九年级数学上册 22.2 二次函数与一元二次方程典型例题2素材 （新版）新人教版

1、二次函数与一元二次方程典型例题例1 已知：二次函数y=x2+2ax-2b+1和y=-x2+(a-3)x+b2-1的图象都经过x轴上两个不同的点M、N，求 a，b的值。例2 已知二次函数的图像如图所示.（1）试确定的符号；（2）求的值；（3）求的面积；（4）若，求之间的关系.例3 抛物线与轴交于A、B两点，Q（2，k）是该抛物线上一点，且，则的值等于（ ）.（A）（B）（C）2 （D） 3.例4 如图所示，直线AB是一次函数的图像，直线AC是一次函数的图像（）.（1）用表示A点坐标；（2）若的面积为12，且A点在抛物线上，求直线AB与AC的函数解析式.例5 已知抛物线.（1）确定此抛物线的对称轴

2、方程和顶点坐标；（2）如图，若直线分别与抛物线交于两个不同点A、B，与直线相交于点P，试证；（3）在（2）中，是否存在值，使A、B两点的纵坐标之和等于4？如果存在，求出值；如果不存在，请说明理由.参考答案例1 解：方法一 依题意，设M(x1，0)，N(x2，0)，且x1x2，则x1，x2为方程x2+2ax-2b+1=0的两个实数根，所以x1+x2=-2a，x1x2=-2b+1。因为x1，x2又是方程-x2+(a-3)x+b2-1=0的两个实数根，所以x1+x2=a-3，x1x2=1-b2由此得方程组当a=1，b=0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，所以 a=1，b=0舍去。当a=1，b=2

3、时， 二次函数为y=x2+2x-3和y=-x2-2x+3符合题意，所以a=1，b=2。方法二 因为二次函数y=x2+2ax-2b+1的图象的对称轴为x=-a，二次函数的图象的对称轴为，又两个二次函数图象都经过x轴上两个不同的点M，N所以两个二次函数图象的对称轴为同一直线，所以，解得a=1. 所以两个二次函数分别为y=x2+2x-2b+1和y=-x2-2x+b2-1。依题意，令y=0得x2+2x-2b+1=0，(1)-x2-2x+b2-1=0，(2)(1)+(2)得b2-2b=0，解得b1=0，b2=2。以下解法同方法一。注意：本题给出两种不同的解法方法一的关键是紧紧抓住问题的本质就是两个二次函

4、数图象都经过x轴上两个不同的点M，N从而把文字语言转化为代数语言，设M(x1，0)，N(x20)，再转化为x1，x2是两个二次方程的等根来解。方法二是利用两个二次函数的图象都经过x轴上两个不同的点M，N这个现象，挖掘它的内涵(从草图中也可看出)知道，两个二次函数图象的对称轴应为同一直线，从而解得a=1在求b的过程中把方程(1)和方程(2)相加消去x，因为两个方程设而不解，这种方法同学们可能不习惯,可以这样理解:都是方程(1)和(2)的解,不妨设,同时也应有,所以.从而推出2b=b2得解。最后提醒学生对于解得的结果还要进行检验是否符合题意。例2 分析：（1）观察图象，由二次函数的图象和性质或令取

5、，就可以确定几个式子的符号（2）关键要能清楚与之间的关系解：（1）抛物线开口向下，.又抛物线的顶点在y轴的右侧，而， .又抛物线与y轴的交点在x轴上方，.抛物线与x轴有两个不同的交点， .又， .， .当时，.当时，.（2）设A、B两点的坐标分别为.，、是方程的两个不同的实数根，. .（3），而.，.（4），即.又是方程的一个根，由知是它的另一个根，由方程根的定义，知.说明：本题是一道综合性较强的题目，把二次函数的问题转化成二次方程的问题，然后利用韦达定理来解决例3 分析 要解决本题，可运用化归的数学思想，将题中的抛物线向左平移2个单位，新的抛物线与轴交于（0，k）点.可设新抛物线的解析式为.这样就把问题转化为：“抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于Q点，若，则= ，”从而把问题“化繁为简”.根据射影定理与韦达定理可得=.例4 分析：（1）要求A点的坐标，可求方程组的解；（2）要求直线AB与AC的解析式，就是要确定的值.因A点在抛物线上，把A点的坐标代入抛物线解析式得到一个关于的方程，再由的面积为12，又得到一个关于的方程，解由这两个方程组成的方程组即可.解：（1）解方程组得A点的坐标为.（2）A点在抛物线上，.令，则由得，由得.B、C两点的坐标分别是，且参照图像可知.作轴于D.，即.即.解方程组得 直线AB和直线AC的解析式分别是：和.例5 答案：（1）略；（2）由得.设、.则+