山东专用2021新高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布10.3二项式定理学案含解析

1、第三节二项式定理课标要求考情分析1.能利用计数原理证明二项式定理2会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.以考查二项展开式、通项公式及二项式系数的性质为主，赋值法求系数的和也是考查的热点，题型以选择题、填空题为主，要求相对较低. 知识点一二项式定理二项式定理(ab)ncancan1bcanrbrcbn(nn*)二项展开式的通项tr1canrbr，它表示第r1项二项式系数二项展开式中各项的系数为c，c，c知识点二二项式系数的性质1c1，c1，ccc.2cc(0mn)3二项式系数先增后减中间项最大 4各二项式系数和：cccc2n，cccccc2n1.1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”

2、或“”)(1)cankbk是二项展开式的第k项()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项()(3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关()(4)(ab)n的展开式第k1项的系数为cankbk.()(5)(x1)n的展开式二项式系数和为2n.()2小题热身(1)二项式(x2)5展开式中x的系数为(c)a5 b16c80 d80(2)6的展开式中的常数项为(d)a150 b150 c240 d240(3)二项式10的展开式中，的系数是(b)a. bc15 d15(4)若n的展开式的所有二项式系数之和为128，则n7.(5)若(13x)n(其中nn且n6)的展开式中x5与

3、x6的系数相等，则n7. 考点一二项展开式中特定项或系数【例1】(1)若(ax)6的展开式的常数项为60，则a的值为()a4b4 c2d2(2)(2019浙江卷)在二项式(x)9的展开式中，常数项是_，系数为有理数的项的个数是_【答案】(1)d(2)165方法技巧二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步，根据给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr)；第二步，根据所求的指数求解所求的项.1(2019天津卷)(2x)8的展开式中的常数项为28.解析：二项展开式的通项tr1c(2x)8r()r(

4、)r28rcx84r，令84r0可得r2，故常数项为()226c28.2若(2xa)5的二项展开式中x3的系数为720，则a3.解析：(2xa)5的展开式的通项公式为tr1(1)rc(2x)5rar(1)rc25rarx5r，令5r3，解得r2，由(1)2c252a2720，解得a3.3已知5的展开式中x5的系数为a，x2的系数为b，若ab11，则a1.考点二多项式展开式中的特定项命题方向1几个多项式和或积的展开式问题【例2】(1)已知(1ax)3(1x)5的展开式中x3的系数为2，则a等于()a2 b2c2 d1(2)已知多项式(x1)3(x2)2x5a1x4a2x3a3x2a4xa5，则a

5、4_，a5_.【解析】(1)(1ax)3，(1x)5的展开式中x3的系数分别为a3，c(1)3，由题可得a3102，即a38，解得a2.(2)由题意，得a4是展开式中的一次项的系数，则a4c12c22c13c2116，a5是展开式中的常数项，则a5c13c224.【答案】(1)b(2)164 命题方向2三项展开式的有关问题【例3】(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()a10 b20c30 d60【解析】解法1：(x2xy)5(x2x)y5，含y2的项为t3c(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的项为cx4xcx5.所以x5y2的系数为cc30.故选c.解法2：(x2xy)5为5个

6、x2xy之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为ccc30.故选c.【答案】c方法技巧(1)对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可.(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决.1(方向1)48的展开式中的常数项为(d)a32 b34c36 d38解析：4的展开式的通项为tk1c(x3)4kkc(2)kx124k，令124k0，解得k3，8的展开式的通项为

7、tr1cx8rrcx82r，令82r0，得r4，所以所求常数项为c(2)3c38.2(方向1)(1)(1)5的展开式中，x的系数为5(用数字作答)解析：(1)(1)5的展开式中，含x的项为c()4和1c()2，故x的系数为cc5.3(方向2)在(x1)4的展开式中，常数项为5.解析：易知(x1)4的展开式的通项tr1c(1)4r(x)r，又(x)r的展开式的通项rm1c(x1)mxrmc(1)mxr2m，tr1c(1)4rc(1)mxr2m，令r2m0，得r2m，0r4，0m2，当m0,1,2时，r0,2,4，故常数项为t1t3t5c(1)4c(1)2c(1)1c(1)0c(1)25.考点三二

8、项式系数与各项和的系数【例4】(1)若(2x)7a0a1(1x)a2(1x)2a7(1x)7，则a0a1a2a6的值为()a1 b2 c129 d2 188(2)若二项式n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则其展开式中x的指数为整数的项的个数为()a3 b5 c6 d7【解析】(1)在(2x)7a0a1(1x)a2(1x)2a7(1x)7中，令x0，得27a0a1a2a7128.(2x)73(1x)7，a7c30(1)71，a0a1a2a6128a7129.故选c.(2)因为展开式中只有第11项的二项式系数最大，所以n20，故二项展开式的通项为tr1c(x)20rrc3x20，由题可得20为整数，所以r0,3,6,9,12,15,18，故x的指数为整数的项有7个故选d.【答案】(1)c(2)d方法技巧1已知(2x1)5a0x5a1x4a4xa5，则|a0|a1|a5|(b)a1 b243c32 d211解析：二项式(2x1)5的展开式的通项为tr1c(2x)5r(1)r(1)r25rcx5r，所以|a0|a1|a5|a0a1a2a3a4a5，令x1，则a0a1a2a3a4a5(3)5243，所以|a0|a1|a5|243.故选b.2(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a3.解