山西省同煤二中联盟体2020届高三数学3月模拟考试试题文含解析

1、山西省同煤二中联盟体2020届高三数学3月模拟考试试题 文（含解析）一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1.已知集合,则（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】先求集合a和集合b，然后取交集即可.【详解】,则,故选d【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2.设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】本题考点为复数运算，为基础题目，难度偏易此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案c【详解】则故选c【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养采取公式法

2、或几何法，利用方程思想解题3.已知命题；命题，若为真命题，则实数的取值范围是( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】若为真命题，则都是真命题，由此可得范围【详解】命题，是真命题时，可得；命题，是真命题时，解得.若为真命题，则两个命题都是真命题，可得.故选：c.【点睛】本题考查复合命题的真假，考查由复合命题的真假求参数问题，掌握复合命题的真假判定是解题关键4.已知函数，若，则实数的值等于( )a. b. c. 1d. 3【答案】c【解析】【分析】按分类讨论【详解】，当时，当时，（舍弃）.故选：c.【点睛】本题考查分段函数，分段函数求函数值时要根据自变量的取值范围的不同选用不同的表

3、达式5.函数的图象大致为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先判断奇偶性,再分别代入进行排除即可.【详解】依题意,故函数为奇函数,图象关于原点对称,排除c；而,排除b；而,故,排除d,故选:a【点睛】判断图像的问题,可以考虑判断单调性、代入图像中有的横坐标的点进行分析排除即可.6.已知是定义域为的奇函数，且，当时，则（）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根据条件将自变量转化到已知区间，再根据已知解析式求结果.【详解】，因为为奇函数，所以，选c.【点睛】函数的奇偶性与对称性或周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及对称性或周期性进行变换，将所求函数值的

4、自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解7.已知，则的值为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】分析:利用诱导公式化简条件可得tan =2，再利用两角差正切公式即可得到结果.详解: 由条件整理得：sin =2cos，即=2，则tan =2，故选c点睛: 此题考查了诱导公式、同角三角函数基本关系、两角差正切公式的运用，以及三角函数的化简求值，熟练掌握基本公式是解本题的关键8.在中，分别是角，的对边，若，则的面积为（ ）a. b. 3c. d. 【答案】d【解析】【分析】三角形的面积公式为，故需要求出边与，由余弦定理可以解得与.【详解】解：在中，将，代入上式得，解得：由得所以，故选d.【

5、点睛】三角形的面积公式常见形式有两种：一是（底高），二是.借助（底高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助时，需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.9.在直三棱柱中，且，点m是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求得，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线与所成角的余弦值【详解】在直三棱柱中，且，点是，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，设异面直线与所成角为，则,异面直线与所成角的余弦值为，故选b【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题求异面直线所成的角

6、主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.10.过三点，的圆交y轴于m，n两点，则（ ）a. 2b. 8c. 4d. 10【答案】c【解析】【详解】由已知得，所以，所以，即为直角三角形，其外接圆圆心为ac中点，半径为长为，所以外接圆方程为，令，得，所以，故选c考点：圆的方程11.双曲线c:的 一条渐近线的倾斜角为130，则c的离心率为a. 2sin40b. 2cos40c. d. 【答案】d【解析】【分析】由双曲线渐近线

7、定义可得，再利用求双曲线的离心率【详解】由已知可得，故选d【点睛】对于双曲线：，有；对于椭圆，有，防止记混12.已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】函数恰有2个零点，转化为直线与的图象有两个交点，作出函数的图象及直线观察它们交点个数，对函数要分类讨论，求在原点处或过原点的切线斜率【详解】如图，数形结合，观察直线与曲线的位置关系.当，故在处的切线方程为.当，同理可得在处的切线方程为.当，设切点为，其中，则过该点的切线方程为，代入，得，故过的切线方程为.可得当时，有两个交点，即函数恰有两个零点.故选：b【点睛】本题考查函

8、数零点个数问题，解题关键是转化为直线与函数图象交点个数，通过数形结合思想求解二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13.已知函数，则的值为_【答案】【解析】，解得，故，故答案为.14.在中，若，点为线段的中点，则的值为_【答案】3【解析】【分析】由题中几何关系可知，求解即可【详解】由题意，则.【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了学生的计算能力，属于基础题15.已知ab平面bcd,，则三棱锥的外接球的体积为【答案】【解析】【分析】以为底面，为棱构建直三棱柱，故直三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球，利用正弦定理求出底面外接圆的半径，根据勾股定理即可得到外接球的半径，最后根据体积计算公式即可得结

9、果.【详解】以为底面，为棱构建直三棱柱，故直三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球，设的中心为，外接球的球心为，在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得底面外接圆的半径满足，得，所以外接球的半径满足，即所以球的体积为，故答案为.【点睛】本题已知三棱锥的底面为三角形，求三棱锥的外接球体积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与球内接多面体等知识，解题的关键是构造出直三棱柱，得到外接球的球心及半径，属于中档题.16. 某校早上800开始上课，假设该校学生小张与小王在早上730750之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_（用数字作答）【答案】【解析】试题

10、分析：设小张到校的时间为，小王到校的时间为，可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为是一个矩形区域，对应的面积为，则小张比小王至少早5分钟到校事件作出符合题意的区域为图中的面积因为，所以由几何概型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为考点：几何概型【方法点睛】求几何概型，一般先要求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件构成区域长度（面积或体积），最后再代入几何概型的概率公式求解求几何概型概率时，一定要分清“试验”和“事件”，这样才能找准基本事件构成的区域长度（面积或体积）三、解答题（每小题12分，共5小题60分）17.已知数列的前项和为，且满足，.（）求数列的通项公式；

11、（）令，记数列前项和为，证明：.【答案】(1).(2)证明见解析.【解析】试题分析：（i）当时， ，整理得，当n=1时，有.数列是以为公比，以为首项的等比数列即可求数列的通项公式 （ii）由（i）有，则 ,用裂项相消法可求其前n项和.试题解析：（i）当时，有，解得.当时，有，则 整理得： 数列是以为公比，以为首项的等比数列 即数列的通项公式为： （ii）由（i）有，则 故得证.18.电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟

12、的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性()根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女合计 ()将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率0.050.01k3.8416.635附【答案】见解析【解析】【详解】由频率分步直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将列联表中的数据代入公式计算，得因为，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关

13、（2）由频率分步直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为其中表示男性，表示女性，由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的.用a表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则事件a由7个基本事件组成，因此【点睛】本大题主要考查生活中的概率统计知识和方法以及线性相关问题.第二问求概率关键是把 “从“超级体育迷”中任意选取2人”的所有情况找清楚19.如图，直四棱柱abcda1b1c1d1的底面是菱形，aa1=4，ab=2，bad=60，e，m，n分别是bc，bb1，a1d的中点.（1）证明：mn平面c1de；（2）求点c到平面c1de的距离【答案】（1

14、）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角形中位线和可证得，证得四边形为平行四边形，进而证得，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）根据题意求得三棱锥的体积，再求出的面积，利用求得点c到平面的距离，得到结果.【详解】（1）连接，分别为，中点 为的中位线且又为中点，且 且 四边形为平行四边形，又平面，平面平面（2）在菱形中，为中点，所以，根据题意有，因为棱柱为直棱柱，所以有平面，所以，所以，设点c到平面的距离为，根据题意有，则有，解得，所以点c到平面的距离为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判

15、定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容.20.椭圆（）的离心率是，点在短轴上，且（1）求椭圆方程；（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【详解】（1）由已知，点c，d的坐标分别为（0，b），（0，b）又点p的坐标为（0，1），且1于是，解得a2，b所以椭圆e方程为.（2）当直线ab斜率存在时，设直线ab的方程为ykx1a，b的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）联立，得（2k21）x24kx20其判别式（4k）28（2k21）0所以

16、从而x1x2y1y2x1x2（y11）（y21）（1）（1k2）x1x2k（x1x2）1所以，当1时，3，此时，3定值.当直线ab斜率不存在时，直线ab即为直线cd此时213故存在常数1，使得为定值3.考点：本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、平面向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.21.已知函数f（x）=2sinxxcosxx，f（x）为f（x）的导数（1）证明：f（x）在区间（0，）存在唯一零点；（2）若x0，时，f（x）ax，求a的取值范围【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求导得到导函数后，设为进

17、行再次求导，可判断出当时，当时，从而得到单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；（2）构造函数，通过二次求导可判断出，；分别在，和的情况下根据导函数的符号判断单调性，从而确定恒成立时的取值范围.【详解】（1）令，则当时，令，解得：当时，；当时，在上单调递增；在上单调递减又，即当时，此时无零点，即无零点 ，使得又在上单调递减 为，即在上的唯一零点综上所述：在区间存在唯一零点（2）若时，即恒成立令则，由（1）可知，在上单调递增；在上单调递减且，当时，即在上恒成立在上单调递增，即，此时恒成立当时，使得在上单调递增，在上单调递减又，在上恒成立，即恒成立当时，使得在上单调递减，在上单

18、调递增时，可知不恒成立当时，在上单调递减 可知不恒成立综上所述：【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.四、本题共2道小题，每小题10.0分，选择其中1题作答.如果多做，则按所做的第一题计分22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值【答案】（1）；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）设出p的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为；（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值为.试题解析：解：（1）设p的极坐标为（）（0），