第十二章计数数据分析方法

1、第十二章 计数数据分析方法2检验第一节 2检验的意义1第二节 适合性检验5第三节 独立性检验7第四节 SPSS实验检验13本章小结16练习与思考题17综合练习之三18问题随机抽取84名中学生进行有关男女同桌对学习有益的态度调查，结果赞成者42人，不赞成21人，不表态21人。试问能否说明总体中有不同意见？甲、乙两校高中毕业生参加全国统考，结果甲校90名毕业生，录取了67名，乙校105名毕业生录取了65名。试问两校录取人数之差有无显著意义？学习目标1领会2检验的思想和应用条件2熟练掌握适合性检验和独立性检验的各种方法3初步掌握SPSS中关于2分析的操作方法前面各章介绍的用于两个均数之差检验的检验和

2、检验以及用于多个均数之差检验的检验等都只适用于对度量数据进行分析。但是在许多情况下，我们得到的是计数数据，如上例，研究者进行学生对“男女同桌是否对学习有益的态度调查“所得到的数据，既不是等级数据也不是等距数据，而是计数数据。我们是否可以根据这些数据推断学生对男女同桌有不同意见呢？在心理与教育的研究中，经常使用调查、问卷或访问等研究方法，所获得的资料常按一定的性质分为不同类别，类别间一般有些无量的关系，只是根据类别或属性统计人数或个数，如性别，职业等；有些类别间虽有量的关系，但也根据研究需要按一定的标准分类，如身体状态分健康和不健康两类，或分三类、四类；学习成绩，能力水平，对事物的态度等都有连续

3、性的数量变化，只是研究需要按一定标准分为优、良、中、差，喜欢或不喜欢。对上述这些计数数据的分析，本章的卡方检验将告诉我们答案。第一节 2检验的意义一、的意义及特性（一）的基本数学定义是一个希腊子母，读音chi（即卡，西，开等），读作“卡平方”或“卡方”，是国际通用的统计符量。是表示实测次数与理论次数（即期望次数）之间差异程度的指标，其基本数学定义是实测次数与期望次数之差的平方与期望次数的比率。若以表示实测次数，（或）表示期望次数，则有实测次数与期望次数差异的大小用值的大小来说明。检验（chi-square test）就是检验实测次数与期望次数是否一致的统计方法。（二）特性1可加性。的可加性是指

4、若干个相互独立的值相加后的和仍然是一个值。根据数学基本定义得到的是一个值，而根据可加性的特征，检验的公式可写为根据可加性的特性，可以对进行合成与分解，因此检验能同时对多种资料进行检验，能把两个或两个以上的实测次数与某种理论模型的期待次数进行比较。由上式可知，值的大小与组数有关，组数越多，值越大。因此，在考虑值大小的意义时，应同时考虑组数的多少。2的偏离程度。由可知，实测次数和理论次数的相对差距越大，值也越大。由于所得差值越大，除以后，其值也越大。所以值越大，其偏离越大，差异的可能性越大；相反，值越小，偏离越小，差异的可能性越小。3若实测次数与理论次数相等，则值为0，即4值永远为正值。5分布的和

5、也是分布。6检验主要适用于计数资料的统计分析，它对总体分布不作任何假设，所以也称非参数检验。检验最初是用于分析分类、非连续变量型的数据，但随着发展也可用于连续、定量的数据，只是需按一定的标准或组距对事物分类，统计各类的人数后才能进行检验。二、分布曲线及值表（一）分布曲线如果从总体中随机抽取许若干个样本，每一样本的实测次数与理论次数相比较都可以得到一个值，若干个样本就可以计算出若干个值。于是一切可能的值就组成了一个的抽样分布，即分布。如果以此绘制次数分布图，我们就可以得到一条分布曲线。分布曲线的特点是不以样本容量为转移，而以自由度为转移。自由度不同，则分布曲线不同，所以分布曲线不是一条，而是一簇

6、。例如，的分布曲线如图12-1所示。分布曲线的范围从0到无限大。自由度越小，曲线越向右偏斜；随着自由度的增大，曲线逐渐趋于对称；当自由度大于30时，曲线近似正态分布。为了使用上的方便，统计学家编制了分布临界值表，详见附表10。图12-1 不同自由度的抽样分布曲线（三）临界值表临界值的最上一行为显著性水平值，左边第一例为自由度，表内数值是对应于不同显著性水平值和自由度的值。分布的检验属单侧检验。三、检验的主要功能及一般规则（一）检验的主要功能检验的主要功能表现在三个方面。一是进行各种适合性（或配合度）的检验。所谓适合性检验就是检验抽样分布与某种理论分布是否吻合或二者之间是否存在显著差异的检验，适

7、用于一元分类的计数资料。如某教师根据自己观察将学生的学习能力分为A、B、C、B四类，并统计各类的人数，若要分析该教师的分类结果与正态分布是否符合则需进行适合性检验。二是进行独立性的检验，即用于两个或两个以上因素多项分类的计数资料分析，也就是研究两类变量之间关联性和依存性的问题，它适用于二元分类的计数资料。如研究甲、乙两校体育达标与未达标人数有无差别需进行独立性检验。三是进行同质性检验，即判断多次重复实验的结果是否同质。（二）检验的一般规则1建立假设检验的虚无假设按一般方式可假设实际分布与理论分布之间没有显著差异，研究假设则假设实际分布与理论分布之间存在显著差异，即有：但实际上，检验的假设是对实

8、际分布与理论分布比例的假设。如在适合性检验中，其虚无假设为各项比例相等。例如，调查婴儿出生性别问题，其虚无假设是男女出生比例相等，研究假设则假设出生比例不相等，即有：检验中，理论（或期望）次数的确定就取决于这种比例的假设。的临界值是在成立的条件下导出理论分布，并由公式计算出来的。若实际计算出的值大于理论上的临界值，即则说在的显著水平上拒绝，说明实际次数与理论次数差异显著或不符合；反之，则按受，说明实际次数与理论次数差异不显著或符合。2自由度的确定原则进行检验时，自由度的确定是至关重要。检验的自由度因所受限制条件的不同而不同，其自由度确定的一般原则是：以相互独立的类别数（或）减去所受的限制数，即

9、在各种适合性检验中，如果理论次数只受到总和的限制，即受的限制，则自由度为在正态分布的适合性检验，因其除了受的限制以外，还受理论分布的均数和标准差两个未知参数的限制，即受到三个条件的限制，其自由度为其中，为数据分组数目。在独立性检验中，因数据按行列构成列联表，其理论次数（）是由列联表行列的边际和所决定的，则自由度由为3理论次数的计算规则在检验中，计算的关键内容是理论次数或称期望次数。关于理论次数的计算，主要有两种情形。一是数据分布有其理论概率为依据，这时的理论次数等于总次数乘以某种属性出现的概率（），即例如，掷120次骰子，每掷一次出现1点的概率为，则掷120次出现了1点的理论次数应为（次）进行

10、适合性的检验时，其理论次数大多以这种方式计算。常用的理论概率分布有二项分布、多项分析、正态分布等。二是数据分布若没有理论概率作为依据，计数资料已列入了列联表，则某一实际次数（也称为格）所对应的理论次数则等于该实际次数所在横行的总数（横行边际和）乘以其所在竖列的总和（纵列边际和），再除以总次数所得的比值，即进行独立性的检验时主要以这种方式计算理论次数。虽然检验是用次数观点进行的检验，但最好还是其视为关于比例的检验更为恰当。因为在实际检验中，理论次数的确定是以比例为依据的。四、连续性校正检验是建立在渐进分布理论基础之上的，不仅要求样本容量较大，以保证样本具有充分的代表性，而且要求计数资料分类组数也

11、应较大，且各组的理论次数不得小于5（是好是10）。因为值表是以连续光滑的曲线为依据的，值是用连续变量表示的，但是我们计算的值并不是连续的，而是一个离散值。又因为实际中应用的资料形式大多属于非连续性分布。在大样本中，分布曲线中的概率与实际概率基本接近，但在小样本时，特别是自由度为1时，所得的概率会偏低。这一点我们可以从分布表看出。譬如，当相同时，值越小，其概率越大。如果在公式中使偏差的绝对值减去0. 5，则可以减少值而加大概率，更符合实际情况。的这种校正称之为连续性校正，校正后的公式为这个校正公式是由FYates（叶茨）提出来的，因此又称叶茨连续性校正公式。一般用于的情况。在分组数据中，对于5的

12、组，可以采用并组的办法来解决。然而，矫正公式有可能矫枉过正，导致保守的结论。为此，有一个简单的规则可借鉴。如果一个分析结果经校正后依然显著，或者说未校正也依然不显著，那么我们的结论就是可靠的。需要考虑的问题是，当一个显著的结果经校正后变得不显著时，就得非常小心对地对待校正后的结果。处理这个问题时，或者是增加样本容量，或者是更深入的探究该问题。第二节 适合性检验一、适合性检验的意义适合性检验（goodness of fit test）是检验实际的观察次数与某一理论模型是否相符，又称为1C表的检验。因为它包含单一变量的若干类别，其中C是类别或组数，也称单因素计数资料的检验。在心理与教育研究中，常需

13、要对实测数据提出种种科学假设，而证实和推翻这些假设的正确性必须通过适合性的检验。这种检验的过程也是从总体中抽样，把样本数据与根据虚假设推出的理论数据相比较。一般情况下，实际数据与理论数据往往不可能完全一致，那么它们之究竟有多大的差异才可以拒绝虚无假设则由值表给出。二、几种常见的适合性检验（一）二项分布的适合性检验这是检验一个样本组的两个实测数据与其理论数是否一致的检验。因二项分布中，所以其理论次数为：。例12-1：我们去某地调查10000名儿童，其中男童5200名，女童4800名。问男女儿童人数之差有无显著意义？1）建立假设：男女儿童的人数相等或男女儿童的比例相等，即。 ：男女儿童的人数不相等

14、2）计算统计量根据虚无假设确定理论次数3） 3） 比较与决策查表值表，当时，。因为，0.01，差异极显著。所以，拒绝虚无假设，接受研究假设，说明该地区男女儿童人数分布存在着极明显的差异。（二）多项分布的适合性检验这是检验三个或三个以上实测数与理论数的是否符合的检验。其中，包含实际次数与理论次数是否适合及实际次数分布与正态分布是否适合的检验。1实际次数与理论次数的适合性检验例12-2：随机抽取84名中学生，进行关于男女同桌对学生成绩提高有益的态度。结果赞成取消者42人，不赞成取消21人，不表演态者21人，试问这个结果能否说明在总体中其有不同意见？1）建立假设：三种意见的人数相等（），即 ：三种意

15、见的人数不相等（n1n2n3）2）计算统计量根据有理论次数为：3）比较与决策查表值表，当时，因为=10.50，0.01，差异极显著。所以，拒绝虚无假设，接受研究假设，表明三种不同意见的人数差异非常显著，且赞成男女同桌的人数占优势。2实际次数分布与正态分布理论的适合检验例12-3：某班有学生40人，其班主任根据平时对学生的了解对其学习能力进行了评定，结果14名学生评为上等，18名学生评为中等，8名学生评为下等。如果学生的能力是正态分布的，那么该班主任评定的结果是否符合正态分布？1）建立假设：实际次数分布符合正态分布。 ：实际次数与不符合正态分布。2）计算统计理 计算正态分布下的理论次数根据第七章

16、正态分布理论，求各等级在正态分布中的位置，即，则上等为以上，中等为之间，下等为以下。由此确定各等级所占的比例及理论次数分别为上等：，中等：，下等与上等相同：， 计算值3）比较与决策查表值表，当时，因为，0.01，差异极显著。所以，拒绝虚无假设，接受研究假设，说明该班主任对学生学习能力的评定人数不符合正态分布。第三节 独立性检验一、独立性检验的意义独立性检验（test for independence）是处理二元分类资料的检验方法，即把一组实验对象按两个标准（变量）分类，一个变量列在行内，另一个变量列在列内，形成列联表。独立性检验的目的是说明两个变量是彼此独立的（无差异的），还是彼此相关的（有差

17、异的）。因此，其虚无假设是假设两个变量之间彼此独立，没有关联，故称为独立性检验。相反，研究假设假设两变量之间是彼此相关的。二、 二、几种独立性检验的方法（一）22列联表的独立性检验22列联表又称四格表，即由四个实测数据构成四个格子，其形式如表12-1所示。因相配性质不同，又有独立样本的检验和相关样本的检验。1独立样本的检验1）一般式例12-4：甲、乙两校高中毕业生同时参加高校统一考试，结果甲校90名毕业生，录取了67名，乙校105名毕业生录取了65名。问两校录取人数之差有无显著意义？这一研究中是双变量分类问题，一个变量为学校类型甲校和乙校，另一个变量为录取结果录取与未录取，形成一个22列联表，

18、如表12-1所示。其中各项实际人数以字母、表示，其边际和则有（）、（）、（）、（）。表12-1 甲乙两校高考录取结果甲 校乙 校录取67（）23（）90（）未录取65（）40（）105（）132（）63（）195N1）建立假设：两校录取比例无显著差别，即：两校录取比例有显著差别，即2）计算统计量3）比较与决策查临界值表，当时，。因为，0.05，差异不显著。所以，接受虚无假设，拒绝研究假设，即两校的录取率没有显著的差别。2）校正式在22列联表中若某格的理论次数小于5，一般需要进行耶茨校正，其校正公式为 例12-5：某研究者随机抽取幼儿园大班幼儿20名进行物体形状分类（有标准与无标准）与性别关系的

19、研究，结果如表12-2所示。试问幼儿对物体的分类与性别有无关联？表12-2 儿童物体形状分类结果有标准无标准男718女931215520显然，有两格的实际次数小于5，其理论次数有可能小于5，故需用校正公式。，说明性别与幼儿的物体形状分类标准是独立的。3）与的关系在22列联表的独立样本检验中，不仅可以检验两种变量的相倚关系，而且还可以对“二分变量”的相关系数进行显著性检验。只要检验结果是显著的，就可以检验是否与零相关的虚无假设有显著的差别，这是因为二者之存在着以下关系：，即是系数的函数。2相关样本的检验1）一般式式中，、均表示在一个变量上合格而在另一变量不合格的人数。如例12-6，若表示测验A及

20、格和测验B不及格的人数，则表示测验A不及格和测验B及格的人数。例12-6：对100名学生先后进行两次测验，测验后将学生在两次测验的成绩划分及格与不及格两种情况，结果如表12-3所示。试问两次测验成绩之间有无显著差异？表12-3 100学生两次测验成绩人数分布测验A测 验 B不及格及格及 格 555 60不及格2515 403070100本例为同一组被试先后做两次测验的结果分析，属相关样本。1）建立假设：两次测验分数无显著关系，或在测验A上及格和不及格与测验B上及格和不及格无显著关系。：两次测验分数有显著关系。2）计算统计量3）比较与决策查值表，当时，。因为，p0.05，相关显著。所以，拒绝虚无

21、假设，接受研究假设，表明两次测验分数是有关系的，即在A测验上及格和不及格与B测验上及格和不及格是有关的。2）校正式同样，当四格表中某一格的理论次数小于5时，需要进行叶茨校正，其公式为如例11-6，若用叶茨校正式计算，则有（二）（行乘列）列联表的独立性检验在教育与心理研究中，除22列联表外，更会遇到每一变量两组以上的分类情况，譬如，研究不同专业学生对参与教学评估的态度，变量一专业可分文科、理科和边缘学科三类；变量二态度可分为赞同、不赞同和不表态三类。解决这类问题需作行（）乘以列（）的检验，其形式记为列联表。对于列联表的检验，其假设形式为：假设总体中任何一行（或列）的次数比例分配对所有的行（或列）

22、都相等。 ：假设总体中任何一行（或列）的次数比例分配时所有的行（或列）都不相等。例12-7：某小学三、四年级独立概括某种教学规律的水平如下表，试问两个年级的独立概括水平之差有无显著意义？或年级与独立概括水平有无关联？表12-4 小学三四年级独立概括水平情况年级独 立 概 括 水 平比例一二三四三 214141040四1018 8 6421232221682比例列联表检验方法即可以采用的定义式，也可以采用简捷式。1定义式1）建立假设：三四年级的概括水平之间没有显著差别（或年级与概括水平无关）。这一假设包含层含义，一是三四年级学生在每一个概括水平上的比例相等，如三、四年级在第一级水平的比例相等，即

23、均为；在第二级水平的比例相等，即均为，以此类推。二是在所有概括水平上三年级学生的比例都相等，即有；四年级学生的比例都相等，即有。：三四年级的概率水平之间存在显著差异（或年级与概括水平有关）。2）计算统计量 求理论次数首先，根据虚无假设各年级在所有概括水平上的比例相等求出比例p，即有或其次，根据比例确定与各实际次数对应的理论次数，因为，所以有或如三年级在四种概括水平上的比例，一级水平人数之和，其理论次数则为：，即为三年级第一水平2人（第一个实际次数）的理论人数，以此类推，二、三、四级水平的理论次数分别为，。由此，可知求理论次数的通式为例12-7各实际次数对应的理论次数见表12-7。表12-5 小

24、学三四年级独立概括水平情况年级独 立 概 括 水 平一二三四三 2（5.85）14（15.61）14（10.73）10（7.81）40四10（6.15）18（16.39） 8（11.27） 6（8.19）421232221682求值3）比较与决策查表值表，当时，。因为，0.05，差异显著。所以，拒绝虚无假设，接受研究假设，表明三、四年级学生概某种教学规律的水平之间存在着显著差异或年级与独立概括水平存在明显关系，年级越高概括水平越高。如果某格的理论次数小于5时，也应使用叶茨校正公式进行校正，其校正公式为2简捷式采用定义式计算有诸多不便之处，一是随着分类个数的增多需要计算理论次数增多，增大了计算工

25、作量；二是在理论次数计算中常需四舍五入，使计算结果的误差增大。为此可以采用相对简捷的公式计算，即式中，为某格实际次数的平方，、是该实际次数对应的横行和纵列的边际和。例12-7用简捷式计算，则有 简捷式的推导如下。 ， 第四节 SPSS实验检验一、适合性检验例题：某工厂新方案实施的民意调查，有同意、不置可否、不同意三种答案，我们调查了60人，结果同意的28人，不置可否的22人，不同意的10人。问持这三种意见的人数是否有显著不同？第1步：录入（或读取）数据。定义变量见图12-2。图12-2 数据录入第2步：选择菜单项目如下。DataWeight Cases:Weight Cases by:Freq

26、uency Variable : num 频数变量为numOKAnalyzeNonparametric TestsChi-SquareTest Variable List : type 要检验的变量为typeExact:Exact:Continue 要求计算确切概率OK输出结果与解释：FrequenciesTYPE Observed NExpected NResidual同意2820.0 8.0不置可否2220.0 2.0不同意1020.0-10.0Total60Test Statistics TYPEChi-Square(a)8.400df 2Asymp. Sig.015Exact Sig.

27、015Point Probability.002a 0 cells (.0%) have expected frequencies less than 5. The minimum expected cell frequency is 20.0.“TYPE”表显示三个类别的观察频数、期望频数和残差。“Test Statistics”表为最终检验结果，给出卡方值、近似P值和精确P值。因为P=0.015 P=0.05，因此在0.05水平上拒绝虚无假设，说明三种意见存在显著差异。 二、独立性检验例题：对男女生进行一项民意测验的调查结果如下，试问性别与态度是否相关？拥 护不置可否 反对男 36 32

28、15 女 28 26 45第1步：在SPSS中，解答该题首先定义变量见图12-3。图12-3 变量输入第2步： 选择菜单项目如下。DataWeight Cases:Weight Cases by:Frequency Variable : count 频数变量为countOKAnalyzeDescriptive StatisticsCrosstabsRows:sexColumns:attitudeStatistics: Chi-square:Continue 要求进行卡方检验OK 第2步 具体的界面操作如图12-4到图12-6。图12-4 Weight Cases对话框图12-5 Crossta

29、bs对话框图12-6 Statistics对话框结果如下： Chi-Square Tests ValuedfAsymp. Sig. (2-sided)Pearson Chi-Square 15.333(a)2.000Likelihood Ratio15.9132.000Linear-by-Linear Association11.8971.001N of Valid Cases 182 a 0 cells (.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 26.45.因为n40,且所有T5，用普通的卡方检验

30、，可见Pearson Chi-Square的P值为0，即拒绝结果表明，为15.333时，其概率值为0.000，小于0.01，拒绝虚无假设，说明性别与态度存在相关。本章小结 检验是适用于计数资料差异显著性的检验方法，是一种通过比较实际次数与理论次数的偏差来检验二者是否一致的统计方法，其数学意义是实际次数与理论次数偏差平方比理论次数。值的最大特点是可加性，即多个值可相加，且永远为正值，分布的和也是分布。分布是若干值构成的抽样分布，分布曲线随自由度的变化而变化。随着自由度的增大，曲线逐渐趋于对称；当自由度大于30时，曲线近似正态分布。检验主要有适合性检验和独立性检验，前者适用于一元分类的计数资料，后

31、者适用于多元分类的计数资料，独立性检验小结见表12-8。表12-6 独立性检验小结类 型定义式简捷式列联表基本式校正式列联表独立样本相关样本练习与思考题 1解释下列名词 检验 适合性检验 独立性检验 分布 正态拟合性检验 2检验自由度的确定方法有哪些？ 3简述与相关的关系。 4检验可以进行哪些方面的统计分析？ 5某玩具厂进行不同颜色对幼儿吸引力的调查，他们呈现出红、橙、黄、绿、青、紫等七种色纸，供210名幼儿选择最喜欢的一种。调查结果是选红色的42人，选橙色的38人，选黄色的34人，选绿色的21人，选蓝色的19人，选青色的20人，选紫色的36人。试问幼儿对不同颜色的喜好是否有所不同？6某班主任

32、对班上50名学生的品行进行了评定，结果是：优8名、良20名，中18名，差4名。试检验该班主任的结果是否符合正态分布？7假定我们在某大学对400名大学生进行民意测验，询问文理科的男女学生对于开设文理交叉的校选课的看法，即不同专业的男女学生对文科开设一定的理科课程和理科开设一定的文科课程的意见是否相同。结果如下。表12-7 文理科男女的态度调查表学科男生女生文科8040理科1201608家庭经济状况属于上、中、下的高中毕业生，对于是否愿意报考师范大学有三种不同的态度，其人数分布如下表。试问学生报考师范大学与家庭经济状况是否有关系？表12-8 家庭经济状况与报考师范的态度调查结果表家庭经济状况报考师

33、范大学的态度愿意不愿意不表态上132710中201920下18 7119某中学将参加课外阅读活动的20名学生与未参加此种活动的20名学生根据各方面条件基本相同的原则进行配对，测得他们的课外阅读理解成绩如下表。试问课外阅读活动对提高阅读理解能力是否有良好的作用？表12-9 课外活动参加与否的阅读能力表未参加者参加课外阅读活动者良好非良好良 好 52非良好103综合练习之三 1用三种不同的教学方法分别对三个随机抽取的实验组进行教学实验，实验后统一测验成绩如下，试问三种教学方法的效果是否存在显著差异？（假设实验结果呈正态分布） 教法A：76，78，60，62，74教法B：83，70，82，76，69

34、教法C：92，86，83，85，79 2某教师为了研究自学能力与学业成绩之间的关系，通过观察了解将学生的自学能力分为5个等级，并统计了各等级学生统一可是的平均成绩，结果如下，问学生自学能力与学业成绩是否存在相关？表12-10 学生自学能力与学业成绩自学能力自觉学习有方法并能接受教师指导自觉学习有方法按自己的方法去做自学无方法，但能接受教师指导自学无方法，又不能按教师指导做无自学能力，也无学习习惯平均成绩86878072743从某班随机抽取10名学生的数学（X）与物理（Y）成绩的测量结果如下表。试求：数学成绩与物理成绩哪个差异程度大一些？学生数学成绩与物理成绩之间有无关联？某生数学55分，物理50分，能否认为该生数学成绩优于物理成绩？为什么？学生的数学成绩与物理成绩之间有无显著差异？（假设成绩分布为正态）试以这10名学生的数学成绩对该班的数学成绩作出估计？数学得45分的学生，物理成绩为多少？物理得60的学生数学成绩为多少？表12-11 15名学生的数学与物理测验成绩123456789101112131415X312340196015462632305828222333Y3286921664157757376827412040 4某地区在甲、乙两所中学随机抽取40名学生进行了语文统一测验，结果：甲校平均成绩74分，标准差5分；乙