第四章圆与方程知识点总结及习题(答案

1、名师推荐精心整理学习必备E，半径为r2丿.HF=半径2 2 2过圆上一点的切线 方程：圆（x-a） +（y-b） =r，圆上一点为（xo, yo），则过此点的切线方程为第四章圆与方程1圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的 半径。2、圆的方程（4）标准方程（xaj +（ybf = r2，圆心（a,b），半径为r ；点 M（x）,y0）与圆（x-a）2 （y-b）2 = r2 的位置关系：当(Xd -a)2 (y0 -b)2 r2，点在圆外当(怡-a)2 (y0 -b)2 = r2，点在圆上当(Xd -a)2 (yo -b)2 0）的圆心位于（）A.第一象限

2、B.篇怎耳C. 第三象限D.第川晁浪答案 B 典例剖析 *例1已知圆C的半径为2 ,圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为（）2 2 2 2A. x +y -2x-3=0B x +y +4x=0C. x +y + 2x-3=0D.x +y -4 x=0答案 D例2 已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P, Q两点，且 0P丄0Q(0为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径.解方法一将x=3-2y,代入方程 x2+y2+x-6y+n=0,5y2-20 y+12+m=0.设 P (X1,yJ ,Q(X2,y2)，则屮、y?満扎虽12 +my1+y

3、2=4, yy=5/ OPL 0Q XiX2+y$2=0.|ij Xi=3-2 %, X2=3-2y2./ xiX2=9-6( yi+y2)+4yiy2.m=3,此时 0,圆心坐标为 一1,半径r = ?.I2丿 2方法二如图所示，设弦PQ中点为MTOML PQ / kM =2.二 OM的方程为:y-3=2 1 x +1 ；,1 V 2丿即：y=2x+4.y=2x 4.+2y d =0解得M的坐标为(-1 , 2).则以PQ为直径的圆可设为(x+1) 2+ (y-2 ) 2=r2./ OPL OQ 点O在以PQ为直径的圆上.(0+1) 2+ (0-2 ) 2=r2，即 r2=5, mQ=.在

4、Rt OMQ中，OQ=OM+mQ 1 J - (3-2) 2+5=1 (-6) 4m.2 4 m=3. 半径为,圆心为i 丄3 ；2 I 2丿方法三设过P、QI划勺荼“牡巾x2+y2+x-6 y+m+ (x+2y-3)=0.Il OPLOQ知，点 O (0，0)在圆上. m3 丸=0,即 m=3 丸.即 x2+(1+ )x+y2+2( -3) y=0.二冋 U厂巴可化怎 x2+y2+x-6 y+3 + x+2 y-3 =0圆心 M, 2(3 _)，又圆在 PQ上.I 22丿 - 1 +丸+2 (3-肋-3=0，人=1，二m=3.训心为.1丄3 ，半径为52 2 2 例3 (12分)已知实数x、

5、y满足方程x2+y2-4x+1=0.(1) 求 y-x I(2) 求x2+y2的最大值和最小值.解(1) y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线 y=x+b与圆相切时，纵截距 b取得最大值或最小值，此时?匸_ =;；3,解得b=-2 6.5分所以y-x的最大值为-2+ . 6，最小值为-2-6 .6分(2)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.8又圆心到原点的距离为.(2)2( 0_0)2 =2!所以x+y2的最大值是(2+J3) 2=7+43 !x2+y2 的最小值是(2- .3)2=7-4 ,3 .12

6、：圆与直线方程例 1 已知圆 x2+y2-6m*2 (ml ) y+10ni-2 n-24=0 (mE R).(1) 求证：不论 m为何值，圆心在同一直线I(2) 与 I半行-1：泼呼空勻疏I交、和；丿、f禺(3) 求证：任何一条平行于I且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.(1)证明配方得：(x-3m 2+ : y- (m1 ) 2=25lr设圆心为(x，y)，则/3m ,消去m柑y =m7I : x-3 y-3=0，则圆心恒在直线 I : x-3y-3=0上.(2)解 设与I平行的直线是丨1 : x-3y+b=0：找丨1勺戶密为d= pm-3(m-1)+b|3+b|J10710t圆的半径为

7、r =5!当 dvr，即-5 J0 -3 br，即bv -5 .10-3或b 5 JO -3时，直线与圆相离.(3) 证明 对于任一条平行于I且与圆相交的直线I 1： x-3y+b=0，由于圆心到直线11的距离d=3門710(4) 弦长=2 . r _d2且r和d均为常量.任何一条平行于I且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.例2 从点A (-3 , 3)发出的光线I射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线I所在直线的方程.解方法一 如图所示，设I与x轴交于点B ( b,0)，则kAB= L,根据光的反射定律, b +3反射光线的斜率k反= .虫

8、址泼所f：.级勺打桂为y = _L(x-b), HR 3x-( b+3)y-3b=0.b+3b+3t已知圆x2+y2-4x-4y+7=0的圆心为C (2,2芒为1, 6(心山=1,解得 b1=-3,b2=1.9 - (b 3)24 kAB=-或 kAB=- - . AI 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0.34方法二 已知圆C: x2+y2-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为 C: ( x-2) 2+(y+2)2=1，其圆心 G的坐标为(2,-2 )，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C相切.设 I 的方程为 y-3=k(x+3),则 _5k 5- =1,

9、 F|- 12k2+25k+12=0.J12 栋2匕=-4，k2=-.川 I 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0.3 4方法三设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等，且-3 -3k bk k|2k +2 -b|Jik7 一1消去b得51k；=1.后者与已知圆相切.RJ 12k2+25k+12=0, kv- 4 , k2=-.34则 I 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0.例 3 已知圆 Ci： x2+y2-2 mx+4y+ni-5=0,圆 G： x2+y2+2x-2 my+n,i-3=0, m为何值时

10、,(1 )圆C与圆C2相外切；(2)圆C与圆C2内會？解对于圆C与圆C2I勺打h，豁:吧打2 2 2 2G:( x- n) +(y+2) =9; C2：( x+1) +(y- n) =4.(1) 如果C与C2外切，则有(m +1)2如十2)2 =3+2.(n+1)2+( n+2) 2=25.m+3m10=0,解得 n=-5 或 n=2.(2) 如果 C 与 C2 内含，则有m +1)2 +(m +2)2 3-2.(n+1)2+( n+2) 2 1,m+3n+2 0,-2 n-1,.当n=-5或n=2时，圆C与圆C2外切；当-2 rn-1时，圆G与圆G内含.例 4 (12 分)已知点 P (0，

11、5)及圆 C: x2+y2+4x-12y+24=0.(1) 若直线I过P且被圆C截得的线段长为4.3，求I的方程;(2) 求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.解 (1)方法一 如图所示，AB=4、.3，D是 AB 的中点，CD丄 AB, AD=2 、3，圆 x2+y2+4x-12y+24=0 可化为(x+2) 2+ (y-6 ) 2=16,圆心 C (-2，6)，半径 r=4,故 AC=4! 在 Rt ACD中，可得 CD=2.设所求直线的斜率为 k，则直线的方程为y-5=kx.即 kx- y+5=0. 由点C到直线AB的距离公式：25 =2，得k=?.Jk2%/)24此时直线I的方程为3x-

12、4y+20=0.4 j-又直线I的斜率不存在时，此时方程为x=0.6则 y2-12y+24=0, 产6+2 32=6-2 .3,-y2-yi=4 - ；3 ,故 x=0 满足题意.所求直线的方程为 3x-4 y+20=0或x=0.方法二 设所求直线的斜率为k：则仃找|勺，1上习 y-5=kx,即y=kx+5,f联立直线与圆的方程丿严x+5,x +y +4xJ2y+24=02k _4：1 k2111 k2消去 y 得(1+k2) x2+(4-2 k)x-11=0设方程的两根为Xi,X2,Xi +x2山喂与泵数I勺关系得*x1x2 =由弦长公式得.1 k2 | X1-X2F J(1 k2)(x._

13、x2)4x1x2 =4/3,将式代入，解得k=3 , I匕吋弓诜：Ki.为3x-4y+20=0.4又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x=0.所求直线的方程为 x=0或3x-4 y+20=0.8 (2)设过P点的圆C的弦的中点为 D (x,y), 则CD丄PD,即CD PD =0，(x+2, y-6 ) ( x, y-5)=0，代 Wj与叩求讥订厂糅为 x2+y2+2x-11 y+30=0.3.求过点P (4，-1 )且与圆C: x2+y2+2x-6y+5=0切于点M( 1，2)的圆的方程解 方法一 设所求圆的圆心为 A (n, n)，半径为r, 则AMC三点共线，且有|MA=| Ap=r!因为圆 C: x2+y2+2x-6 y+5=0 的圆心为 C (-1，3； n 22-3则_1 1 +1| J(m _1)2 (n _2)2 =,(m_4)2 (n 1)2 =r解得 m=3, n=1, r = . 5 ,所以所求圆的方程为(x-3) 2+( y-1) 2=5.方法二 因为圆C: x2+y2+2x-6y+5=0过点M( 1，2)的切线方程为 2x-y=0,所以设所求圆A 1 L Vj22x +y +2x-6