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文档简介
1、用特征方程与特征根解数列线性递推关系式的通项公式一.特征方程类型与解题方法类型一 递推公式为An+2aAn+1bAn特征方程为 X2 =aX+b 解得两根X1 X2 (1)若X1X2 则An=pX1n+qX2n (2)若X1=X2=X 则An=(pn+q)Xn (其中p.q为待定系数,由A1.A2联立方程求得)(3)若为虚数根,则为周期数列类型二 递推公式为An+1 特征方程为X= 解得两根X1 X2 (1)若X1X2 则计算=k接着做代换Bn= 即成等比数列(2)若X1=X2=X 则计算=k+ 接着做代换Bn= 即成等差数列(3)若为虚数根,则为周期数列类型三 递推公式为An+1特征方程为X
2、= 解得两根X1 X2 。然后参照类型二的方法进行整理类型四 k阶常系数齐次线性递归式 An+k=c1An+k-1+c2An+k-2+ckAn 特征方程为 Xk= c1Xk-1+c2Xk-2+ck(1) 若X1X2Xk 则An=+(2) 若所有特征根X1,X2,Xs.其中Xi是特征方程的ti次重根,有t1+t2+ts=k 则An=+ , 其中=+(B1,B2,Bti为待定系数)二.特征方程的推导及应用 类型一、递推公式为(其中p,q均为非零常数)。先把原递推公式转化为,其中满足,显然是方程的两个非零根。 1) 如果,则,成等比,很容易求通项公式。2) 如果,则成等比。公比为, 所以,转化成:,
3、( I )又如果,则等差,公差为,所以,即: 可以整理成通式: Ii)如果,则令,,就有,利用待定系数法可以求出的通项公式所以,化简整理得: ,可以整理成通式小结特征根法:对于由递推公式,给出的数列,方程,为特征方程。若是特征方程的两个根,当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组);当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组)。简例应用(特征根法):例1:数列:, 解:特征方程是: ,。又由,于是故例2:设p、q为实数,、是方程x2-px+q=0的两个实数根,数列xn满足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n
4、=3,4,5)求数列xn的通项公式。 解: 显然xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5)的特征根方程就是x2-px+q=0,而、是方程x2-px+q=0的两个实数根,所以可以直接假设:1 当=时,设,因为x1=p,x2=p2-q,所以 解得2 当时,设,因为x1=p,x2=p2-q,所以 解得,+类型二、递推公式为 解法:如果数列满足:已知,且对于,都有(其中p、q、r、h均为常数,且),那么,可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,如果则;如果则是等差数列。当特征方程有两个相异的根、时,则是等比数列。(证明方法如同类型一,从略)例1:已知数列满足:对于且求的通项公式. 解: 数列的特征方程为变形得其根为故特征方程有两个相异的根,则有 即例2:已知数列满足:对于都有(1)若求(2)若求(3)若求(4)当取哪些值时,无穷数列不存在?解:作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根(1)对于都有(2) 令,得.故数列从第5项开始都不存在, 当4,时,.(3) 令则对于(4)、显然当时,数列从第2项开始便不存在.由第(1)小题的解答知,时,是存在的,当时,有令则得且2.当(其中且N2)时,数列从第项开始便不存在。于是知:当在集合或且2上取值时,无穷数列都不存在。例3: 数列记 求数列的通项公式及数列的前n项和解:由已知,得,其特征方程为解之得,或,
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