数学形态学原理（第2讲）.ppt

1、第9章 数学形态学原理（第二讲,9.3 一些基本形态学算法,在前面背景知识基础上可探讨形态学的实际应用。当处理二值图像时形态学的主要应用是提取表示和描述图像形状的有用成分。特别是提取某一区域的边界线、连接成分、骨骼、凸壳的算法十分有效。区域填充、细化、加粗、裁剪等处理方法也经常与上述算法相结合在预处理和后处理中使用。这些算法的讨论大部分采用的是二值的图像，即只有黑和白两级灰度，1表示黑，0表示白,9.3.1边缘提取算法,集合A的边界记为 (A)，可以通过下述算法提取边缘：设B是一个合适的结构元素，首先令A被B腐蚀，然后求集合A和它的腐蚀的差。如下式所示： (930,图910 边缘提取算法示意图

2、,图910解释了边缘提取的过程。它表示了一个简单的二值图像，一个结构元素和用公式(930)得出的结果。图910(b)中的结构元素是最常用的一种，但它决不是唯一的。通常的情况如果采用一个55全“1”的结构元素，可得到一个二到三个像素宽的边缘。应注意当集合B的原点处在集合的边界时，结构元素的一部分位于集合之外。这种条件下的通常的处理是约定集合边界外的值为0,例题：使用形态学处理提取边界,下图为一幅简单的二值图像，(b)为使用图9.13(b)中的3*3结构元素进行处理的结果,9.3.2 区域填充算法,下面讨论的是一种基于集合膨胀，取补和取交的区域填充的简单的算法。如图A表示一个包含一个子集的集合，子

3、集的元素为8字形的连接边界的区域。从边界内的一点P开始，目标是用1去填充整个区域,假定所有的非边界元素均标为0，我们把一个值1赋给P开始这个过程。下述过程将把这个区域用1来填充： (931) 其中， ，B为对称结构元素，如图所示。当 k 迭代到 时，算法终止。集合 和 A 的并集包括填充的集合和边界,图 911 区域填充算法,如果公式(931)的膨胀过程一直进行，它将填满整个区域。然而，每一步与AC的交把结果限制在我们感兴趣的区域内（这种限制过程有时称为条件膨胀）。图911剩下的部分解释了公式(931)的进一步技巧。尽管这个例子只有一个子集，只要每个边界内给一个点，这个概念可清楚地用在任何有限

4、个这样的子集中,图 911 区域填充算法,例题：形态学区域填充,图显示了在球体中选择的一个点，(b)显示了填充的结果，(c)显示了填充所有球体后的结果,在形式上与填充相似。不同的是用A代替了AC ，这是因为所提取的全部元素（相连组成部分的元素）均标记为1。每一迭代步和A求交集可除去以标记为0的元素为中心的膨胀。图912图释了公式(932)的操作技巧。这里，结构元素的形状是8连接的，与区域填充算法一样，以上讨论的结果可以应用于任何有限的包含在集合A中的连接部分,图 912 连接部分提取算法,图中（a）集A包含一个连接部分Y和初始点P；(b)是结构元；(c)第一次迭代结果；(d)第二次迭代结果；(

5、e)最终结果,9.3.4 凸壳算法（看做边界,集合的凸壳是一个有用的图像描述工具。在此提出一种获得集合A凸壳C(A)的简单形态学算法。设 Bi ， i= 1,2,3,4,代表四个结构元素。这个处理过程由下述公式实现,这个过程包括对A和B1重复使用击中（hit）或击不中（miss)变换；当没有进一步的变化发生时，求A和所谓的结果D1并集。对B2重复此过程直到没有进一步的变化为止。四个结果D的并构成了A的凸壳,左图中为提取凸壳的结构元素（每个结构元素的原点位于它的中心）。中图给出了要提取凸壳的集合 A，从 开始，重复公式四步后得到的结果D1右图,然后令 再次利用公式(933)得到的结果示于图913

6、(d)(注意只用两步就收敛了)。下两个结果用同样的方法得到。最后，把图913(c),(d),(e)和(f)中的集合求并的结果就为所求凸壳。每个结构元素对结果的贡献在图913(h)的合成集合中用不同加亮表示,图913 凸壳算法示例,图913 凸壳算法示例,9.3.5 细化,根据这个概念，我们现定义被一个结构元素序列的细化为 ) (937) 换句话说，这个过程是用 细化A，然后用 细化前一步细化的结果等等，直到A被 细化。整个过程重复进行到没有进一步的变化发生为止,图914(a)是一组用于细化的结构元素，图914(b)为用上述方法细化的集合A 。图914(c)示出用 细化A得到的结果，图914(d

7、)-(k)为用其它结构元素细化的结果。当第二次通过 时收敛。图914(k)示出细化的结果,图 914 细化处理,图 914 细化处理,9.3.6 粗化运算,粗化同细化的结构元素具有相同的形式。只是所有的0和1交换位置。然而实际中粗化算法很少使用。相反通常的过程是细化集合的背景，然后求细化结果的补而达到粗化的结果。 为了粗化集合A，令 ，细化C，然后得到 即为粗化结果。图915解释了这个过程,图 915 粗化处理,这个过程可能产生一些不连贯的点，这取决于A的性质，通常要进行一个简单的后处理步骤来清除不连贯的点,从图中可以看出，细化的背景为粗化过程形成一个边界。这个性质在直接使用公式实现粗化过程中

8、不会出现，这是用背景细化来实现粗化的一个主要原因,9.3.7 骨骼化算法,利用形态学方法提取一个区域的骨格可以用腐蚀和开运算表示。即A的骨骼记为S(A)，骨骼化可以表示如下： (940) 和 (941) 其中B是结构元素， 表示对A连续腐蚀k次,即 共执行k次，K是A被腐蚀为空集以前的最后一次迭代的步骤。即,表明集合A的骨骼S(A)可由骨骼子集Sk(A)的并得到，同样表明可以也可以通过下面等式从子集重构A,表明参数 k 是对子集 连续膨胀 k 次。相当于下式,右图说明了以上讨论的概念。第一列显示了原始集合（顶部）和通过结构元素B（3*3）两次腐蚀的图形。由于再多一次对A的腐蚀将产生空集，所以选

9、取K2。第二列显示了第一列通过B的开运算而得到的图形,第三列为第一列与第二列的差别。第四列含两个部分骨骼及最后的结果。最后的骨骼不但比所要求的更粗，而且相比较更重要，它是不连续的。形态学给出了就特定图形侵蚀和空缺的描述。骨骼必须最大限度的细化、相连、最小限度的腐蚀,第五列显示了 、 以及。最后一列显示了图像A的重构。A就是第五列中膨胀骨骼子集的“并,图示,9.3.8 裁剪,图形细化和骨骼化运算法有可能残留需在后续处理中去除的寄生成分，裁剪方法成为对图形细化、骨骼化运算的必要补充,分析每个待识别字符的骨骼形状是自动识别手写字符的一种常见处理方法。由于对组成字符的笔画的不均匀腐蚀，字符的骨架常常带

10、有“毛刺”（一种寄生成分）。这里将提出一种解决这种问题的形态学方法。首先我们假设寄生成分“毛刺”的长度不超过3个象素,下图显示了手写字符“a”的骨骼。在字符最左边部分的寄生成分是一种我们感兴趣的典型的待去除成分。去除的方法是基于不断减少该字符的终点，对寄生成分加以抑制。当然不可否认这样也不可避免的会消去（或减少）被处理字符其余必要的骨架,但是缺少的结构信息是在最多不超过3个象素的假设前提下，即最多减少3个象素的字符结构信息。对于一个输入集合A，通过一系列用于检测字符端点的结构元素的细化处理，达到希望的结果。即,9-45,B表示结构元序列，包含两个不同的结构，每一个结构将对全部八个元素作90的旋

11、转，图中的“”表示“不用考虑”的情况，在某种意义上，不管该位置上的值是0还是1都毫无关系,许多图形学文献记载的结果都是基于类似于图917(b)中单一结构的运用基础之上的，不过不同的是，在第一列中多了“不用考虑”的状态而已。这样的处理是不完善的。例如，这个元素将标识图917(a)位于第八排，第四列作为最后一点的点，如果减去该元素将破坏这一笔的连接性,a)是原像，(b)和(c)是结构元素（d）细化三次的结果，（e）端点，(f)在（a）的条件下端点的膨胀，（g）裁剪后的图像,连续对A运用等式(945)三次将生成图917(d)中的集合 。下一步将是把字符“恢复”到最初的形状，同时将寄生的成分去除。这首

12、先需要建立包含图917(e)所有边缘信息的集合,946,等式(946)中 是和前面一样的端点检测因子，下一步对边缘进行三次放大处理，集合A作为消减因子,947,等式(947)中H是一个值为1的33 的结构元素，类似局域填充和连接成分的提取的情况，这一类条件膨胀处理有效的避免了在我们感兴趣区域外值1元素的产生，正如图917(f)中显示的结果证实的一样。最后，X3 和 X1 的并生成了最后的结果： (947) 正如图917(g)中所示,在更复杂的情况下，如果分支端点离骨骼较近时，使用公式(946)有时可以捡拾一些寄生分枝的“尖端”。尽管可以通过等式(944)减少，但是由于它们是A中的有效点而在膨胀

13、处理中再次出现,除非只有所有的寄生元素再次获得的情况下（当这些寄生元素与字符笔画相比不够长时，这将是一种出现机率非常少的情况），如果寄生元素处在非连接区域，那末检测和减少寄生元素才会变得容易一些,在这一点上一种自然而然的想法就是必须有一种方法来解决这个问题。例如，我们可以通过运用公式(944)，仅仅对被删除点进行跟踪和对所有的留下的端点进行再连接。这样的选择是正确的，它的优点是使用简单的形态结构来解决所有的问题,表91总结了前边讨论的数学形态学算法及其结果，图9.18示出了所使用的基本结构元素,表91 形态学结论和特性的总结,表91 形态学结论和特性的总结（续,表91 形态学结论和特性的总结（

14、续,表91 形态学结论和特性的总结（续,图918 基本形态学结构元素,9.4 灰度图像的形态学处理,针对二值图像的形态学处理的基本算法可方便地推广至灰度图像的处理。这一节将讨论对灰度图像的基本处理，即：膨胀、腐蚀、开运算、闭运算，建立一些基本的灰度形态运算法则,本节重点是运用灰度形态学提取描述和表示图像的有用成分。特别是通过形态学梯度算子开发一种边缘提取和基于纹理的区域分割算法。同时将讨论在预处理及后处理步骤中非常有用的平滑及增强处理算法,与前边二值图像形态学处理理论不同的是在以下的讨论中我们将处理数字图像函数而不是集合。设 f(x,y) 是输入图像，b(x,y) 是结构元素，它可被看作是一个

15、子图像函数。如果Z表示实整数的集合，同时假设(x,y) 是来自ZXZ的整数，f和b是对坐标为 (x,y) 像素灰度值的函数（来自实数集R的实数）。如果灰度也是整数，则Z可由整数R所代替,9.4.1 膨胀,9.4.2 腐蚀,9.4.3 开和闭运算,9.4.4 灰度形态学的应用,函数b对函数f进行灰度膨胀可定义 ，运算式如下：结构元素形状定义的邻域中选择f+b最大值,其中 和 分别是函数f和b的定义域，和前面一样, b是形态处理的结构元素，不过在这儿的b是一个函数而不是一个集合,位移参数(s-x)和(t-y)必须包含在f定义域内，模仿二值膨胀运算定义，这里两个集合必须至少有一个元素相交叠。且公式类

16、似于二维卷积公式，同时用“最大”代替卷积求和并以“相加”代替相乘,下面我们用一维函数来解释上文公式中的运算原理。对于仅有一个变量的函数，简化为,在卷积中，f(-x)仅是f(x)关于x轴原点的映射，正象卷积运算那样，相对于正的s，函数f(s-x)将向右移，对于-s，函数f(s-x)将向左移,条件是(s-x)必须在f的定义域内，x必须在b的定义域内。即f和b将相覆盖，b应包含在f内。这和二值图像膨胀定义要求的情形是类似的，即俩个集合至少应有一个元素是相互覆盖的。最后，与二值图像的情况不同，不是结构元素b而是f平移,公式可以使b代替f写成平移的形式。然而，如果 比 小（这是实际中常见的），公式(94

17、9)所给出的形式就可在索引项中加以简化，并可以获得同样的结果。就概念而言，在f上滑动b和在b上滑动f是没有区别的,膨胀是可以代换的，因而f和b相互代换的方法运用于定义式可以用来计算 ，结果都是一样的，而且b是平移函数。相反，腐蚀是不可交换的，因而，这种函数也是不可互换的,919 灰度膨胀图例,由于膨胀操作是由结构元素形状定义的邻域中选择f+b的最大值，因而通常对灰度图像的膨胀处理方法可得到两种结果：（1）如果所有的结构元素都为正，则输出图像将趋向比输入图像亮；（2）黑色细节减少或去除取决于在膨胀操作中结构元素相关的值和形状,9.4.1 膨胀,9.4.2 腐蚀,9.4.3 开和闭运算,9.4.4

18、 灰度形态学的应用,灰度图像的腐蚀定义为 ，其运算公式为,和 分别是 f 和 b 的定义域。平移参数 (s+x) 和 (t+y) 必须包含在f定义域内,与二元腐蚀的定义类似，所有的结构元素将完全包含在与被腐蚀的集合内。公式的形式与二维相关公式相似，只是用“最小”取代求和，用减法代替乘积,如果只有一个变量时，我们可以用一维的腐蚀来说明公式(951)的原理。此时，表达式可简化为,在相关情况下，s为正时，函数f(s+x)将向右平移，s为负时，函数f(s+x)将移向左边，同 时，要求 ， 意味着b将包含在f的范围内。这一点同二值图像腐蚀定义的情况相似，所有结构元素将完全包含在被腐蚀的集合内,不同于二值

19、图像腐蚀定义，操作中是f在平移,而不是结构元素b在平移。定义中可以把b写成平移函数，由于f在b上滑动等同于b在f上滑动。下图展示了通过某结构元素腐蚀函数的结果,腐蚀是在结构元素定义的领域内选择(f-b)的最小值，因而，通常对灰度图像的膨胀处理可得到两种结果： （1）如果所有的结构元素都为正，则输出图像将趋向比输入图像暗,2）在比结构元素还小的区域中的明亮细节经腐蚀处理后其效果将减弱。减弱的程度取决于环绕亮度区域的灰度值以及结构元素自身的形状和幅值,与求补、映射相关的膨胀、腐蚀是有互补性的，即,953,其中,9.4.1 膨胀,9.4.2 腐蚀,9.4.3 开和闭运算,9.4.4 灰度形态学的应用

20、,灰度图像开运算和闭运算的表达式与二值图像相同的形式。 结构元素b对图像f作开运算处理，可定义为 ，即,954,如果是二值图像的情况，开运算b对f先后进行简单的腐蚀操作和膨胀操作。 灰度图，b对f的闭运算，定义为 ，即,955,灰度图像开运算和关运算对于求补和映射也是对偶的，即,956,由于,式 (956) 也可以写为,图像的开和闭运算有一个简单的几何解释,假设看到一个三维的图像函数 f(x,y)（象一个地貌地图），x 和 y 是空间坐标轴，第三坐标轴是亮度坐标轴（即f 的值）。在重现中图像作为一个平面显示，其中的任意点(x,y)是 f 在该点坐标值,假设用球形结构元素 b 对 f 作开运算，

21、可将b 看作“滚动的球”。b对f 的开运算处理可解释为让“滚动球”沿 f 的下沿滚动，经“滚动”处理所有比“小球”直径小的峰都磨平了,通过图示解释这一概念。图921(a) 为解释简单，把灰度图像简化为连续函数剖面线。921(b)显示了“滚动球”在不同的位置上滚动，921(c)显示了沿函数剖面线结构元素 b 对 f 开运算处理的结果。所有小于球体直径的波峰值、尖锐度都减小了,在实际运用中，开运算处理常用于去除较小的亮点（相对结构元素而言），同时保留所有的灰度和较大的亮区特征不变。腐蚀操作去除较小的亮的细节，同时使图像变暗。如果再施以膨胀处理将增加图像的亮度而不再引入已去除的部分,图 921 开和

22、闭运算的图例,图921(d)显示了结构元素b对f的闭操作处理。小球（结构元素）在函数剖面上沿滚动，图921(e)给出了处理结果，只要波峰的最窄部分超过小球的直径则波峰保留原来的形状,在实际运用中，闭运算处理常用于去除图像中较小的暗点（较结构元素而言），同时保留原来较大的亮度特征。最初的膨胀运算去除较小暗细节，同时也使图像增亮。随后的腐蚀运算将图像调暗而不重新引入已去除的部分,开运算处理满足以下的性质： （i） ； (ii) 如果 ,则 ； (iii) 。 表达式 表示 是 的子集，而且在 的定义域内对于任意 都有,类似的，闭运算处理满足以下的性质： （i） ； (ii)如果 ,则 ； (iii

23、),这些表达式的使用类似于对应的二值表达式。正如在二值情况下，对开运算处理和闭运算处理性质(ii)和性质(iii)被分别称作单调增加和等幂,9.4.1 膨胀,9.4.2 腐蚀,9.4.3 开和闭运算,9.4.4 灰度形态学的应用,根据前边讨论的灰度形态学的基本运算，下边介绍一些简单的形态学实用处理算法，这些处理都是针对灰度图像进行的,1)形态学图像平滑 一种获得平滑的方法是将图像先进行闭运算处理然后再进行开运算处理，处理结果将去除或消减亮斑和暗斑,图 924 形态学处理效果,d）原图二 值图像,e）二值边 缘提取处理结果,f）原图像,g）平滑处理结果,图 924 形态学处理效果,a）原图,b）梯度处理 结果,c）边缘提取 结果,3）Top-hat变换. 所谓的图像形态 变换用 来表示，其