高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.11.1利用导数研究函数的单调性理

1、第十一节导数在研究函数中的应用 第一课时利用导数研究函数的单调性,知识梳理】 函数的单调性与导数的关系 函数y=f(x)在某个区间内可导: (1)若f(x)0,则f(x)在这个区间内_; (2)若f(x)0,则f(x)在这个区间内_; (3)若f(x)=0,则f(x)在这个区间内是_,单调递增,单调递减,常数函数,特别提醒】 导数与函数单调性的关系 (1)f(x)0(或f(x)0)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件. (2)f(x)0(或f(x)0)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f(x)=0不恒成立,小题快练】 链接教材练一练 1.(选修2

2、-2P24例1改编)如图所示是函数f(x)的导函数f(x)的图象,则下列判断中正确的是(,A.函数f(x)在区间(-3,0)上是减函数 B.函数f(x)在区间(-3,2)上是减函数 C.函数f(x)在区间(0,2)上是减函数 D.函数f(x)在区间(-3,2)上是单调函数 【解析】选A.当x(-3,0)时,f(x)0,则f(x)在 (-3,0)上是减函数.其他判断均不正确,2.(选修2-2P26练习T1(2)改编)函数 的单 调递减区间为( ) A.(-1,1 B.(0,1 C.1，+) D.(0，+) 【解析】选B.由题意知函数的定义域为(0，+)， 又由y= 0，解得0x1， 所以函数的单

3、调递减区间为(0,1,感悟考题 试一试 3.(2016内江模拟)函数f(x)= (a0)的单调递增区间是( ) A.(-，-1) B.(-1,1) C.(1，+) D.(-，-1)或(1，,解析】选B.函数f(x)的定义域为R，f(x)= = 由于a0，要使f(x)0， 只需(1-x)(1+x)0，解得x(-1,1,4.(2016广州模拟)已知函数y=xf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数).则下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是(,解析】选C.由条件可知当01时,xf(x)0, 所以f(x)0,函数递增,所以当x=1时,函数取得 极小值. 当x0,函数递增, 当-1

4、0,所以f(x)0,函数递减, 所以当x=-1时,函数取得极大值.符合条件的只有C项,5.(2016合肥模拟)若函数f(x)=mx2+lnx-2x在定义域内是增函数,则实数m的取值范围是,解析】f(x)= 函数f(x)在其定义域(0， +)内为增函数的充要条件是 0在(0，+) 内恒成立，即2m 在(0，+)内恒成立，由于函 数(x)= 故只要2m1即可，即 答案,考向一利用导数判断或证明函数的单调性 【典例1】(1)(2015湖南高考)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是() A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在

5、(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数,2)(2015全国卷改编)设函数f(x)=emx+x2-mx(xR),讨论f(x)的单调性,解题导引】(1)利用函数奇偶性的定义判断奇偶性,利用导数确定函数的单调性. (2)先对函数f(x)求导,然后分m0,m0两种情况进行讨论,规范解答】(1)选A显然，f(x)的定义域为(-1，1), 关于原点对称， 又因为f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x)， 所以f(x)为奇函数.因为f(x)= 在 (0,1)上f(x)0，所以f(x)在(0,1)上是增函数,2)因为f(x)=m(emx-1)+2x. 若m0,则当x(-,0)

6、时,emx-10,f(x)0. 若m0,f(x)0. 综上所述f(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增,规律方法】导数法判断(证明)函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤 (1)求f(x). (2)确认f(x)在(a,b)内的符号. (3)得出结论:f(x)0时为增函数;f(x)0时为减函数,易错提醒:研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论,变式训练】(2015重庆高考)已知函数f(x)=ax3+x2 (aR)在x= 处取得极值. (1)确定a的值. (2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性,解析】(1)对f(x)求导得f(x)=

7、3ax2+2x. 因为f(x)在 处取得极值， 所以 解得 经检验满足题意,2)由(1)知g(x)= 所以 g(x)= 令g(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4. 当x-4时，g(x)0,故g(x)为减函数,当-40,故g(x)为增函数； 当-10时，g(x)0,故g(x)为增函数； 综上知，g(x)在(-,-4)和(-1,0)内为减函数， 在(-4,-1)和(0,+)内为增函数,加固训练】(2015四川高考改编题)已知函数f(x)=-2xlnx+x2-2ax+a2,其中a0.设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性,解析】由已知，函数的定义域为(0,+)， 所以g(x)=f(

8、x)=2(x-1-ln x-a) 所以g(x)= 当x(0,1)时，g(x)0,g(x)单调递增,考向二利用导数求函数的单调区间 【典例2】(1)已知函数f(x)=ax+ln x，则当a0时，f(x)的单调递增区间是_，单调递减区间是_,2)已知函数f(x)= 其中aR，且曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 求函数f(x)的单调区间,解题导引】(1)求f(x)的单调区间只需令f(x)0或 f(x)0求出x的范围. (2)先利用曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于直 线 求出a的值，然后再求出单调区间,规范解答】(1)由已知得f(x)的定义域为(0，+). 因为f

9、(x)= 所以当x 时f(x)0， 当00， 所以f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为 答案,2)对f(x)求导得f(x)= 由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 知f(1)= =-2，解得 所以f(x)= 则f(x)= 令f(x)=0，解得x=-1或x=5， 因x=-1不在f(x)的定义域(0，+)内，故舍去,当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，+)内为增函数 所以f(x)的单调递增区间为(5,+),单调递减区间为(0，5,易错警示】解答典例2(2)会出现以下错误:令f(x)=0,解得x=-1或x=5时,忽视函数的定义域而未舍去x=-1,规律方法】求函数的单调区间的

10、“两种”方法 方法一:(1)确定函数y=f(x)的定义域. (2)求导数f(x). (3)解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间. (4)解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递减区间,方法二:(1)确定函数y=f(x)的定义域. (2)求导数f(x),令f(x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根. (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间,4)确定f(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性,变式训练】(2016福州模拟)已

11、知函数 f(x)=ln(ex+1)-ax(a0). (1)若函数y=f(x)的导函数是奇函数,求a的值. (2)求函数y=f(x)的单调区间,解析】(1)函数f(x)的定义域为R. 由已知得f(x)= 因为函数y=f(x)的导函数是奇函数， 所以f(-x)=-f(x)， 即 解得,2)由(1)f(x)= 当a1时，f(x)0恒成立， 所以当a1，+)时，函数y=f(x)在R上单调递减 当0a1时，由f(x)0得(1-a)(ex+1)1， 即ex 解得,当0a1时，由f(x)0得(1-a)(ex+1)1， 即ex 解得 所以当a(0,1)时，函数y=f(x)在 上单调 递增，在 上单调递减,加固

12、训练】1.(2016广州模拟)已知函数f(x)=(-x2+2x)ex,xR, e为自然对数的底数.则函数f(x)的单调递增区间为,解析】因为f(x)=(-x2+2x)ex,所以f(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex=(-x2+2)ex.令f(x)0,即(-x2+2)ex0, 因为ex0，所以-x2+20，解得 所以函数f(x)的单调递增区间是 答案,2.已知函数f(x)= (1)求函数f(x)的单调区间. (2)若函数f(x)在(1，+)上单调递增，求a的取值范围,解析】(1)函数f(x)= 的定义域为(0,+), f(x)= 当=1+4a0，即a 时，x2+x-a0恒成立， 即f

13、(x)0恒成立, 所以函数f(x)在(0，+)上单调递增,当=1+4a0，即 时， 令f(x)=0，得x2+x-a=0， 解得 ()若 a0，则 因为x(0，+)，所以f(x)0，所以函数f(x)在(0，+)上单调递增,若a0，则x 时，f(x)0； x 时，f(x)0， 所以函数f(x)在区间 上单调递减，在区 间 上单调递增,综上所述，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为 (0，+)； 当a0时，函数f(x)的单调递减区间为 单调递增区间为,2)由题意知，f(x)0在(1，+)上恒成立， 即x2+x-a0在(1，+)上恒成立， 令g(x)= 则g(x)2-a，从而2-a0，所以a2. 当

14、a=2时，f(x)0在(1，+)上恒成立， 因此实数a的取值范围是(-，2,3.(2015江苏高考改编)已知函数f(x)=x3+ax2+b (a,bR).求函数f(x)的单调区间,解析】f(x)=3x2+2ax= 令f(x)=0，得x=0或 当a0，得x0或 令f(x) 0，得 所以f(x)的单调递增区间是(-,0) 和 单调递减区间是,当a=0时，f(x)0恒成立，所以f(x)在R上单调递 增. 当a0时，令f(x)0,得 或x0; 令f(x)0，得 所以f(x)的单调递增区间 是 和(0,+)，单调递减区间是,综上所述，当a0时，f(x)的单调递增区间是 和(0,+)， 单调递减区间是,考

15、向三利用导数解决函数的单调性的应用问题 【考情快递,考题例析】 命题方向1：已知函数单调性求参数的取值范围 【典例3】(2014全国卷)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1，+)上单调递增，则k的取值范围是( ) A.(-,-2 B.(-,-1 C.2,+) D.1,解题导引】利用函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+)上单调递增等价于f(x)0在(1,+)恒成立求解,规范解答】选D.因为f(x)在(1,+)上单调递增， 所以f(x)0在(1，+)上恒成立， 因为f(x)=kx-ln x， 所以f(x)= 即 因为x1,所以 所以k1.所以k1,母题变式】 1.若本例条件改为“函数f(

16、x)=kx-ln x在区间(1,+)上单调递减”，求k的取值范围,解析】因为函数f(x)=kx-ln x， 所以f(x)= 函数在区间(1,+)上单调递减， 则f(x)0在(1,+)上恒成立， 即 0在区间(1,+)上恒成立， 故k 在区间(1,+)上恒成立， 因为在区间(1,+)上 故k0,2.试求本例函数f(x)=kx-ln x的单调区间. 【解析】函数f(x)=kx-ln x的定义域为(0,+)， 因为f(x)= 当k0时，f(x)= 0恒成立， 故函数在区间(0,+)上为减函数； 当k0时，令f(x)0,解得 令f(x)0时，函数的单调递增区间为 单调递减区 间为,命题方向2：比较大小

17、或解不等式 【典例4】(1)(2014 湖南高考)若0x1x21， 则(,2)(2015全国卷)设函数f(x)是奇函数f(x) (xR)的导函数,f(-1)=0,当x0时,xf(x)-f(x)0成立的x的取值范围是() A.(-,-1)(0,1) B.(-1,0)(1,+) C.(-,-1)(-1,0) D.(0,1)(1,解题导引】(1)根据不等式的特点构造函数，再利用导数判断其单调性后再比较大小. (2)构造函数g(x)= 然后对函数g(x)求导，利用单调性确定x的取值范围,规范解答】(1)选C,2)选A.记函数g(x)= 则g(x)= 因为当x0时，xf(x)-f(x)0时，g(x)0，

18、所以g(x)在(0,+)上单调 递减,又因为函数f(x)(xR)是奇函数，故函数g(x)是 偶函数， 所以g(x)在(-,0)上单调递增， 且g(-1)=g(1)=0 当00，则f(x)0； 当x0,综上所述，使得f(x)0成立的x的取值范围是 (-,-1)(0,1,技法感悟】 1.利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路 (1)由函数在区间a,b上单调递增(减)可知f(x)0 (f(x)0)在区间a,b上恒成立列出不等式. (2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题,3)对等号单独检验,检验参数的取值能否使f(x)在整个区间恒等于0,若f(x)恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在个

19、别点处有f(x)=0,则参数可取这个值,2.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧 利用题目条件,构造辅助函数,把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题,再由单调性比较大小或解不等式,易错提醒:f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a,b)都有f(x)0且在(a,b)内的任一非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解,题组通关】 1(2016十堰模拟)函数f(x)= 在区间 -1，2上不单调，则实数a的取值范围是( ) A.(-,-3 B.(-3,1) C.1,+) D.(-,-31,解析】选B.因为f(x)= 所以f(x)=x2-2x+a=(x-1)2+a-1, 如果函数f(x)= 在区间-1，2上 单调， 那么a-10或 解得a1或a-3, 于是满足条件的a(-3，1,2.(2015福建高考)若定义在R上的函数f(x)满足f(