概率统计文稿3(1.5节).ppt

1、,如果 是一个完备事件组,则：,1.,2.,3.,4.,5. 对于任意两个事件A与B,有,概率的加法公式,定义 对于两个事件A、B，若P（A）0，则称P（B|A）=P（AB）/P（A）为事件A出现的条件下，事件B出现的条件概率。,注意:(1)区别P（B|A）与P（AB）. (2)条件概率P（B|A）满足概率的三条公理. (3) P(B| )=P(B); P(B|B)=1; (4) 若B1, B2互不相容,则有: P(B1+B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A) (5) P( |A)=1-P(B|A),条件概率,计算方法,对于两个事件A与B， 若P(A)0, 则有 P(AB)=P(A)P(B

2、|A), 若P(B)0, 则有 P(AB)=P(B)P(A|B), 若P(A)0,P(B)0, 则有 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B),推广情形,对 于 n 个 事 件 A1 ,A2,An ,若 P ( A1A2An-1 ) 0，则 有 P ( A1A2An) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1),特别：对事件A，B，C，若P（AB）0，则有 P（ABC）=P（A）P（B|A）P（C|AB）,注意：乘法法则一般用于计算几个事件同时发生的概率,二、乘法公式,乘法公式求解,1.,2.,公式求解,3,三. 事件的独立性,定义1:,可得:,

3、事件A与B相互独立的充要条件是:,事件的独立性也可定义为:,定义 若事件A与B满足 P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立，简称A与B独立。,推论1 A、B为两个事件，若P(A)0, 则 A与B独立等价于P(B|A)=P(B).,推论2 在 A 与 B， 与 B，A 与 ， 与 这四对 事件中，若有一对独立，则另外三对也相互独立。,说明： 推论3提供了一种判断两事件独立性的直观方法， 即对于两事件， 若其中任何一个事件出现的概率不受另一个事件出现与否的影响，则可判断这两事件是独立的。,推论3 设0P(A)1,0P(B)1 则下面四个等式 等价， P(B|A)=P(B)， P(B|

4、)=P(B) P(A|B)=P(A)， P(A| )=P(A),注： 一般不成立,多个事件的独立性,将两事件独立的定义推广到三个事件：,推广1（n个事件的相互独立性）:设有n个事件A1,A2,An,若它们中任何一个事件的发生都不受其它事件的影响,则称这n个事件相互独立.,性质:若n个事件相互独立，则 它们积事件的概率等于每个事件概率的积；反之不 一定成立。 它们中的任意一部分事件换成各自事件的对立事件 后，所得的n个事件也是相互独立的。,请注意多个事件两两独立与事件两两相互独立的区别与联系,两两独立,相互独立,对n(n2)个事件,?,两事件相互独立与两事件互不相容 是两个不同的概念， 两者没有

5、必然的联系 A,B独 立 可推得A,B相容. A,B互斥可推得A,B不独 立 . 事件A、B相互独立，其实质是事件A发生与否不影响 事件B发生的概率，而说A、B互不相容，则是指A的 发生必然导致B不发生，或者B的发生必然导致A不发生， 即AB= ， 这就是说事件A的发生对事件B发生的概率有影响,注意：,设P(A)0,P(B)0,则P(AB)=P(A)P(B)0, 即A,B独立可推得A,B相容,若A,B互斥，即P(AB)=0，而P(A)P(B)0，故A,B不独 立 .,1. 对 于 有 放 回 抽 样，各 次 抽 取 是 相 互 独 立 的 。,2. 区 别 互 斥 事 件 （ 互 不 相 容

6、事 件）、对 立 事 件 、 独 立 事 件 。,3. 当 A 、B 独 立 时 , 计 算 P(AB)， P(A+ B)，P(A-B).,P(AB)=P(A)P(B); P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B); P(A-B)=P(A)-P(A)P(B),注意：,例2. 三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的概率依次为0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相互独立,求电路断电的概率是多少?,解: 设A1,A2,A3分别表示第1,2,3个元件断电 ,A表示电路断电,则A1,A2,A3相互独立,A= A1+A2+A3,P(A)=P(A1+A2+A3)=,=1-0.168=0.832

7、,3,如图所示，,(2.),例4.,(注:合格品中的一级品律),大,例5.,=0.504+0.056+0.126+0.216,方法二:因为 =(至少有两台需照管),（3）机床因无人照管而停工的概率,解：当至少2台机床同时发生故障时，机床因无人照管 而停工.,故机床因无人照管而停工的概率为0.098,解:设,99,练习题,1.,2.,提示:,3.,4.,5.,解:,1/2,1/2,0.7,第5节 全概公式与贝叶斯公式,1、全概率公式 A1,A2,An是两两互斥的正概率事件， 且事件 A1+A2+An= , 则 对于任何一个事件B，有 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(An)P(B|An),

8、注意：,（1）全概率公式中的事件组是完备事件组； （2）该公式一般用于：所求事件的概率可能由某些原因引发， 而这些原因又构成完备事件组； （3）在应用该公式时，必须先找出引发该事件的完备事件组。,（4）若n=2，则,（5）若n=3，则,例1.设10件产品中有4件不合格品，从 中不放回取两次，每次一件，求第二件为不合格品的概 率为多少？,解：设A=第一次取得不合格品，B=第二次取得不 合格品，,事件A和A的对立 事件构成完备事件组，由全概率公式得：,=（4/10）（3/9）+（6/10）（4/9）,= 6/15,而,是一完备事件组,例3. 市场上某种商品由三个厂家同时供货,其供应量为: 甲 厂家

9、是乙厂家的2倍,乙.丙两个厂家相等,且各厂产品的次品 率为2%, 2%, 4%, (1)求市场上该种商品的次品率.,(2)若从市场上的商品中随机抽取一 件,发现是次品,求它是甲厂 生产的概率?,解：设Ai表示取到第i 个工厂产品，(i=1,2,3,) B表示取到次品, 由题意 得: P(A1)=0.5, P(A2)=P(A3)=0.25, P(B|A1)=0.02, P(B|A2)=0.02, P(B|A3)=0.04 由全概率公式得:,=0.025,分析:所求为条件概率P(A1|B)=P(A1B)/P(B).这也就是下面的Bayes公式.,设正概率事件A1，A2,.,An构成完备事件组 ,对

10、于任何一个正概率事件B，有,注意:,1. A1,A2,.,An可以看作是导致事件B发生的原因; 2. P(Aj|B)是在事件B发生的条件下,某个原因Aj发生的概率,称为 “后验概率”;Bayes公式又称为“后验概率公式”或“逆概公式”; 3. P(Aj)对应可以称为“先验概率”.,2、贝叶斯（Bayes）公式,P ( Aj| B )=,P(Aj B)/P(B)=P ( Aj) P( B | Aj ) / P（B）,例4. 市场上某种商品由三个厂家同时供货,其供应量为: 甲厂家是乙厂家的2倍,乙.丙两个厂家相等,且各厂产品的次品率 为2%,2%,4%, (1)求市场上该种商品的次品率.,(2)若

11、从市场上的商品中随机抽取一 件,发现是次品,求它是甲厂 生产的概率?,解：(2)设Ai表示取到第i 个工厂产品，(i=1,2,3), B表示取到次品, 由题意得: P(A1)=0.5, P(A2)=P(A3)=0.25 P(B|A1)=0.02, P(B|A2)=0.02, P(B|A3)=0.04 由Bayes公式得:,=0.4,例5.,练习.,市场上某种商品由甲、乙、丙三个公司同时供应，三个公司的市场占有率分别为0.2,0.4和0.4，次品率分别为0.05,0.04和0.02，现在市场上任买一个该商品，求 （1）买到次品的概率； （2）若买到次品，是甲公司生产的概率是多少？ （3）若买到次品，是乙公司生产的概率是多少？ （4）若买到次品，是丙公司生产的概率是多少？,解,依题意，有,(2),1.已知 ,且A与B相互独立，则 。,2、某商店拥有某产品共计12件，其中4件次品.已经售出2件， 现从剩下的10件产品中任取1件，求这件是正品的概率。,3.证明题： 设 ，证明：（1） ； （2）,4.证明：如果 ， 则事件A与B相互独立。,注意,证明题： 设