2013-2014学年广东省揭阳一中高三(上)开学数学试卷(理科

1、2013-2014学年广东省揭阳一中高三（上）开学数学试卷（理科）1（5分）已知集合A=1，1，B=x|ax+2=0，若BA，则实数a的所有可能取值的集合为（）A2B2C2，2D2，0，2解答：解：当a=0时，B=，BA；当a0时，B=A，=1或=1a=2或2，综上实数a的所有可能取值的集合为2，0，2故选D点评：本题考查集合的包含关系及应用注意空集的讨论，是易错点2（5分）（2009广东）设z是复数，a（z）表示zn=1的最小正整数n，则对虚数单位i，a（i）=（）A8B6C4D2分析：复数zn=1，要使in=1，显然n是4的倍数，则a（i）=4解答：解：a（i）=in=1，则最小正整数n为

2、4故选C点评：本题实际考查，复数i的n次幂的运算，是基础题目3（5分）（2009福建）如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为则该几何体的俯视图可以是（）ABCD考点：简单空间图形的三视图专题：压轴题；图表型分析：解法1：结合选项，正方体的体积否定A，推出正确选项C即可解法2：对四个选项A求出体积判断正误；B求出体积判断正误；C求出几何体的体积判断正误；同理判断D的正误即可解答：解：解法1：由题意可知当俯视图是A时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是，知其是立方体的一半，可知选C解法2：当俯视图是A时，正方体的体积是1；当俯

3、视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是，高为1，则体积是；当俯视是C时，该几何是直三棱柱，故体积是，当俯视图是D时，该几何是圆柱切割而成，其体积是故选C点评：本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，依据数据计算能力；注意三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等4（5分）（2009陕西）”mn0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：椭圆的应用专题：常规题型分析：将方程mx2+ny2=1转化为，然后根据椭圆的定义判断解答：解：将方程mx2+ny2=1转化为，根

4、据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足，且，即mn0反之，当mn0，可得出0，此时方程对应的轨迹是椭圆综上证之，”mn0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件故选C点评：本题考查椭圆的定义，难度不大，解题认真推导5（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则log9f（3）的值为（）ABC2D2考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域专题：计算题；函数的性质及应用分析：先求出幂函数的解析式，进而可计算出解答：解：设幂函数f（x）=x（为常数），由题意得=（），解得=，f（x）=log9f（3）=log9=故选A点评：正确理解幂函数的定义和对数的运算法则是解题的关键

5、6（5分）（2012北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A2B4C8D16考点：循环结构专题：计算题分析：列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环解答：解：第1次判断后S=1，K=1，第2次判断后S=2，K=2，第3次判断后S=8，K=3，第4次判断后33，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8故选C点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力7（5分）已知函数y=sinxcosx，则下列结论正确的是（）A此函数的图象关于直线x=对称B此函数在区间（，）上是增函数C此函数的最大值为1D此函数的最小正周期为考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数

6、的单调性；正弦函数的对称性专题：三角函数的图像与性质分析：函数解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化简，利用正弦函数的性质即可做出判断解答：解：函数y=sinxcosx=sin（x），A、令x=k+，kZ，得到x=k+，kZ，则此函数的图象关于直线x=对称，本选项错误；B、令2kx2k+，kZ，解得：2kx2k+，kZ，则此函数在区间（，）上是增函数，本选项正确；C、函数最大值为，本选项错误；D、函数的最小正周期为2，本选项错误，故选B点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键8（5分）若不等式a在t（0，2上恒成立，

7、则a的取值范围是（）A，1B，1C，D，2考点：函数最值的应用专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：由基本不等式，算出函数y=在区间（0，2上为增函数，得到t=2时，的最大值为；根据二次函数的性质，算出t=2时的最小值为1由此可得原不等式恒成立时，a的取值范围是，1解答：解：函数y=+，在t（0，2上为减函数当t=2时，的最小值为1；又=，当且仅当t=3时等号成立函数y=在区间（0，2上为增函数可得t=2时，的最大值为不等式a在t（0，2上恒成立，（）maxa（）min，即a1可得a的取值范围是，1点评：本题给出不等式恒成立，求参数a的取值范围着重考查了基本不等式、函数的单调

8、性、函数最值的求法和不等式恒成立的处理等知识，属于中档题二、填空题（30分）必做题：9-13题；选做题（选做一题）：14-15题9（5分）函数y=+的定义域是1考点：函数的定义域及其求法专题：计算题；函数的性质及应用分析：要求函数y=+的定义域只需列出各个表达式有意义的不等式组，去即可解答：解：要使函数有意义，必须：，解得x（，11，3）（3，4）故答案为：（，11，3）（3，4）点评：本题考查函数定义域的求法，考查计算能力10（5分）（2013锦州二模）已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值是15考点：简单线性规划专题：计算题；数形结合分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我

9、们要先画出满足约束条件，的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=2x+4y中，求出z=2x+4y的最小值解答：解：根据约束条件画出可行域，由图得当z=2x+4y过点A（，）时，z=2x+4y取最小值15故答案为：15点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解11（5分）若（）n展开式中所有二项式系数之和为16，则展开式常数项为24考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质专题：计算题分析：根据所有二项式系数之和为16，可得2n=16，n=4再展开式的通项公式为 Tr+1=（2）rx

10、2r，令x的幂指数等于0，求得r的值，可得展开式的常数项解答：解：根据（）n展开式中所有二项式系数之和为16，可得2n=16，n=4，故展开式的通项公式为 Tr+1=（2）r=（2）rx2r，令2r=0，r=2，故展开式的常数项为 46=24，故答案为 24点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题12（5分）（2012东莞二模）若双曲线=1的渐近线与方程为（x2）2+y2=3的圆相切，则此双曲线的离心率为 2考点：双曲线的简单性质专题：计算题分析：先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离为圆的半径求得a和b的关系，进而利

11、用c2=a2+b2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求解答：解：双曲线渐近线为bxay=0，与圆相切圆心到渐近线的距离为=，求得b2=3a2，c2=a2+b2=4a2，e=2故答案为2点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等考查了学生数形结合的思想的运用13（5分）（2012姜堰市模拟）已知正项等比数列an满足：a7=a6+2a5若存在两项am、an使得，则的最小值为考点：等比数列的性质；基本不等式专题：计算题；压轴题分析：由已知中正项等比数列an满足：a7=a6+2a5，我们易求出数列的公比，再结合存在两项am、an使得，我们可以求出正整数m，n的和，

12、再结合基本不等式中“1”的活用，即可得到答案解答：解：设等比数列an的首项为a1，公比为q，a7=a6+2a5，则a1q6=a1q5+2a1q4即q2q2=0，解得q=2或q=1（舍去）若，则m+n=6则6（）=（m+n）（）=5+（）5+4=9则故答案为点评：本题考查的知识点是等比数列的性质，基本不等式，其中根据已知中正项等比数列an满足：a7=a6+2a5若存在两项am、an使得，将问题转化为用基本不等式求最值是解答本题的关键14（5分）（几何证明选讲）已知AB是圆O的一条弦，点P为AB上一点，PCOP，PC交点O于点C，若AP=6，PB=3，则PC的长为3考点：与圆有关的比例线段专题：计

13、算题；直线与圆分析：根据题设中的已知条件，利用相交弦定理，直接求解解答：解：AB是O的一条弦，点P为AB上一点，PCOP，PC交O于C由相交弦定理可得：APPB=PC2，AP=6，PB=3，PC2=18，解得PC=3故答案为：3点评：本题考查与圆有关的比例线段的应用，是基础题解题时要认真审题，注意相交弦定理的合理运用15（坐标系与参数方程）在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为（2，），（4，）则ABO（其中O为极点）的面积为2考点：极坐标系和平面直角坐标的区别；三角形的面积公式专题：计算题分析：由题意可得|OA|=2，|OB|=4，AOB=，再根据ABO 的面积为 |OA|OB|sinA

14、OB，运算求得结果解答：解：由题意可得|OA|=2，|OB|=4，AOB=，则ABO（其中O为极点）的面积为 |OA|OB|sinAOB=sin=2，故答案为 2点评：本题主要考查点的极坐标的定义，三角形的面积的求法，属于基础题三、解答题（80分）16（12分）已知向量=（Asin，Acos），=（cos，sin）函数f（x）=（A0，xR），且f（2）=2（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）设，0，f（3+）=，f（3+）=，求cos（+）的值考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用分析：（1）利用向量的数量积和两角

15、和的正弦公式即可得出；（2）利用诱导公式、平方关系、两角和的余弦公式即可得出解答：解：（1）依题意得f（x）=A，f（2）=2，解得A=4f（x）=（2）由，得，即，又，sin=，由，得，即，又，cos（+）=coscossinsin=点评：熟练掌握向量的数量积运算和两角和的正弦公式、诱导公式、平方关系、两角和的余弦公式是解题的关键17（12分）（2012湖南）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示一次性购物量1至4件5 至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）x3025y10结算时间（分钟/人）11.522

16、.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%（）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率（注：将频率视为概率）考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列专题：应用题分析：（）由已知得25+y+10=55，x+30=45，故可确定，y的值，将频率视为概率，故可求相应的概率，由此可得X的分布列与数学期望；（）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2.5分钟，Xi（i=1，2）为该顾客前面第i位顾客的

17、结算时间，则P（A）=P（X1=1且X2=1）+P（X1=1且X2=1.5）+P（X1=1.5且X2=1），由于各顾客的结算相互独立，且Xi（i=1，2）的分布列都与X的分布列相同，故可得结论解答：解：（）由已知得25+y+10=55，x+30=45，所以x=15，y=20；将频率视为概率可得P（X=1）=0.15；P（X=1.5）=0.3；P（X=2）=0.25；P（X=2.5）=0.2；P（X=3）=0.1X的分布列 X 1 1.5 2 2.5 3 P 0.15 0.3 0.25 0.2 0.1X的数学期望为E（X）=10.15+1.50.3+20.25+2.50.2+30.1=1.9（）

18、记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2.5分钟，Xi（i=1，2）为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P（A）=P（X1=1且X2=1）+P（X1=1且X2=1.5）+P（X1=1.5且X2=1）由于各顾客的结算相互独立，且Xi（i=1，2）的分布列都与X的分布列相同，所以P（A）=0.150.15+0.150.3+0.30.15=0.1125故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为0.1125点评：本题考查学生的阅读能力，考查概率的计算，考查离散型随机变量的期望，属于中档题18（14分）（2011浙江）如图，在三棱锥PABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在

19、线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（）证明：APBC；（）在线段AP上是否存在点M，使得二面角AMC为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由考点：直线与平面垂直的性质；与二面角有关的立体几何综合题分析：以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，我们易求出几何体中各个顶点的坐标（I）我们易求出，的坐标，要证明APBC，即证明=0；（II）要求满足条件使得二面角AMC为直二面角的点M，即求平面BMC和平面APC的法向量互相垂直，由此求出M点的坐标，然后根据空间两点之间的距离公式，即可求出AM的长解答：解：以O为原点，以AD方

20、向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，则O（0，0，0），A（0，3，0），B（4，2，0），C（4，2，0），P（0，0，4）（I）则=（0，3，4），=（8，0，0）由此可得=0即APBC（II）设=，1，则=（0，3，4）=+=+=（4，2，4）+（0，3，4）=（4，5，0），=（8，0，0）设平面BMC的法向量=（a，b，c）则令b=1，则=（0，1，）平面APC的法向量=（x，y，z）则即令x=5则=（5，4，3）由=0得43=0解得=故AM=3综上所述，存在点M符合题意，此时AM=3点评：本题考查的知识点是线线垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题，其中

21、建立空间坐标系，求出相关向量，然后将垂直问题转化为向量垂直即向量内积等0是解答本题的关键19（14分）已知数列an的前n项和为Sn，且S1=1an（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=1考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）由已知，令n=1时，可求a1，n2时，利用an=snsn1可得，结合等比数列的通项公式可求（2）由=，代人=，利用裂项求和即可证明解答：解：（1）Sn=1an，当n=1时，S1=1a1，a1=当n2时，Sn=1an，Sn1=1an1，两式相减可得，snsn1=an1an数列an是以为首项，以为公比的

22、等比数列证明：（2）= = =11点评：本题主要考查了利用数列的递推公式an=snsn1，转化数列的和与项之间的关系构造等比数列求解通项公式，数列的裂、项求和方法的应用是证明（2）的关键20（14分）（2012郑州二模）已知圆C的圆心为C（m，0），m3，半径为，圆C与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1，F2分别是椭圆的左、右焦点（1）求圆C的标准方程（2）若点P的坐标为（4，4），试探究斜率为k的直线PF1与圆C能否相切，若能，求出椭圆E和直线PF1的方程；若不能，请说明理由考点：圆与圆锥曲线的综合；圆的标准方程专题：综合题分析：（1）由已知可设圆C的方程为（xm）2+y2=5（m3），

23、将点A的坐标代入圆C的方程，得（3m）2+1=5由此能求出圆C的方程（2）直线PF1能与圆C相切，设直线PF1的方程为y=k（x4）+4，若直线PF1与圆C相切，则当时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，当时，直线PF1与x轴的交点横坐标为4，由此能求出椭圆E的方程解答：解：（1）由已知可设圆C的方程为（xm）2+y2=5（m3）将点A的坐标代入圆C的方程，得（3m）2+1=5即（3m）2=4，解得m=1，或m=5m3m=1圆C的方程为（x1）2+y2=5（6分）（2）直线PF1能与圆C相切依题意设直线PF1的方程为y=k（x4）+4，即kxy4k+4=0若直线PF1与圆C相切，则4k

24、224k+11=0，解得当时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去当时，直线PF1与x轴的交点横坐标为4，c=4，F1（4，0），F2（4，0）由椭圆的定义得：，即a2=18，b2=a2c2=2直线PF1能与圆C相切，直线PF1的方程为x2y+4=0，椭圆E的方程为（14分）点评：本题考查圆的方程和椭圆方程的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化21（14分）（2013惠州模拟）已知函数f（x）=ln（2ax+1）+x22ax（aR）（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在3，+）上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当a=

25、时，方程f（1x）=有实根，求实数b的最大值考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性专题：计算题；压轴题分析：（1）先对函数求导，由x=2为f（x）的极值点，可得f（2）=0，代入可求a（2）由题意可得在区间3，+）上恒成立，当a=0时，容易检验是否符合题意，当a0时，由题意可得必须有2ax+10对x3恒成立，则a0，从而2ax2+（14a）x（4a2+2）0对x3，+0上恒成立考查函数g（x）=2ax2+（14a）x（4a2+2），结合二次函数的性质可求（3）由题意可得问题转化为b=xlnxx（1x）2+x（1x）=xlnx+x2x3在（0，+）上有解，即求函数g（x）=xl

26、nx+x2x3的值域方法1：构造函数g（x）=x（lnx+xx2），令h（x）=lnx+xx2（x0），对函数h（x）求导，利用导数判断函数h（x）的单调性，进而可求方法2：对函数g（x）=x（lnx+xx2）求导可得g（x）=lnx+1+2x3x2由导数知识研究函数p（x）=lnx+1+2x3x2，的单调性可求函数g（x）的零点，即g（x0）=0，从而可得函数g（x）的单调性，结合，可知x0时，lnx+0，则g（x）0，又g（1）=0可求b的最大值解答：解：（1）=（1分）因为x=2为f（x）的极值点，所以f（2）=0（2分）即，解得a=0（3分）又当a=0时，f（x）=x（x2），从而x=2为f（x）的极值点成立