高等数学（2015级版）：1_4_1数列极限

1、,数列极限 函数极限 极限定义,性质 基本准则,两个重要极限 无穷大与无穷小,极 限,定 义,性 质,计 算,Creativity,第二节 数列极限,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,播放,刘徽,一、概念的引入,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，

2、所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,

3、1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,一、概念的引入,2、截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,一、概念的引入,二、数列的定义,例如,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,二、数列的定义,播放,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题

4、:,“无限接近”如何用数学语言表达?,通过上面演示实验的观察:,数列中充分靠后的所有项到某一定数的距离可任意小,三、数列的极限,定义 若一个数列 ，当 无限增大时, 无限 的接近于某个常数 ,则称数列 以 为极限，或 收敛于 . 记为： 或 如果数列没有极限, 就说数列是发散的.,如何理解无限接近？ 与 的接近程度在数轴上可用点 与定点 之间的距离 来度量，即 越小， 与 越接近.,例,收敛数列的性质,性质1. 唯一性: 收敛数列的极限唯一. （反命题） 例如： 发散.,性质2. 有界性: 收敛数列一定有界. (无界数列必定发散.) 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如 ： 虽有界，但发散

5、,收敛数列的性质,性质3. 保号性: 若 , 且 ,则 , 都有 性质4. 唯一性：每个收敛的数列只有一个极限. 推论：收敛数列的任一子数列都收敛于同一极限. 若数列的两个子数列收敛于不同极限,则该数列发散 例如：,数列极限存在准则,夹逼准则 单调有界准则,定理1. 夹逼准则 (准则1),例. 证明,证: 利用夹逼准则 .,且,由,定理2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 ),( 证明略 ),例. 利用准则2讨论下面极限的敛散性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（单调递减有界）,（无界）,（不单调但有界）,内容小结,数列:研究其变化规律;,数列极限:极限思想,几何意义;,收敛数列的性质:

6、有界性，保号性，唯一性.,数列极限不存在有两种情况:,1、数列有界,但当,时,数列一般项不与任何常数,无限接近,如,2、数列无界,如,.,极限存在准则:,夹逼准则 ；单调有界准则,刘徽(约225 295年),我国古代魏末晋初的杰出数学家.,他撰写的重,差对九章算术中的方法和公式作了全面的评,注,指出并纠正了其中的错误 ,在数学方法和数学,理论上作出了杰出的贡献 .,他的 “ 割圆术 ” 求圆周率,“ 割之弥细 , 所失弥小,割之又割 , 以至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣 ”,它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要,极限思想 ., 的方法 :,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论, 微积,分在几何