特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型-2025中考数学专项复习（含答案）

特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型2025

中考数学专项复习含答案

特殊的平行/边形中的最值模型之胡不归模型

胡不归模型可看作将军饮马衍生,主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考

中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析,方

便掌握。在解决胡不归问题主要依据是:点到线的距离垂线段最短。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。

要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背,要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到

对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适

当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是:①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模

型;②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法;③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方

面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到

的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！

目录

例题讲解模型

模型L胡不归模型（最值模型）2

习题练模型

例题讲解模型

模型1.胡不归模型（最值模型）

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”，虽然

从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔

莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归?”

看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一

条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.

砂石地。

驿道

AC

B

补充知识:在直角三角形中锐角人的对边与斜边的比叫做的正弦，记作sinA,即3由人=/边

若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°,45°,60°）的三边关系。

一动点P在直线MN外的运动速度为M，在直线MN上运动的速度为M,且为定点，点。

在直线MN上,确定点。的位置使4^F2+4Vi?的值最小.（注意与阿氏园模型的区分）。

B

1）爷+等=上（8。+整力。）,记后=瞿，即求8。+比4。的最小值.

V2%%、V2'V2

2）构造射线4D使得sin/N4N=A;,雾=3CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.

3）过8点作BH_LAD交MN于点C,交AD于H点,此时BC+CH取到最小值,即BC+比4C最小.

【解题关键】在求形如“P4+LPB”的式子的最值问题中，关键是构造与切口相等的线段，将“E4+fcPB”型问

题转化为“P4+PC”型.（若%>1,则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

【最值原理】垂线段最短。

1.（2024・广东•二榭如图，四边形ABCD是菱形，AB=4,且ABAD=30°,P为对角线47（不含A点）

上任意一点，则。P+的最小值为.

2.（2024•辽宁营口•模拟预测）在矩形ABCD中，=12,AD=18,P是AD边上任意一点，则PC+

的最小值是.

3.（2023•云南昆明•统考二模）如图，正方形ABCD边长为4,点E是CD边上一点，且乙48E=75°.P

是对角线口。上一动点，则AP+聂尸的最小值为（）

A.4B.4V2G-2-D.ypl+A/6

4.（23-24八年级下・湖北黄石・期末）如图，OABCD中，乙4=60°,4B=4,AD=1,P为边CD上一

点,则干产。+PB的最小值为

PC

5.（23—24九年级上•山东日照・期末）如图,在矩形ABCD中，4B=2,及7=2"，点P是对角线AC上

的动点，连接PD,则24+2PD的最小值为（）

D

A.4V3B.6C.6V3D.4

6.（2023•广东佛山•校考一模）在边长为1的正方形ABCD中，及■是边AB的中点，P是对角线AC上的

动点，则方尸拉―上4的最小值为.

7.（2024・重庆・九年级校考期中）如图，矩形的对角线AC,相交于点O,ACOO关于CD的对

称图形为ACED（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）连接若48=6411,口。=，^0111.

①求smAEAD的值；②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OF,一动点Q从点。出

发，以IcrrZ的速度沿线段OP匀速运动到点P,再以L5cm/s的速度沿线段R1匀速运动到点A,到

达点A后停止运动.当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全

程所需的时间.

习题练模型

1.（2023・山东济南•统考二模）如图,在菱形ABCD中，AB=AC=6,对角线相交于点。，点M

在线段上，且4W=2,点P是线段上的一个动点，则的最小值是（）

A.2B.2V3C.4D.4V3

2.（2023上•四川乐山•九年级统考期末）如图，在AABC中，ABAC=90°,ZB=60°,AB=4,若。是BC

边上的动点，则2AD+的最小值是（）

A

C.10D.12

3.（2023秋・山东日照•九年级校联考期末）如图，在矩形ABCD中，=2,2四，点P是对角线

47上的动点，连接PD,则24+2PD的最小值为（）

A.4V3B.6C.6V3D.4

4.（2023•河北保定•统考一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC,交于点O,AB==3,点双在

线段/。上，且4W=2.点P为线段上的一个动点.

（1）ZOBC=°；（2）MP+yPB的最小值为

5.（2023•湖北武汉•九年级期末）如图，CM8c©中NA=60°,AB=6,AD=2,P为边CD上一点，则

V3PD+2PB的最小值为.

6.（23—24八年级下•北京•期中）如图,在平行四边形4BCD中，48=3,BC=4,NABC=60°,在线段

上取一点以使DE=1,连接BE,点河，N分别是线段AE,跳;上的动点，连接MN,则7W+

*BN的最小值为.

AMED

7.（2023上•湖北黄冈•八年级校考期中）如图，在长方形ABCD中，对角线=6,NAB。=60°.将长方

形ABCD沿对角线BO折叠，得△BE。，点M是线段口。上一点.则的最小值为

8.（2023•黑龙江绥化•九年级校联考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，48=4,对角线AC、相交于

点O,ZAOB=60°.点E是49的中点，若点尸是对角线上一点，则EF+的最小值是

9.（2022•陕西西安•校考模拟预测）如图,在矩形4BCD中，AB=2,BC=，点P是对角线AC上的

动点，连接PD,则24+2PD的最小值.

10.（2023•重庆沙坪坝•八年级校考期末）如图，在直角坐标系中，直线h：y=-^-x+苧与非轴交于点

O/

C,与y轴交于点入，分别以OC、OA为边作矩形ABCO,点D、E在直线AC上，且。E=1,则AD+

三CE的最小值是.

y

D

O\x

IL（2023•湖北孝感•校考模拟预测）如图，四边形ABCD是正方形纸片，2.对折正方形纸片

ABCD，使AD与重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠正方形纸片，使点A落在EF上的点河

处,折痕为BP；再次展平，延长PN交CD于点Q.有如下结论:①NABA1=6O°；②AP=1；③AP+

CQ=PQ；④CQ=4—2代；⑤H为线段8P上一动点，则AH+的最小值是血.其中正确结

论的序号是.

12.（23—24八年级上•江苏常州・期末）如图，在①△4BC中，AACB=9O°,/CAB=30°,则AB=

28C.请在这一结论的基础上继续思考:若/。=2,。是AB的中点，P为边CD上一动点，则4P+

的最小值为

13.（2023•吉林・二模）【问题原型】如图①，在△ABC,4B=AC=5,8C=6,求点。到48的距离.

【问题延伸】如图②，在△ABC,AB=AC=10,BC=12.若点加■在边上，点P在线段4W■上，连

结CP,过点P作尸Q，于Q,则CP+PQ的最小值为.

【问题拓展】如图③，在矩形中，AB=2《，点E在边上，点及在边AB上，点F在线段

CA1上,连结即，若NBC7W=30°,则CF+2EF的最小值为

①

14.（23—24八年级下.江苏淮安・期末）如图3,点E在边CD上，且垂足为H,当H在正方形

ABCD的对角线瓦9上时,连接AN,将△AfflV沿着AN翻折，点H落在点H'处.①四边形AHNH'

是正方形吗？请说明理由;②若AB=6,点P在3。上，BO=3BP,直接写出PH7+殍AN的最小值

为

图3

15.（2024•四川凉山・中考真题）如图,在菱形ABCD中，4ABC=60°,=2,E是边上一个动点,连

接AE,AE的垂直平分线MN交4E于点河，交RD于点N.连接EN,CN.（1）求证：EN=CN；

（2）求2EN+8N的最小值.

16.（2024.山东淄博.一模）如图，在边长为6的菱形ABCD中，/BCD=60°,连接BD,点、E,斤分别是边

AB,8C上的动点，且46=斯,连接DE,_DF,EF.

图①图②备用图

⑴如图①，当点E是边AB的中点时，求/EOF的度数；

(2)如图②，当点E是边AB上任意一点时，NEOF的度数是否发生改变？若不改变，请证明：若发生

改变,请说明理由；(3)若点P是线段BO上的一个动点，连接PR,求PF+号DP的最小值•

特殊的平行鹦边器中的最值模型之胡不归模型

胡不归模型可看作将军饮马衍生,主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考

中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方

便掌握。在解决胡不归问题主要依据是:点到线的距离垂线段最短。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。

要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背,要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到

对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适

当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是:①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模

型;②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法;③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方

面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到

的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！

目录

例题模型

模型1.胡不归模型（最值模型）2

习题练模型

例题讲解模型

模型1.胡不归模型（最值模型）

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”，虽然

从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔

莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归?”

看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一

条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.

/B

砂石地/

驿道

AC

B

补充知识:在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做ZA的正弦，记作sinA,即sinA二松普

若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°,45°,60°）的三边关系。

一动点P在直线MN外的运动速度为M，在直线MN上运动的速度为M,且为定点，点。

在直线MN上,确定点。的位置使4^F2+4Vi?的值最小.（注意与阿氏园模型的区分）。

B

1）爷+等=上（8。+整力。）,记后=瞿，即求8。+比4。的最小值.

V2%%、V2'V2

2）构造射线4D使得sin/N4N=A;,雾=3CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.

3）过8点作BH_LAD交MN于点C,交AD于H点,此时BC+CH取到最小值,即BC+比4C最小.

【解题关键】在求形如“P4+LPB”的式子的最值问题中，关键是构造与切口相等的线段，将“E4+fcPB”型问

题转化为“P4+PC”型.（若%>1,则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

【最值原理】垂线段最短。

1.（2024・广东•二榭如图，四边形ABCD是菱形，AB=4,且ABAD=30°,P为对角线47（不含A点）

上任意一点，则。P+的最小值为.

【分析】根据菱形的性质得出AD=AB=4,乙BAC=ACAD=15°,以AB为一边，在AB下方作ABAE=

4BAC=15°,过点P作PF_LAE,过点。作DH_L由含有30度直角三角形的性质可得PF=-j-AF,

DP+yAP=DP+PF,结合图形可得当D、P、F三点共线时，取得最小值，最小即为DH长度，利用锐角

三角函数求解即可得出结果.

【详解】解：•.•四边形48co为菱形，AB=4,ZBAD=30°,.-.AD=AB=4,ZBAC=ZCAD=15°,

如图所示，以AB为一边，在48下方作ZBAE=/A4C=15°,过点P作PF_LAE,过点。作AE,

PF=yAP,DP+yAP=DP+PF,

当D、P、F三点共线时，取得最小值，最小即为。H长度，

在Rtt\DHA中，NDAH=45°,/.DH=DAXsinADAH272,故答案为：2四.

【点睛】题目主要考查菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，解直角三角形等，理解题意，作出相应辅

助线，综合运用这些知识点是解题关键.

2.（2024.辽宁营口•模拟预测）在矩形ABCD中，AB=12,4D=18,P是4D边上任意一点，则PC+

的最小值是.

【答案】9+6声

【分析】本题主要考查矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加辅助线，构造含30°的直角三角形，是

解题的关键.

过点A作直线AE,使AE与人。的夹角为30°,过点P作PE±AE,垂足为点E,则PC+^-PA的最小值

即为PC+PE的最小值，过点。作CH_LAE,垂足为点H,PC+PE的最小值CH,先证明/PAE=

/HCD=30°,再由解三角形求出CH即可求解.

【详解】解:过点A作直线AE,使AE与AD的夹角为30°,过点P作PE_LAE,垂足为点E,过点。作CH

_LAE,垂足为点H,

•••APAE=30°,PE=~PA,：.PC+^-PA=PC+PE,

•：PC+PE>CH,A当PC和PE在同一直线上时，_R4+PE最小，最小值为CH,

■：ZAP'H^/CPD,且ZP'GD+ACP'D^AP'AH+/AP'H=90°,/.NPAE=AHCD=30°,

CD=AB=12/.P'C=————=*=8图PD=GD•tanZFW=12x艰=4A后,

cosZP'CD四3

2

AP'AD-P'D=18-4V3,P'H^^P'A=9-273,CH=P'C+P'H^9-273+873=9+

6V3,

.♦.PC+「R4的最小值为9+6存故答案是：9+6京

3.（2023•云南昆明•统考二模）如图，正方形ABCD边长为4,点、E是CD边上一点，且NABE=75°.P

是对角线8。上一动点，则+的最小值为（）

A.4B.4V2C.D.V2+V6

【答案】。

【分析】连接A。,作PG_LBE,证明当AP+/BP取最小值时，A,P,G三点共线，且AG,BE,此时最

小值为AG,再利用勾股定理，30°所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果.

【详解】解:连接,作PG_LBE

•.•ABCD是正方形且边长为4,24BO=45°,AC±BD,AO=20

■：AABE=75°,/.NPBG=30°,：.PG=yBP,

当AP+，P取最小值时，4P，G三点共线，且AG_LBE,此时最小值为AG,

•：AABE=75°,AG±BE,：.ZBAG=15°,V/BAO=45°,/.ZR4O=30°,

设OP=b,则AP=2b,：.b2+(2V2)2=(2b)2,解得：b=当无，

设PG=a，则BF=2a,•••BO=2四，.•.2&+6=2方，解得：a=2—乎

o

人3=4。+。3=26+&=2+碗，故选：_0

【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，30°所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是证

明当+取最小值时，A,P,G三点共线，且AG,BE,此时最小值为AG.

4.(23-24八年级下・湖北黄石・期末)如图,EJABCD中，=60°,AB=4,AD=1,P为边CD上一

点，则今PD+PB的最小值为

DPC

/7

AB

【答案】2遮

【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识，构造直角三角形是解题的

关键.过点P作PH_LAD交4D延长线于点玄,连接,根据平行四边形的性质，得到ZPDH=ZA=

60°,由30度所对的直角边等于斜边一半，得至UPD=2DH,进而得至UPH=噂PD,即噂PD+PB=PH

+PB,当点H、P、B三点共线时，PH+PB有最小值，即乎PO+PB有最小值，此时BH_LAH,利用勾

股定理求出的长即可.

【详解】解:如图，过点「作。5_1AO交AD延长线于点H,连接BH,

•••LJABCD,ABHCD,：.ZPDH=/A=60°,在Rt/\DHP中，ZDPH=90°-ZPDH=30°,

PD=2DH，:.PH=y/PD2-DH2=*PD,：.痔PD+PB^PH+PB>BH,

：.当点X、P、B三点共线时，PH+PB有最小值，即乎PO+PB有最小值，此时_LAH,

在Rt^AHB中，ZABH=90°-ZA=30°,/.AH=^-AB=2,：.BH=y/AB2-AH2=273,

即M+PB的最小值为2代，故答案为：2/3.

2

5.（23—24九年级上•山东日照・期末）如图,在矩形4BCD中，4B=2,BC=20,点P是对角线AC上

的动点，连接PO,则E4+2PD的最小值为（）

A.4V3B.6C.6V3D.4

【答案】8

【分析】直接利用已知得出/CAB=60°,再将原式变形，进而得出2（yB4+PL＞）最小值，进而得出答案.

【详解】解：过点入作/CAN=30°,过点。作DM_LAN于点河，交AC于点P,

•.•在矩形ABCD中，AB=2,BC=2通，.•.tan/CAB=^^=V^,.•./CAB=60°,则/DAC=30°,

：.PM=^-PA,：.PA+2PD=2（^PA+PD）=2{PM+PD）=2DM=2AD-sin60°=2x2^/3x

=6.

即B4+2PD的最小值为6.故选B.

【点睛】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键.

6.（2023•广东佛山•校考一模）在边长为1的正方形ABCD中，M是边的中点，P是对角线AC上的

动点，则42PM-PA的最小值为.

【答案】0

（分析】作PQ_L48于M■，可得出PQ=，从而得PM-PQ的最小值，将V2PM-24变形为

四（PM-PQ）,进一步得出结果.

【详解】解:如图，作PQLAB于加，

•.•四边形ABOD是正方形，，/BAC=45°,.♦.PQ=§J3A,r.PM-PQ的最小值为0,

•.•方。朋-24=血（。丽-亨P4）=0（PM-PQ）,的最小值为0,故答案为：0.

【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形等知识，解题关键是作辅助线转化线段.

7.（2024•重庆•九年级校考期中）如图，矩形ABC©的对角线AC,相交于点O,ACO。关于CD的对

称图形为ACED（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）连接若4B=6cm,BC=述cm.

①求smZEAD的值；②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP,一动点Q从点。出

发，以lcm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P,再以1.5cm^的速度沿线段R1匀速运动到点A,到

达点A后停止运动.当点Q沿上述路线运动到点4所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全

程所需的时间.

【答案】⑴证明见解析；⑵①sin/EAD=~1忿”=得和Q走完全程所需时间为3s.

【分析】（1）利用四边相等的四边形是菱形进行证明即可；（2）①构造直角三角形求sin/EA。即可；

②先确定点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间.

【详解】（1）：四边形ABCD是矩形，/.AC=BD,

•：AC与BD交于点O,且XCOD、XCED关于CD对称，

；.DO=CO,DO=DEQC=EC，:.DO=OC=EC=ED,：.四边形OCED是菱形；

（2）①连接OE,直线OE分别交于点F,交。。于点G,

,:XCOD关于CD的对称图形为XCED,：.OE±DC,VDCIIAB：.OFYAB,EF//AD,

•：在矩形ABCD中，G为。。的中点，且。为AC的中点，

AOG为MJAD的中位线，：.OG=GE=用，同理可得：F为AB的中点，OF=乎，AF=3,

AE=y/EF2+AF2=J32+^EAD=Z.AEF：.sinZEAD=sinZAEF=^-=；

2

EE

②过点P作PAf_LAB交AB于点、M,：.Q由O运动到P所需的时间为3s,

•/由①可得,4河=磊”，

o

.•.点Q以1.5cm/s的速度从P到A所需的时间等于以lcm/s从河运动到

即：力=加「+加4=罕+半=OP+M4,：.Q由O运动到P所需的时间就是OP+AM和最小.

•.•如下图，当P运动到R，即RO〃AB时，所用时间最短..♦.t=OP+AM=3,

在R1AAP[M]中，设入峪=22,4舄=32，人可=人用+丹用，

(302=(202+,解得X=^2：.”=等，,AP=等和Q走完全程所需时间为3s.

习题练模型

1.（2023•山东济南•统考二模）如图，在菱形ABCD中，4B=6,对角线/。、BD相交于点O,点河

在线段/C上，且AM=2,点P是线段上的一个动点，则MP+/PB的最小值是（）

A.2B.2V3C.4D.4-73

【答案】B

【分析】过M点作Afff垂直于H点，与OB的交点为P点，此时MP+/PB的长度最小为Afff,再算出

的长度，在_R〃\AiPC中利用三角函数即可解得ML

【详解】解:过河点作MH垂直BC于H点，与08的交点为P点，

•••菱形ABCD中，4B=力。=6,AB=AC=BC=6,△ABC为等边三角形,

/.2PBe=30°,/ACS=60°,.•.在Rt^PBH中，NPBH=30°,：.PH=^PB,

/.此时MP+yFB得到最小值,AiP+yFB=MP+PH=MH,

•••AC=6,A/W=2,.•.MC=4,又•.•/MCH=60°,.•.MH=A/Csin60°=2述，故选：B.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键.

2.（2023上•四川乐山・九年级统考期末）如图，在△ABC中，NBAC=90°,ZB=60°,48=4,若。是BC

边上的动点，则24。+。。的最小值是（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】。

【分析】过点。作射线CE,使ZBCE=30°,再过动点。作。F_LCE,垂足为点F,连接AD,在Rt/\DFC

中，ZDCF=30°,DF=^DC,2AD+DC=2（AD+^DC）=2（AD+OF）当A,。，F在同一直线上，即

AF_LCE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长.

【详解】过点。作射线CE,使ZBCE=30°,再过动点。作OF，CE,垂足为点F,连接入。,如图所示：

在母ADFC中,ADCF=30°,：.DF=^-DC,V2AD+DC=2（AD+^-DC）=2（AD+DF）,

：.当A,O,F在同一直线上，即AF_LCE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，

此时，/B=/ADB=60°,.•.△ABD是等边三角形，AD=BD=AB=4,

在RtZXAB。中，/A=90°,/B=60°,AB=4,.•.BC=8,.\。。=4,.•.DF=]OC=2,,

AF=AD+DF=4+2=6,：.2（AD+DF）=2AF=12,：.2（AD+DC）的最小值为12,故选:D.

【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转

化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题.

3.（2023秋・山东日照•九年级校联考期末）如图,在矩形ABCD中，48=2,2代，点P是对角线

/C上的动点，连接PD,则上4+2PD的最小值为（）

D

A.4V3B.6C.6V3D.4

【答案】B

【分析】直接利用已知得出/CAB=60°,再将原式变形，进而得出2^PA+PD）最小值，进而得出答案.

【详解】解：过点A作4CAN=30°,过点。作DM1.4V于点“，交AC于点P,

•/在矩形ABCD中，AB=2,BC=273,tan/CAB==V3,

ACAB=60°,则ADAC=30°,：.PM=^-PA,

APA+2PD=2（-j-B4+Pn）=2（PM+PD）,=2DM=2AD-sin60°=2x2通X*=6.

即24+2PD的最小值为6.故选B.

【点睛】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键.

4.（2023•河北保定・统考一榭如图，在矩形ABCD中,对角线AC,交于点O,48=06=3,点河在

线段47上，且AM=2.点P为线段上的一个动点.

（1）ZOBC=°；⑵MP+yPB的最小值为.

【答案】302

【分析】（1）由矩形的性质得到。人=。8=。。=。。，乙4BC=90°,又由得到/XOAB是等边三

角形，则AABO=60°，即可得到答案；（2）过点P作PE，BC于点E,过点M'作，BC于点F,证明

皿P+=MP+PE>AY尸，进一求解即可得到答案.

【详解】解：（I”.•四边形ABCD是矩形，.•.OA=OB=OC=OD,/ABC=90°,

.

1/AB^OB,：.AB^OB^OA,：.△OAB是等边三角形，，AABO=60°,

4OBC=AABC-AABO=90°-60°=30°,故答案为：30.

(2)过点P作PELBC于点E,过点“作MF_LBC于点、F,

在跳ABPE中，由⑴知：NPBE=30。，：.PE=^PB,：.MP*PB=MP+PE>MF,

在矩形ABCD中，4。=2OA=2OB=6,：AM=2,/.CM=AC-AM=6-2=4,

在RtZXCMF中，/MCF=/OBC=30°,.•.MF=gCM=2,.•.AfP+/PB的最小值为2,故答案为：2.

【点睛】此题考查了矩形的性质、含30°的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩

形的性质、含30°的直角三角形的性质是解题的关键.

5.（2023・湖北武汉•九年级期末）如图，OABCD中=60°,4B=6,4D=2,P为边CD上一点，则

V3PD+2PB的最小值为.

【答案】

【分析】作PHXAD交AD的延长线于H,由直角三角形的性质可得HP=3-DP,因此V3PD+2PB=

2（乎DP+PB）=2（PH+PB），当H、P、B三点共线时HP+有最小值，即V3PD十2PB有最小值,

即可求解.

【详解】如图，过点P作PH_L4D,交4D的延长线于H,

•/四边形ABCD是平行四边形，:.ABHCD,：.ZA=ZPDH=60°

•/PHAD：.ADPH=30°DH=gpD,PH=ViDH=与PD,

：.V3PD+2PB=2^^-PD+PB)=2(PH+PB)

：.当点H,点P,点B三点共线时，HP+PB有最小值，即血PD+2PB有最小值，

此时BH±AH,/ABH=30°,/A=60°,，AH=/AB=3,BH=愿AH=3/

则通PD+2PB最小值为6遍，故答案为：6V3.•M

【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识.构造直角三

角形是解题的关键.

6.（23-24八年级下•北京•期中）如图，在平行四边形4BCD中，AB=3,BC=4,AABC=60°,在线段

上取一点以使DE=1,连接BE,点河，N分别是线段入瓦瓦;上的动点，连接MN,则MN+

的最小值为.

【分析】如图，作NF_L于F,AH_LBC于H,MG_L于G,则四边形AHGM是矩形，MG=,由

题意可求AE=3=4B,/R4C=120°,/ABE=/AEB=30°,则NEBC=30。,NF=—BN,由MN+

!BN=7W+NR,可知当M、N、F三点共线且皿F_LBC时，上W+/BN最小，为MG,求AH的长，进而

可求7W+qBN最小值，

【详解】解:如图，作NF_L于F,AH_L于H,MG_LBC于G,则四边形AHGM是矩形，,MG=

AH,

•：平行四边形ABCD中，AB=3,3。=4,DE=\,乙4BC=60°,

AE=3=AB,ABAC=120°,A/ABE=AAEB=30°，34EBC=30°，:.NF=亭BN,

：.MN+^BN=MN+NF,：.当M、N、F三点共线且MF_LBC时，MN+±BN最小，为MG,

•：/历田=30°,.•.9=/48=方，由勾股定理得，AH=y/AB2-BH2=,

.♦.AW+JBN最小值为故答案为：卫咨.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，含30°的直角三角形，等边对等角，勾股定理等

知识.明确线段和最小的情况是解题的关键.

7.（2023上•湖北黄冈•八年级校考期中）如图，在长方形ABCD中，对角线8。=6,AABD=60°.将长方

形4BCD沿对角线BD折叠，得△BED,点M是线段8。上一点.则EA1+，8河的最小值为

E

AD

/

B%--------------------'c

【答案】

【分析】过点河作皿N_LBC于点N,连接EN,过点E作EF_LBC于点F,根据含30度角的直角三角形的

性质，得到进而得到EM+g~BM=EM+MNAEN,进而得到当E,M,N三点、共线时，EM

+十B做的值最小为EN的长,再根据点到直线，垂线段最短，得到当EN_LBC时，EN最小，即点N与点

F重合，再利用含30度角的直角三角形的性质进行求解即可.

【详解】解：•/在长方形ABCD中，对角线BD=6,ZABD=60°,

ANABC=/C=90°,ZPBC=30°,：.DC=^-BD=3,BC=^BD2-CD2=373,

•.•将长方形ABCD沿对角线BD折叠，得△BED,

NEBD=NDBC=30°,BE=BC=3V3,AEBC=60°,

过点初作MV_LBC于点N,连接EN，过点E作EF_LBC于点F,则：AMNB=90°,NEFB=90°,

匕DBC=30°,/.MN=,：.EM+/EM+MN>EN,

当E,M,N三点共线时，河的值最小为EN的长，

。.•点到直线，垂线段最短，/.当ENLBC时，EN最小，即点N与点F重合，

•/AEBC=60°，:.ABEF=30°,/.BF=卷BE=,

EF=^BE2-BF'2=~|■，即：EM+的最小值为£•故答案为：方.

【点睛】本题考查折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，垂线段最短.

解题的关键是理解两点之间线段最短，以及点到直线垂线段最短，添加辅助线构造特殊三角形.

8.（2023•黑龙江绥化•九年级校联考阶段练习）如图,在矩形ABCD中，人口=4,对角线AC、BD相交于

点O,=60°.点七是49的中点，若点F是对角线上一点，则即+乎。斤的最小值是

AD

【答案】3同

【分析】过点F作FG_LCD于点G,证明AAOB为等边三角形，推出4GDF=60°,则FG=DF-

sin/GDF=§OF,AD=BD-sin60°=4，^,进而得出EF+*DF=EF+FG,当点E、F、G在同一

条直线上时，EF+小。干取最小值，证明△CEG〜△CAD,根据相似三角形对应边成比例，即可求解.

【详解】解:过点F作FG_LCD于点G,如图，

•.•四边形ABCD为矩形，.•.AO=BO,AB〃CD,•.•乙408=60°,.•.△AOB为等边三角形，

AABO=60°,AO=BO=CO=DO=4：,：.ZGDF=60°,AC=8.

•：FG±CD,：.FG=DF-sinAGDF=^-DF,AD=BD-sin60°=473,:.EF+*DF=EF+FG,

当点E、F、G在同一条直线上时，EF+乎OF取最小值，

•••点E是40的中点，,AE=OE=^-AO=,则篙=等，

FG±CD,：.EG//AD,：.&CEG〜ACAD,：.需=嗯=,，解得：EG=3聪,

综上：EF+哼DF的最小值为3代，故答案为：3方.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，

解题的关键是正确作出辅助线，找出FG=OF•sin/GDF=堂DF.

9.（2022•陕西西安•校考模拟预测）如图,在矩形4BCD中，AB=2,BC=，点P是对角线AC上的

动点，连接PD，则上4+2PD的最小值

14

【答案】6

【分析】直接利用已知得出/.CAB=60°,再将原式变形，进而得出yB4+PD最小值，进而得出答案.

【详解】过点A作NCAN=30°,过点D作DM_LAN于点河，交AC于点P,

•/在矩形ABCD中，AB=2,BC=273,tan/CAB=-=V3,

.•./CAB=60°,贝”ZDAC=30°,■：PA+2PD=2^PA+PD),

^R4+PD=PM+PD=AD•sin60"=2四x乎=3,

此时「R4+PD最小，.•.Q4+2PD的最小值是2x3=6.故答案为：6.

【点睛】此题主要考查了胡不归问题，正确作出辅助线是解题关键.

10.(2023•重庆沙坪坝•八年级校考期末)如图，在直角坐标系中，直线八夕=一空2+子与立轴交于点

C,与夕轴交于点4分别以OC、OA为边作矩形ABCO,点。、E在直线AC上，且£©=1,则6。+

的最小值