 23970 .122. （1） 2 32217122 等于（）A. 542B. 421C. 5D. 1（2）代数式863863

10、 =.解: （1） 2 3 2 222 12 2 12 2 2 ，171229298322 .8所以2 322171222223221，故答案选 D .第 6 页，共 8 页（2） 8 632228 638 632 8 638 638 63863286318因为8638630 ，所以863863183 2 .3. 若 x171，则 x52x417 x3x218 x16的值为.22解：因为 x17，化简的 x22 x160 .17 1，所以 x 1原式 x52x416x3x32x216xx22x16x22x16x2x 1 0 x2x 104. 已知非零实数 a 、 b 满足等式 ba542 ，求

11、ba的值 .ababba3b2a解：由 ba542 可得： b2a254a2b ，即 b221a 20 ，ababba解得 a 2， b1.所以原式1212.1322215. 2005 2006 2007 2008 1 2006 2解：令 x2006 ，由题知：原式x 1 x x1x 2 1 x2x2x 2 x2x 1 x2x222 x2x 1 x2x2x 12x2x 1 x2xx2x1200612005.6. 已知25x215x22 ，则 25 x215 x2 的值为.解：令 m25x2， n15x2mn2，则n2.m210所以 x2y2xyxy2xy 10 ，所以 25 x215x2m n 5 .第 7 页，共 8 页7. 化简：10141521 .10141521解：原式1014152125735723571014152125735723572235265 .232312 68. 计算：111.112322320252024202422025解：原式2 11232231202520242024202521122112322332232232024202514511441232024202520254