高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解

1、高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解一、选择题1已知an，数列an的前n项和为Sn，已计算得S11，S21，S31，由此可猜想Sn()A.1B.1C.2 D.2答案B2已知Sk(k1,2,3，)，则Sk1等于()ASk BSkCSk DSk答案C解析Sk1Sk.3对于不等式n1(nN*)，某人的证明过程如下：1当n1时，11，不等式成立. 2假设nk(kN*)时不等式成立，即k1，则nk1时，(k1)1.当nk1时，不等式成立. 上述证法()A过程全都正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确答案D解析没用归纳假设4将正整数排成下表：12 3 45 6 7 8 910

2、11 12 13 14 15 16则在表中数字2010出现在()A第44行第75列 B第45行第75列C第44行第74列 D第45行第74列答案D解析第n行有2n1个数字，前n行的数字个数为135(2n1)n2.4421936,4522025，且19362010，2010在第45行又2025201015，且第45行有245189个数字，2010在第891574列，选D.5设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命题总成立的是()A若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，则当k5时，均

3、有f(k)k2成立C若f(7)k2成立D若f(4)25成立，则当k4时，均有f(k)k2成立答案D解析对于A，f(3)9，加上题设可推出当k3时，均有f(k)k2成立，故A错误对于B，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B错误对于C，没有奠基部分，即没有f(8)82，故C错误对于D，f(4)2542，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D.6一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去则第n个图共挖去小正方形()A(8n1)个 B(8n1)个C.(8n1)个 D.(8n1)

4、个答案C解析第1个图挖去1个，第2个图挖去18个，第3个图挖去1882个第n个图挖去18828n1个7观察下式：1322135321357421357952据此你可归纳猜想出的一般结论为()A135(2n1)n2(nN*)B135(2n1)n2(nN*)C135(2n1)(n1)2(nN*)D135(2n1)(n1)2(nN*)答案D解析观察可见第n行左边有n1个奇数，右边是(n1)2，故选D.8(2010天津滨海新区五校)若f(x)f1(x)，fn(x)fn1f(x)(n2，nN*)，则f(1)f(2)f(n)f1(1)f2(1)fn(1)()An B.C. D1答案A解析易知f(1)，f(

5、2)，f(3)，f(n)；由fn(x)fn1(f(x)得，f2(x)，f3(x)，fn(x)，从而f1(1)，f2(1)，f3(1)，fn(1)，所以f(n)fn(1)1，故f(1)f(2)f(n)f1(1)f2(1)fn(1)n.9(2010曲阜一中)设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的实数x，yR，都有f(x)f(y)f(xy)，若a1，anf(n)(nN*)，则数列an的前n项和Sn的取值范围是()A，2) B，2C，1 D，1)答案D解析由已知可得a1f(1)，a2f(2)f 2(1)2，a3f(3)f(2)f(1)f 3(1)3，anf(n)f n(1)n，Sn23n1(

6、)n，nN*，Snambnanbm(a，b0，ab，m，n0)13(2010浙江杭州质检)观察下列等式：(x2x1)01；(x2x1)1x2x1；(x2x1)2x42x33x22x1；(x2x1)3x63x56x47x36x23x1；可以推测(x2x1)4的展开式中，系数最大的项是_答案19x4解析观察其系数变化规律：(x2x1)1为1,1,1(x2x1)2为1,2,3,2,1(x2x1)3为1,3,6,7,6,3,1故由此可推测(x2x1)4系数中最大的为67619，故系数最大项是19x4.14(2010南京调研)五位同学围成一圈依次循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为2，第二位同学首次

7、报出的数为3，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第2010个被报出的数为_答案4解析根据规则，五位同学第一轮报出的数依次为2,3,6,8,8，第二轮报出的数依次为4,2,8,6,8，第三轮报出的数依次为8,4,2,8,6，故除第一、第二位同学第一轮报出的数为2,3外，从第三位同学开始报出的数依次按6,8,8,4,2,8循环，则第2010个被报出的数为4.点评数字2010比较大，不可能一个一个列出数到第2010个数，故隐含了探寻其规律性(周期)的要求，因此可通过列出部分数，观察是否存在某种规律来求解明确了这一特点解决这类问题就有了明确的解题方向和思路三、解答题15已

8、知点列An(xn,0)，nN*，其中x10，x2a(a0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，An是线段An2An1的中点，(1)写出xn与xn1、xn2之间的关系式(n3)；(2)设anxn1xn，计算a1，a2，a3，由此推测数列an的通项公式，并加以证明解析(1)当n3时，xn.(2)a1x2x1a，a2x3x2x2(x2x1)a，a3x4x3x3(x3x2)a，由此推测an()n1a(nN*)证法1：因为a1a0，且anxn1xnxn(xnxn1)an1(n2)，所以an()n1a.证法2：用数学归纳法证明：(1)当n1时，a1x2x1a()0a，公式成立(2)假设当

9、nk时，公式成立，即ak()k1a成立那么当nk1时，ak1xk2xk1xk1(xk1xk)ak()k1a()(k1)1a，公式仍成立，根据(1)和(2)可知，对任意nN*，公式an()n1a成立16设数列an的前n项和为Sn，对一切nN*，点都在函数f(x)x的图象上(1)求a1，a2，a3的值，猜想an的表达式，并用数学归纳法证明；(2)将数列an依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a1)，(a2，a3)，(a4，a5，a6)，(a7，a8，a9，a10)；(a11)，(a12，a13)，(a14，a15，a16)，(a17，a18，a19，a20)；(a21)，分别计算各个括号内各数

10、之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为bn，求b5b100的值分析(1)将点的坐标代入函数f(x)x中，通过整理得到Sn与an的关系，则a1，a2，a3可求；(2)通过观察发现b100是第25组中第4个括号内各数之和，各组第4个括号中各数之和构成首项为68、公差为80的等差数列，利用等差数列求和公式可求b100.解析(1)点在函数f(x)x的图象上，n，Snn2an.令n1得，a11a1，a12；令n2得，a1a24a2，a24；令n3得，a1a2a39a3，a36.由此猜想：an2n.用数学归纳法证明如下：当n1时，由上面的求解知，猜想成立假设nk(k1)时猜想成立，即ak2k成立

11、，则当nk1时，注意到Snn2an(nN*)，故Sk1(k1)2ak1，Skk2ak.两式相减得，ak12k1ak1ak，所以ak14k2ak.由归纳假设得，ak2k，故ak14k2ak4k22k2(k1)这说明nk1时，猜想也成立由知，对一切nN*，an2n成立(2)因为an2n(nN*)，所以数列an依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(2)，(4,6)，(8,10,12)，(14,16,18,20)；(22)，(24,26)，(28,30,32)，(34,36,38,40)；(42)，.每一次循环记为一组由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和由分组规律知

12、，各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20.故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以b1006824801988，又b522，所以b5b1002010.点评由已知求出数列的前几项，做出猜想，然后利用数学归纳法证明，是不完全归纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式问题的方法证明的关键是根据已知条件和假设寻找ak与ak1或Sk与Sk1间的关系，使命题得证17(2010南京调研)已知：(x1)na0a1(x1)a2(x1)2a3(x1)3an(x1)n(n2，nN*)(1)当n5时，求a0a1a2a3a4a5的值(2)设bn，Tnb2b3b4bn.试用数学归纳法证明：当n2时，Tn.解析(1)当n5时，原等式变为(x1)5a0a1(x1)a2(x1