函数导数任意存在”-型问题归纳总结

1、函数导数任意性和存在性问题探究导学语函数导数问题是高考试题中占比重最大的题型，前期所学利用导数解决函数图像切线、函数单调性、函数极值最值等问题的方法，仅可称之为解决这类问题的“战术”，若要更有效地彻底解决此类问题还必须研究“战略”，因为此类问题是函数导数结合全称命题和特称命题形成的综合性题目.常用战略思想如下：题型分类解析 一单一函数单一“任意”型战略思想一：“，恒成立”等价于“当时，”；“，恒成立”等价于“当时，”.例1 ：已知二次函数，若时，恒有，求实数a的取值范围.解：，；即；当时，不等式显然成立，aR.当时，由得：，而，.又，综上得a的范围是. 二单一函数单一“存在”型战略思想二：“，

2、使得成立”等价于“当时，”；“，使得成立”等价于“当时，”.例2. 已知函数()，若存在，使得成立，求实数的取值范围.解析：.，且等号不能同时取，所以，即，因而， ，令，又，当时，从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数，故的最小值为，所以a的取值范围是三单一函数双“任意”型战略思想三：，都有分别是的最小值和最大值，min是同时出现最大值和最小值的最短区间.例3. 已知函数，若对，都有成立，则的最小值为_.解 对任意xR，不等式恒成立，分别是的最小值和最大值.对于函数，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是，即半个周期.又函数的周期为4，的最小值为2.战略思想四： 成立在A上是上凸函数例4

3、. 在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是() A.0B.1C.2D.3解：本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件的函数，应是凸函数的性质，画草图即知符合题意；战略思想五： 成立在A上是增函数 例5 已知函数定义域为，若，时，都有，若对所有，恒成立，求实数取值范围.解：任取，则，由已知，又，即在上为增函数.，恒有；要使对所有，恒成立，即要恒成立，故恒成立，令，只须且，解得或或.战略思想六： （为常数）成立t=例6. 已知函数，则对任意（）都有 恒成立，当且仅当=_，=_时取等号.解：因为恒成立，由，易求得，.战略思想七：例7. 已知函数满足：(1)定义域为；(2)方程至少有两个实根和；

4、(3)过图像上任意两点的直线的斜率绝对值不大于1.(1)证明:； (2)证明：对任意，都有.证明 (1)略；(2)由条件(2)知，不妨设，由(3)知，又；例8. 已知函数，对于时总有成立，求实数的范围.解 由，得，当时，评注 由导数的几何意义知道，函数图像上任意两点连线的斜率的取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率(如果有的话)的范围，利用这个结论，可以解决形如|或(m0)型的不等式恒成立问题.四双函数“任意”+“存在”型： 战略思想八：，使得成立；，使得成立.例9已知函数，若存在，对任意，总有成立，求实数m的取值范围.解析：题意等价于在上的最大值大于或等于在上的最大值.，由得，或，当时， ，当

5、时，所以在（0，1）上，.又在上的最大值为，所以有，所以实数的取值范围是.战略思想九：“，使得成立”“的值域包含于的值域”.例10设函数（1）求的单调区间（2）设，函数若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围解析：（1） ，令，即，解得：，的单增区间为；单调减区间为和.（2）由（1）可知当时，单调递增，当时，即；又，且，当时，单调递减，当时，即，又对于任意，总存在，使得成立， 即，解得： 例11已知函数;(1) 当时，讨论的单调性；（2）设，当时，若对，,使，求实数的取值范围；解：（1）（解答过程略去，只给出结论）当a0时，函数f(x)在（0,1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；当a=时

6、，函数f(x)在（0，+）上单调递减；当0a时，函数在（0,1）上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；（2）函数的定义域为（0，+），（x）=a+=，a=时，由（x）=0可得x1=1,x2=3.因为a=（0,），x2=3（0,2）,结合（1）可知函数f(x)在（0,1）上单调递减，在（1,2）上单调递增，所以f(x) 在（0,2）上的最小值为f(1)= .由于“对x1（0,2），x21,2,使f(x1) g(x2)”等价于“g(x)在1,2上的最小值不大于f(x) 在（0,2）上的最小值f(1)= ”. （）又g(x)=(xb)2+4b2, x1,2,所以 当b0,此时与（）矛盾； 当b1,

7、2时, 因为g(x)min=4b20，同样与（）矛盾； 当b（2，+）时，因为g(x)min=g(2)=84b.解不等式84b，可得b.综上，b的取值范围是,+).五双函数“任意”+“任意”型战略思想十：，使得成立例12.已知函数，若对任意，都有，求的范围.解：因为对任意的，都有成立，令得x3或x-1；得；在为增函数，在为减函数.，.，.例13已知两个函数;(1) 若对,都有成立，求实数的取值范围；(2) 若,使得成立，求实数的取值范围；(3) 若对,都有成立，求实数的取值范围；解：（1）设,（1）中的问题可转化为：时，恒成立，即.；当变化时，的变化情况列表如下：-3(-3,-1)-1(-1,

8、2)2(2,3)3(x)+00+h(x)k-45增函数极大值减函数极小值增函数k-9因为,所以，由上表可知，故k-450，得k45,即k45,+).小结：对于闭区间I，不等式f(x)k对xI时恒成立f(x)maxk对xI时恒成立f(x)mink, xI. 此题常见的错误解法：由f(x)maxg(x)min解出k的取值范围.这种解法的错误在于条件“f(x)maxg(x)min”只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价.（2）根据题意可知，（2）中的问题等价于h(x)= g(x)f(x) 0在x-3,3时有解,故h(x)max0.由（1）可知h(x)max= k+7，因此k+70，即k7,

9、+).(3)根据题意可知，（3）中的问题等价于f(x)maxg(x)min，x-3,3.由二次函数的图像和性质可得, x-3,3时, f(x)max=120k.仿照（1），利用导数的方法可求得x-3,3时, g(x)min=21.由120k21得k141,即k141,+).说明：这里的x1,x2是两个互不影响的独立变量.从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“x”恒成立，还是“x”使之成立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜.六双函数“存在”+“存在”型战略思想十一：，使得成立； ，使得成立.例14已知函数，.若存在，使，求实数取值范围.解析：，在上单调递增，在上单调递减，.依题意有，所