小学奥数计算综合专题教材

1、 重要结论应用与换元法 考试要求 掌握计算中常用的计算结论；） （1 能快速准确的观察出计算中的数字规律并运用换元法计算。）（2 知识结构 【特殊多位数的实用结论】 abcabc?abc?1001?abc?7?11?13 、 1 ababab?ab?10101 2、 aaa?a?111?a?3?37 、 3【其他常用结论】 11111?1? 1、 nn24822111?1?111?1?123n321 （n9）2、 1个n个1n 3、 缺8数乘以9的倍数可以得到“清一色”： a) 123456799111111111 b) 1234567918222222222 c) 1234567927333

2、333333 d) 1234567936444444444 e) 1234567945555555555 f) 1234567954666666666 g) 1234567963777777777 h) 1234567972888888888 i) 1234567981999999999 4、 特殊平方数： 121?(1?2?1)?22?22 a) ?333?2?1333312321?1?2? 1234321?(1?2?3?4?3?2?1)?4444?4444 123454321?(1?2?3?4?5?4?3?2?1)?55555?55555 12345654321?(1?2?3?4?5?6?

3、5?4?3?2?1)?666666?666666 ?1?2?4?3?9?8?76?5?76543211234567898?1?2?34?5?6?78 999999999?999999999 =12? 5、 ?0.45?428570.28711 77 如右图所示： 157 5242 778 6n7的秘密 7 【换元思想】换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换 元法换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简 重难点 培养学生运用转化思想利用特殊规律解题简化解题过程；1） （ 培养学生观察数字规律及特点，运用换元法简化解题过程。） （2 例题精讲 一、重

4、要结论应用20072007=_. 20062006-2006】 2007【例 1 11201120112011202012122012?20112012201220? 【巩固】计算： 12025050513131313? 【例 2】 21212121212121212121 20002000个?20002000?20002000?20002000? 【巩固】计算： 2001?200120012001?20012001?20012001个 1 。位上的数字为_ 3】 化成小数后，小数点后面第2007【例 7 n化成小数后，小数点后若干位数字和为1992，问n=_。【巩固】 7 的结果等于自然算式

5、】【例 4 1234567876545321(123456787654321) 数的平方_. 1?2?3?4?5?6?5?4?3?2?1 计算： 【巩固】 6666?6666 二、换元法 1111111111 计算： 【例 5】 )?)?(1?(?)?(1?)? 2424624624 11111111111111 计算：【巩固】)?(?(1?)?)?(?)?(1? 23423452345234 111111111111111111 计算：】 6 【例)?.?(1?)(?(1)?(?.)?.?.? 99100424329932410099399324 【巩固】计算：()()? 0.54321?0

6、.4321?0.3210.1?0.21?0.43210.3210.21?()() 0.4321?0.10.210.3210.43210.543210.210.321? 1111111111? 7】 计算：【例 ?1?1? 2007200722233200820082? 1111111111111111? 【巩固】计算： ? 41312111314151211121314121314151? 2999131239112223?1? 8【例 】 计算：? 1042102310210343234? ?230?.0.0?.23?0.34120?.230?.012?0.23?.34?1?0.12.1?0

7、12=_ _ 。 【巩固】 【例 9】 计算： ()()?()() 0.56?0.450.45?0.45?0.560.560.45?0.56?0.67?0.671?1? 621739458739458378621739458378739458?【巩固】计算： ? 126358947358947207126358947207358947? 1993?19941 】 计算： 【例10 1993+1992?1994 22010【巩固】计算： 2009?2011?1 课堂检测 9999?20072007?2008?88888888 计算：1、 66?6666?3232?32?6666?6666 2、计

8、算： 22011 11111111111111113、 计算： )?)?()?（?（?）?(? 5791179111357911137911 111111111111111111?4、 计算： ?1?1? 234523456234562345? 2008?2009?2007 、计算：5 2008?2009?1 家庭作业 1、 计算下面的算式：()()()() ?10.989.31?7.886.775.669.3110.9810?7.886.775.6610? 377347373455? 。 = 2、 计算：?)?(? 171332131232171232173217? 2553?2323?10

9、1111 计算：3、 2220122011? ?1?1?23?45?67?87?65?43?2?1111111111111111? 、4 计算： 220122?2011?2010 计算：5、 32009?201122011? 整数裂项与分数裂和 考试要求 能熟练运算常规裂和型题目；） （1 复杂整数裂项运算；） （2 分子隐蔽的裂和型运算。） （3 知识结构 复杂整数裂项型运算一、复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差 1的乘积。与因数个数加NN。整数裂

10、项口诀：等差数列数，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸，差数除以 取什么值，两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0 正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。 此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。 ”型运算 “裂和二、 常见的裂和型运算主要有以下两种形式：2222bab?baa11ab?ab）（2 （1） ? aba?ba?ba?babbba?a?ab 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的

11、”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同 时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 重难点 复杂整数裂项的特点及灵活运用1（） 分子隐蔽的裂和型运算。 2（） 例题精讲 一、 整数裂项 1?3?2?4?3?5?4?6?99?101 计算：【例 1】 ?97?99?99?73?5?5?7?9?101 计算：【巩固】 10?16?22?16?22?28?70?76?82?76?82?88 计算】【例 2 计算11+22+33+9999+100100 3【例】 ?333?79?44?4?79?79 【巩固】 1?1?1?2?2?2?3?3?3?99?99?99?100?100?100 】

12、【例 4 计算： ?100?2?21?2?3?41?2?3?31?1?1 5】 【例 ?300?6?33?3?6?36?9? 【巩固】 二、分数裂和 517191? ， 填空：， 】【例 6 62123204111131151? ， ， 765304256 5791113151719?1? 【巩固】计算： 612203042567290 5?66?77?88?99?10【例 7】 ? 5?66?77?88?99?10 365791113【巩固】 ? 57612203042 132579101119【例 8】 计算： ? 3457820212435 12379111725【巩固】 ? 35712

13、20283042 111112010263827【例 9】 ? 2330314151119120123124 ?35496377911053?1?【巩固】 ?1? 6122030425688? 2222222220192?319181?2 【例 10】 ? 1?22?318?1919?20 222222222222226?22?3?41?1?211?2?31? 【巩固】 333333333333311?21?2?31?2?3?41?2?26 课堂检测 、 =_152497?10?1?44?7? 1915175791113 计算：2、?1? 907212203042566 51717981 3、

14、? 121220153045 222222222006200520041?2?23?2005? 、 4 200620052005?200421?2?3? 111?11?1 、 5? 22299?21?1?31? 家庭作业 50?3?501?1?2?2?3 1、 100?98?9642?4?6?6?8? 2 、 31911211237 、 3? 5640122028735 83291?(8?)?)(3)?(1)(2?(9?) 4、 104239 50?1?23?4?23311?2?2?1? 5、 2?3?2?34?50322? 循环小数与分数拆分 考试要求 （1） 掌握循环小数化分数的基本方法与

15、规律； 在计算中能灵活运用循环小数化分数的方法进行简便运算。 ）2（ 知识框架 【基本概念】 纯小数整数部分是零的小数。 循环小数从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数。 循环小数有以下两类类：混循环小数、纯循环小数。 混循环小数循环节不是从小数部分第一位开始的循环小数。 纯循环小数循环节从小数部分第一位开始的循环小数。 【基本方法】 （1） 纯循环小数化分数：这个分数的分子等于一个循环节所组成的数，分母由9构成，9的个数等于一个循环节中的位数。 （2） 混循环小数化分数：这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差；分母的头

16、几位数是9，末几位是0，9的个数与一个循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。 重难点 重点：循环小数化分数的基本方法与规律； 难点：灵活运用循环小数化分数的规律进行运算。 例题精讲 分数拆分一、1111111 1】【例=-= ? ?10 】在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立巩固【1111111 ? ?10 111均为正整数，则最大是多少？】 如果 ，【例2BAB，? 2009AB 111 ，那么满足上述条件的所有数对（都是四位数，且aba,b）是哪些？若【巩固】，其中a、b? b2004a 二、纯循环小数化分数【例3】 把纯循环小数化分数： ?0.23.160） （1）

17、（2 【巩固】把纯循环小数化成分数 ?0.2316.412）（1（2） 三、 混循环小数化分数 4】把混循环小数化分数。【例?6.3530.251）（ 2（1 【巩固】把混循环小数化成分数。 ?0.276247.） （1（2） 四、 循环小数的四则运算与周期运算 循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。从这种意义上来讲，循 环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。 计算下面各题：【例5】 ?3.13322?.4.1.244?025.609?1.342.3.）1 （ （ 2）3） （4）（. 【巩固】 ； ?0.54?0.36 19?)”六年级第1

18、试 (2006年第四届“希望杯?1.24?1.2 27 。 【例6】 计算下面各题。 11?1.2530251.125?.?.?0.6?6.?0 ） 1（ 2（ ） 13?6?.0 1?6.0? 6.0 ?0.580.?0.361.?0257?0.44）3 （ 11?0.218?0.30.15? 。结果表示成循环小数 】 ()； 【巩固112.234?0.98? 111? 0.0270.179672相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一 将循环小数与【例7】 位小数是多少? 2009112009?【巩固】计算 (结果表示为循环小数) 。 ? 99900999909901? a

19、a是那么如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是化为小数后，1992【例8】 真分数， 7? 多少 12002 】【巩固_位上的数字之和是。和化成循环小数后第100 2872009 1.231.23a则正确结果该是0.3.误看成乘以一个数时，把1.23，使乘积比正确结果减少某学生将】【例9 ? 多少 ?a.0bc将循环小数，】【例10 （允许相同）的数字90是a,b,c设化成最简分数后，分子有多少种不同 情况？ 。_的所有最简分数之和是】分母为巩固【1996 aaab0.bb上面都带小数19,求将纯循环小数【例11】 （和和化为最简单分数时,分子与分母之和为点的）。 则三位数分子和分

20、母的和是,【巩固】纯循环小数写成最简分数时abc?_58abc0.。 课堂检测 11111111111 1、? ?45 0.1860.330?0.192?0.526?0.375?0.291 （ 计算、2 1 ）（）2 1325240.510.510.51,如果按从小到大的顺序排列时，6，个，3、 有8个数，是其中,，,第4个数是, 947253那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数? 0.01?0.12?0.23?0.34?0.78?0.89 计算：4、 aa可能等于多少？ 个数字之和是8684、 真分数，那么化成小数后，如果小数点后连续20045 27 家庭作业 1、 在下面的括号里填上不

21、同的自然数，使等式成立 11111111111；） （1? ?201020111（2）? ?10 ?0.1.?01125?0.?0.36计算： 2、 （结果保留三位小数）。 ?0.0.0891?8.?4.3.2.?01?02?03?07?计算： 、3 111111111?1? 位是数字几？4、 的计算结果，小数点后第算式2008 1097862345 a 化成循环小数之后，从小数点后第1，则真分数5、 位起若干位数字之和是是多少？9039a 7 _30 6、所有分母小于并且分母是质数的真分数相加，和是。 公式应用一 考试要求 灵活运用平方和、立方和公式进行计算；（1） ） 了解等比数列；（2

22、灵活运用等比数列求和公式进行计算。3（） 知识结构 【基本概念】项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列2等比数列如果一个数列从第(common ratio)(geometric progression)，公比就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比anqq( =1表示时，q0)。 注：为常数列。通常用字母 【常用公式】1)?(2nn?(n?1)2222 ；1、 ?2?3n1? 6221)?(nn 2?3333；2、 ?1?2?n?3?21?3?n? 4?2 ；3、?1n?n?2?3?3?2?1?nn?1?2n?1?1?13?57n?q1)a(? 1q?1?01n1；（1）

23、4、 等比数列求和公式：?q?S?aqaq?a 111nq?1n)q(1?a?1?1n01?aq?S?aq?aq?1?q）2（。 1n111?q?22 ；5、 平方差公式：b?aba?ba22?2222b?b2a?bab?a?ba?a?2ab 6、 完全平方公式：，；倍，这两个数的积的的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)(用文字表述为：两数和或差)22?22首平方，尾平两条公式也可以合写在一起：为便于记忆，可形象的叙述为：“baba?2a?b? 倍乘积在中央”方，2 重难点 平方和、立方和公式的灵活运用；1） （ 等比数列公式的灵活运用。） 2（ 例题精讲 2?31415925?31

24、41592631415927 _11】 ；【例 22 _ ?2468?12348766?8766? 【巩固】 ?200920092008?2008 【例 12】 有一串数，它们是按一定规律排列的，那么其中第个数与第11991919901636254个数相差多少？ 【巩固】代表任意数字，若，这个公式在数学上称为平方差公式根据b?b?a?a?ab)?(a?b)(b、a公式，你来巧算下列各题吧 3198?28 ?7367?102?293264? 2?314159273141592531415926? 算：【例 13】 计 22 【巩固】_?12342468?87668766? 。 【例 14】计算：

25、 ?200420032003200220022001200120002?1? 2012?2011?2011?2010?2010?2009?2009?2008?2?1 【巩固】计算： 87673425276543，的值。15【例 】 计算：（已知2187?3?3?23?3?2?322?3?3?23?226561?379108910） ，25632?19683?359049?102422?1282?512 76253443526743?3?4?34?3?4?34?3?4?34 【巩固】计算： 21n?n 【例 16】 对，那么：，规定，例如自然数和12?32aa?3?3?a?nna_； ?99?3

26、2?2?12?22 _ ?32?99?2?1222 3233333233.23 ， 【巩固】看规律，试求143?121?766?23?1?1 【例 17】 计算： 1195?2?4?3?13? 15?13?13?7?79?9?11?11?1?3?35?5? 【巩固】计算： 】 计算： 【例 18?11?29?1228?1921? 【巩固】计算： ?5197?49?199?2983 计】【例 19 算：13972991?5095 【巩固】计算：?3?47?2?491?25?451? 【例 20】 计算： 10?8?5?9?3?2?34?3?4?12? 259?23?21?13?5?3?57?5?

27、7? 【巩固】计算： 11?98?98?9797?2?2?100100?9999 计算：】【例10 1?22?1?47484950?50?49?48?47? 【巩固】计算： 课堂检测 2014?503?503?2010?2006?501?501?2002?6?1?1?2 1、计算： 4 3333333333311?4?5?6?7?8?9?101?2?3 2、计算： 3、计算：_?54?47?53?464850?50?49?51?52 54?50?52?2?46?4?6?86?8?10? 4、计算： 11667582931047?5?57?57?57?57?57 、5 计算： 家庭作业 。 1、

28、 ?6363?3737263?37 2624?108866442? 、计算：2 3、计算：12?1?2?18?17?17?1920?20?19?18 135?2?67?3?651?69 、计算：4 141210881097663?5?5?3?3555?3?3? 、计算：5 公式应用二 考试要求 ） 灵活运用平方和、立方和公式进行计算；1（ ） 了解等比数列；（2 灵活运用等比数列求和公式进行计算。（3） 知识结构 【基本概念】项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列2等比数列如果一个数列从第(common ratio)(geometric progression)，公比。这个常

29、数叫做等比数列的公比就叫做等比数列anq(q 时， 通常用字母表示q0)。注：=1为常数列。 【常用公式】1)?(2nn?(n?1)2222 ；（1） ?2?3?1n? 6221)?(nn 2?3333；2（） ?1?2?n?3?1?2?3?n? 4?2 ；3（） ?1n?n?2?3?3?2?1?nn?1?2n?1?1?13?57n?q1)a(? 1q?1?01n1；（1） （4） 等比数列求和公式：?qqS?a?aq?a 111nq?1n)q(1?a?1?1n01?aq?S?aq?aq?1?q）2（。 1n111?q?22 （5）平方差公式：；b?a?ba?ba22?2222 （6， 完全平方公式：；）b?a?b2?aa?b?aab?2ab?b?倍，这两个数的积的加上(或者减去)用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，22?22bbab?a?2a?为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾两条公式也可以合写在一起： 平方，倍乘积在中央”2 重难点 平方和、立方和公式的灵活运用；1） （ 等比数列公式的灵活运用。） （2 例题精讲 2222100?1?2?3? 计 【例21】 算： 22225021?3? 【巩固】计算： 3333503?21? 【例】22 计算： 33331003?1?2? 【巩固】计算： 222220?46?2? 】