类型一与特殊三角形形状有关

1、题型五 二次函数与几何图形综合题类型一与特殊三角形形状有关针对演练1. （ 1原创）如图，已知抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为x=1,与y轴的交点第1题 图C为（0,3）,与x轴交于点A、B,顶点为D.（1）求抛物线的解析式；（2）求A、B、D的坐标，并确定四边形 ABDC的面积；（3）点P是x轴上的动点，连接CP，若 CBP是等腰三角形，求点P的坐标.7T7）巩_X第1题图2. （ 1长沙模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象过点M （-2,J3），顶点为N （-1, 也），与x轴交于点A、B （点A在点B的右侧），与y轴交于点C.（1）求抛物线解析式；（2）判断 ABC的形状，并

2、说明理由；（3）若点Q是抛物线对称轴上一点，当 QBC是直角三角形时，求点 Q的坐第2题图,_ 1 23. （ 1原创）如图，抛物线y = x+mx+ n与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C,其对称轴与x轴的交点为D，已知A （-1,0）, C （0,2）.（1）求抛物线的解析式；（2）判断 ACD的形状，并说明理由；（3） 在抛物线对称轴上是否存在一点 P,使得 PBC是以P为直角顶点的直角三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由第3题图4. 如图，已知二次函数L1：y=x2-4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）， 与y轴交于点C.（1）写出A、B两点的坐标；（2）二次

3、函数 L2：y=kx2-4kx+3k（kM 0顶点为 P. 直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质； 是否存在实数心使厶ABP为等边三角形？如果存在，请求出 k的值；如不存 在，请说明理由； 若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会发生变化？ 如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由.第4题图答案2b1.解：（1）V抛物线y =-X +bx+c的对称轴为x-R， 解得b=2,v抛物线过点C (0,3), A c=3.抛物线解析式为y=-x2+2x+3；第1题解图(2)由抛物线 y=-x2+2x+3，令 y =0 得，-x2+2x+3=0, 解得

4、 xi=-1,x2=3,a 点 A (-1,0),点 B (3,0), 当 x=1 时，y=-12+2+3=4,A 点 D 的坐标为(1,4).如解图，过D作DM丄AB于M，则0M =1, DM =4, S 四边形 ABDC =SAOC+S 四边形 OMDC+SaBMD1 1 1= AOOC + 丄(OC+MD) OM + 丄 BMDM2 2 21 11=X1 3+ X (3+4) X1 + 4 22 22=9.(3) 设点 P 的坐标为(t,0),则 PC2=t2+32, PB2=(3-t)2, BC2=32+32=18,若厶PBC是等腰三角形，则有PC2=PB2，即t2+9=（3-t）2，

5、解得t =0,此时点P的坐标为（0,0）; PC2=BC2，则t2+9=18,解得t =3 （舍）或t =-3,此时点P的坐标为（-3,0）; PB2=BC2则（3-t）2=18，解得 t=3+3、2 或 t =3-3、2 , 此时点P的坐标为（3+3. 2,0）或（3-3,2 ,0）2. 解：（1 ）由抛物线的顶点为N （-1,竽），故设抛物线的顶点式为y=a(x+1)2+4-3 ,3将点M （-2, .3 ）代入解析式得, a(-2+1)2+ =3,3 解得a =3,3抛物线的解析式为y =-三(x+1)2+.3 3即+ 333(2)对于抛物线 y=3x2-_?3x +、.3，令 y =

6、0,33得一 12x2-x + -3=0,33解得 xi = 1,X2=-3,点 A (1,0),点 B (-3,0),令抛物线x=0，得 y=、3 ,点C的坐标为(0, .3).AB2=42=16AC 2=12+(、3 )2=4,BC 2=32+( . 3 )2=12,2 2 2 AB =AC +BC , ABC是直角三角形.(3)由抛物线顶点N(-1,也3 )知抛物线的对称轴为x =-1,3设点Q的坐标为(-1,t),则 BQ 2=(-3+1)2+t 2=4+t 2,CQ 2=(-1)2+(t八 3)2=t 2-2、3t+4 , BC 2=12.要使 BQC是直角三角形，2 2 2(i )

7、当/ BQC= 90 则 BQ +QC =BC ,即 4+t 2+t 2-2.3t+4=12,解得如呼+Ft2謬-2、3，此时点Q的坐标为（-1鳥哼）或 （-1,(ii)当/ QBC = 90 贝U BQ 2+BC 2=QC 2,即 4+t 2+12=t 2-2.3t+4,解得 t=-2 3，此时点 Q 的坐标为(-1, -2 3 );(iii)当/ BCQ = 90时，贝U QC 2+BC 2=BQ 2,即 t 2-2.3t+4+12=4+t 2,解得 t =2 3，此时点 Q 的坐标为(-1, 2 3)综上，当 QBC是直角三角形时，点Q坐标为（-1，呼）,（-1,处）3. 解：（1）v

8、点 A （-1,0），C （0,2）在抛物线上,=3解得Un =2卄1Cm n 二 0 2n =2抛物线解析式为尸-*2+討2；（2）A ACD是等腰三角形.理由：抛物线y=-1 x2+ -x+2的对称轴为直线x =3 ,2 2 23点 D （ ,0）,2- A (-1,0), C (0,2), AC = .5 , AD =1 + 寸= |,CD = 22 (J2 =| ,-AD= CD AC, ACD是等腰三角形；（3）令抛物线 y=-lx2+3 x+2=0，得 X1=-1,X2=4,2 2点B的坐标为（4,0）,则BC = 2、5 , 取BC的中点为S,则点S的坐标为（2,1）;3设点 P

9、 ( -,t),则 PS = 1BC =、5，即(2-)2+(t-1)2=5, 解得 ti = 119,t2=119存在这样的点P,其坐标为(-,1 +)或(-,1-)2 2 2 24. 解：(1)当 y=0 时，x2-4x+3=0,X1 =1，X2=3，即：A(1, 0),B(3, 0)；(2)二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：(I)对称轴都为直线x=2或顶点的横坐标都为2;存在实数使厶ABP为等边三角形.(U)都经过 A(1, 0),B(3, 0)两点; y=kx2-4kx+3k=k (x-2) 2-k,顶点 P (2, -k)第4题解图 A(1, 0), B(3, 0),二 AB = 2,