高中数学 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案 新人教A版选修2-3

1、1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质1使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律(难点)2掌握二项式系数的性质及其应用(重点)3掌握“赋值法”并会灵活运用基础初探教材整理1“杨辉三角”阅读教材P32P35第三自然段，完成下列问题杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即CCC.1如图131是一个类似杨辉三角的图形，则第n行的首尾两个数均为_13356571111791822189图131【解析】由1,3,5,7,9，可知它们成等差数列，所以an2n1.【答案】2n1

2、2如图132，由二项式系数构成的杨辉三角中，第_行从左到右第14与第15个数之比为23.111121133114641图132【解析】设第n行从左到右第14与第15个数之比为23，则3C2C，即，解得n34.【答案】34教材整理2二项式系数的性质阅读教材P33第四自然段P35，完成下列问题1二项式系数的性质(1)对称性：在(ab)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即CC，CC，CC.(2)增减性与最大值：当k时，二项式系数是逐渐增大的由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值当n是偶数时，中间一项的二项式系数Cn取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项各式系数

3、Cn与Cn相等，且同时取得最大值2各二项式系数的和(1)CCCC2n；(2)CCCCCC2n1.1已知(ab)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于_【解析】因为只有第5项的二项式系数最大，所以15，所以n8.【答案】82已知(ax1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于_【解析】二项式系数之和为CCC2n32，所以n5.【答案】53(2x1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为_. 【导学号：97270024】【解析】因为(2x1)10a0a1xa2x2a10x10，令x1，得a0a1a2a101，再令x1，得310a0a1a2a3a10，两式相减，可得a1a3a9.【答案】质

4、疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型 与“杨辉三角”有关的问题图133如图133，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，.记其前n项和为Sn，求S19的值【精彩点拨】由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，第17项是C，第18项是C，第19项是C.【自主解答】S19(CC)(CC)(CC)(CC)C(CCCC)(CCCC)(23410)C220274.“杨辉三角”问题解决的一般方法观察分析；试验猜想；结论证明，要得到

5、杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察如表所示：再练一题1(2016南充高二检测)如图134所示，满足如下条件：第n行首尾两数均为n；表中的递推关系类似“杨辉三角”则第10行的第2个数是_，第n行的第2个数是_图134【解析】由图表可知第10行的第2个数为：(1239)146，第n行的第2个数为：123(n1)11.【答案】46求展开式的系数和设(12x)2 017a0a1xa2x2a2 017x2 017(xR)(1)求a0a1a2a2 017的值；(2)求a1a3a5a2 017的值；(3)求|a0|a1|a2|a2 01

6、7|的值【精彩点拨】先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解【自主解答】(1)令x1，得a0a1a2a2 017(1)2 0171.(2)令x1，得a0a1a2a2 01732 017.得2(a1a3a2 017)132 017，a1a3a5a2 017.(3)Tr1C(2x)r(1)rC (2x)r，a2k10(kN*)，a2k0(kN)|a0|a1|a2|a3|a2 017|a0a1a2a3a2 01732 017.1解决二项式系数和问题思维流程2“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x0可得常

7、数项，令x1可得所有项系数之和，令x1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差再练一题2若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6.【解】(1)令x0，则a01；令x1，得a7a6a1a027128，所以a1a2a7129.(2)令x1，得a7a6a5a4a3a2a1a0(4)7，由得2(a1a3a5a7)128(4)7，a1a3a5a78 256.(3)由得2(a0a2a4a6)128(4)7，a0a2a4a68 128.探究共研型二项式系数性质的应用探究1根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，

8、你可以得到二项式系数的什么性质？【提示】对称性，因为CC，也可以从f(r)C的图象中得到探究2计算，并说明你得到的结论【提示】.当k1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k时，二项式系数逐渐减小探究3二项式系数何时取得最大值？【提示】当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项Cn，Cn相等，且同时取得最大值已知f(x)(3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项【精彩点拨】求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均

9、考虑进去，包括“”“”号【自主解答】令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍去)或2n32，n5.(1)由于n5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3C(x)3(3x2)290x6，T4C(x)2(3x2)3270x.(2)展开式的通项公式为Tr1C3rx(52r)假设Tr1项系数最大，则有r，rN，r4.展开式中系数最大的项为T5Cx(3x2)4405x.1求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二

10、项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得再练一题3已知(a21)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a21)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值【解】由5，得Tr1C5rr5rCx，令Tr1为常数项，则205r0，所以r4，常数项T5C16.又(a21)n展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2n16，n4.所以(a21)4展开式中系数最大项是中间项T3Ca454，所以a.构建体系1(1x)2n1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是(

11、)An，n1Bn1，nCn1，n2 Dn2，n3【解析】该展开式共2n2项，中间两项为第n1项与第n2项，所以第n1项与第n2项为二项式系数最大的项【答案】C2已知C2C22C2nC729，则CCC的值等于() 【导学号：97270025】A64 B32C63 D31【解析】C2C2nC(12)n3n729，n6，CCC32.【答案】B3若(x3y)n的展开式中各项系数的和等于(7ab)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为_【解析】(7ab)10的展开式中二项式系数的和为CCC210，令(x3y)n中xy1，则由题设知，4n210，即22n210，解得n5.【答案】54已知(ax)5a0a

12、1xa2x2a5x5，若a280，则a0a1a2a5_.【解析】(ax)5展开式的通项为Tk1(1)kCa5kxk，令k2，得a2(1)2Ca380，解得a2，即(2x)5a0a1xa2x2a5x5，令x1，得a0a1a2a51.【答案】15在8的展开式中，(1)求系数的绝对值最大的项；(2)求二项式系数最大的项；(3)求系数最大的项；(4)求系数最小的项【解】Tr1C()8rr(1)rC2rx4.(1)设第r1项系数的绝对值最大则解得5r6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项(2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项所以T5C24x41 120x6.(3)由(1)知，展开式中的第6项和第

13、7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正则系数最大的项为T7C26x111 792x11.(4)系数最小的项为T6(1)5C25x1 792x.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1在(ab)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是()A第15项B第16项C第17项 D第18项【解析】第6项的二项式系数为C，又CC，所以第16项符合条件【答案】B2(2016吉林一中期末)已知n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是()A5 B20C10 D40【解析】根据题

14、意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n32，可得n5，Tr1Cx2(5r)xrCx103r，令103r1，解得r3，所以展开式中含x项的系数是C10，故选C.【答案】C3设(1xx2)na0a1xa2x2a2nx2n，则a0a2a4a2n等于() 【导学号：97270026】A2n B.C2n1 D.【解析】令x1，得3na0a1a2a2n1a2n，令x1，得1a0a1a2a2n1a2n，得3n12(a0a2a2n)，a0a2a2n.故选D.【答案】D4(2016信阳六高期中)已知(12x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为()A. B.C. D.【解析

15、】aC70，设bC2r，则得5r6，所以bC26C26728，所以.故选A.【答案】A5在(x)2 010的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x时，S等于()A23 015 B23 014C23 014 D23 008【解析】因为S，当x时，S23 014.【答案】B二、填空题6若(12x)2 016a0a1xa2 016x2 016(xR)，则的值为_【解析】令x0，得a01.令x，得a00，所以1.【答案】17若n是正整数，则7n7n1C7n2C7C除以9的余数是_【解析】7n7n1C7n2C7C(71)nC8n1(91)n1C9n(1)0C9n1(1)1C90(1)n1，n为偶数

16、时，余数为0；当n为奇数时，余数为7.【答案】7或08在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图135所示那么，在“杨辉三角”中，第_行会出现三个相邻的数，其比为345.【解析】根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k，使得连续三项C，C，C，有且.化简得，联立解得k27，n62.故第62行会出现满足条件的三个相邻的数【答案】62三、解答题9已知(12xx2)7a0a1xa2x2a13x13a14x14.(1)求a0a1a2a14；(2)求a1a3a5a13.【解】(1)令x1，则a0a1a2a1427128.(2)令x1，则a0a1a2a3a13a14(2)7128

17、.得2(a1a3a13)256，所以a1a3a5a13128.10已知n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37.求展开式中二项式系数最大的项的系数【解】由CCC37，得1nn(n1)37，得n8.8的展开式共有9项，其中T5C4(2x)4x4，该项的二项式系数最大，系数为.能力提升1若(x)10a0a1xa2x2a10x10，则(a0a2a10)2(a1a3a9)2()A1 B1C2 D2【解析】令x1，得a0a1a2a10(1)10，令x1，得a0a1a2a3a10(1)10，故(a0a2a10)2(a1a3a9)2(a0a1a2a10)(a0a1a2a3a10)(1)10(1)101.【

18、答案】A2把通项公式为an2n1(nN*)的数列an的各项排成如图136所示的三角形数阵记S(m，n)表示该数阵的第m行中从左到右的第n个数，则S(10,6)对应于数阵中的数是()135791113151719图136A91 B101C106 D103【解析】设这个数阵每一行的第一个数组成数列bn，则b11，bnbn12(n1)，bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b12(n1)(n2)11n2n1，b1010210191，S(10,6)b102(61)101.【答案】B3(2016孝感高级中学期中)若(x21)(x3)9a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3a11(x2)11，则a1a2a3a11的值为_【解析】令x2，得5a0，令x3，得0a0a1a2a3a11，所以a1a2a3a11a05.【答案】54已知f(x)(1x)m(12x)n(m，nN*)的展开式中x的系数为11.(1)求x2的系数取最小值时