平面直角坐标系与函数的概念

1、平面直角坐标系与函数的概念【课前热身】1.如图，把图中的A经过平移得到O(如图)，如果图中A上一点P的坐标为(m，n)，那么平移后在图中的对应点P的坐标为（ ）A(m2，n1) B(m2，n1) C(m2，n1) D(m2，n1)2.菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，则点的坐标为（ ）A B C D xyOCBA（第2题）3.点关于轴对称的点的坐标为（）A B C D 4.函数中，自变量的取值范围是（ ）A B CD5.在函数中，自变量的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【参考答案】1. D2. C3. D4. B 【解析】本题考查含二次根式的函数中中自变量的取值范围，由于二次根式中

2、的范围是；中的范围由得.5. C【考点聚焦】知识点 平面直角坐标系、常量与变量、函数与自变量、函数表示方法 大纲要求 1.了解平面直角坐标系的有关概念，会画直角坐标系，能由点的坐标系确定点的位置，由点的位置确定点的坐标； 2.理解常量和变量的意义，了解函数的一般概念，会用解析法表示简单函数； 3.理解自变量的取值范围和函数值的意义，会用描点法画出函数的图象.考查重点与常见题型 1.考查各象限内点的符号，有关试题常出选择题； 2.考查对称点的坐标，有关试题在中考试卷中经常出现，习题类型多为填空题或选择题；3.考查自变量的取值范围，有关试题出现的频率很高，重点考查的是含有二次根式的函数式中自变量的

3、取值范围，题型多为填空题； 4函数自变量的取值范围.【备考兵法】1.理解函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点.2.要进行自变量与因变量之间的变化图象识别的训练，真正理解图象与变量的关系. 3.平面直角坐标系：坐标平面内的点与有序实数对一一对应；点P（a，b）到x轴的距离为b，到y轴距离为a，到原点距离为；各象限内点的坐标的符号特征：P（a，b），P在第一象限a0且b0，P在第二象限a0，P在第三象限a0，b0，b0；点P（a，b）：若点P在x轴上a为任意实数，b=0；P在y轴上a=0，b为任意实数；P在一，三象限坐标轴夹角平分线上a=0；P在二，四象限坐标轴夹角平分线上a=b； A（x

4、1，y1），B（x1，y2）：A，B关于x轴对称x1=x2，y1=y2；A、B关于的y轴对称 x1=x2，y1=y2； A，B关于原点对称x1=x2，y1=y2；ABx轴y1=y2且x1x2；ABy轴x1=x2且y1y2（A，B表示两个不同的点）4.变量与函数：在某一变化过程中，可以取不同数值的值叫做变量数值保持不变的量叫常量常量和变量是相对的，判断常量和变量的前提是“在某一变化的过程中”，同一量在不同的变化过程中可以为常量也可以为变量，这是根据问题的条件而定的常量和变量并一定都是量，也可以是常数或变数在某一变化的过程中有两个变量x与y，如果对于x在取值范围内取的每一个确定的值，y都有唯一确定

5、的值与它对应，那么说x是自变量，y是x的函数，函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义自变量的取值范围可以是无限的也可以是有限的可以是几个数，也可以是单独的一个数，表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义对于自变量在取值范围内取一个确定的值，函数都有唯一确定的值与之对应，这个对应值叫做函数的一个函数值函数由一个解析式表示时，求函数的值，就是求代数式的值，函数的值是唯一确定的，但对应的自变量的值可以是多个函数值的取值范围是随自变量的取值范围的变化而变化的函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法这三种表示法各具特色，在应用时，通常将这三种方

6、法结合在一起运用，其中画函数图象的一般步骤为：列表、描点、连线【考点链接】1. 坐标平面内的点与_一一对应2. 根据点所在位置填表（图）点的位置横坐标符号纵坐标符号第一象限第二象限第三象限第四象限3. 轴上的点_坐标为0, 轴上的点_坐标为0. 4. P(x,y)关于轴对称的点坐标为_，关于轴对称的点坐标为_，关于原点对称的点坐标为_.5. 描点法画函数图象的一般步骤是_、_、_6. 函数的三种表示方法分别是_、_、_7. 有意义，则自变量x的取值范围是 . 有意义，则自变量的取值范围是 .【典例精析】例1. 已知点A（a，5），B（8，b）根据下列要求，确定a，b的值 （1）A，B两点关于y

7、轴对称；（2）A，B两点关于原点对称； （3）ABx轴；（4）A，B两点在一，三象限两坐标轴夹角的平分线上 【分析】（1）两点关于y轴对称时，它们的横坐标互为相反数，而纵坐标相同； （2）两点关于原点对称时，两点的横纵坐标都互为相反数； （3）两点连线平行于x轴时，这两点纵坐标相同（但横坐标不同）； （4）当两点位于一，三象限两坐标轴夹角的平分线上时，每个点的横纵坐标相同 【答案】解：（1）当点A（a，5），B（8，b）关于y轴对称时有： （2）当点A（a，5），B（8，b）关于原点对称时有 （3）当ABx轴时，有（4）当A，B两点位于一，三象限两坐标轴夹角平分线上时有：xA=yB且xA=yB

8、即a=5，b=8【点评】运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键例2.如图所示，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（0，6），（8，0），求RtABO的内心的坐标 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形内心的概念，运用内心到两坐标轴的距离，结合实际图形，确定内心的坐标【答案】解：A（0，6），B（8，0），OA=6，OB=8，在RtABO中，AB2=OA2+OB2=62+82=100，AB=10（负值舍去）设RtABO内切圆的半径为r，则由SABO=68=24，SABO =r（AB+OA+OB）=12r，知r=2，而内心在第二象限，内心的坐标为（2，2）【点评】运用数形结合并借助面积是解答本

9、题的关键例3 如图所示表示玲玲骑自行车离家的距离与时间的关系，她9点离开家，15点回到家，请根据图象回答下列问题： （1）玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ （2）她何时开始第一次休息？休息多长时间？ （3）第一次休息时，离家多远？ （4）11：00到12：00她骑了多少千米？ （5）她在9：0010：00和10：0010：30的平均速度各是多少？ （6）她在何时至何时停止前进并休息用午餐？ （7）她在停止前进后返回，骑了多少千米？（8）返回时的平均速度是多少？ 【分析】小玲骑自行车离家的距离是时间的函数，从图象中线段CD和EF与横轴平行，表明这两段时间她在休息，通过读图可分别求解各

10、问题 【答案】解：（1）由图象知，玲玲到达离家最远的地方是12点，离家30km； （2）由线段CD平行于横轴知，10：30开始休息，休息半个小时； （3）第一次休息时离家17km； （4）从纵坐标看出，11：00到12：00，她骑了13km（3017=13）； （5）由图象知，9：0010：00共走了10km，速度为10km/h，10：0010：30共走了7km，速度为14km/h； （6）她在12：0013：00时停止前进并休息用午餐； （7）她在停止前进后返回，骑了30km回到家（离家0km）； （8）返回时的路程为30km，时间为2h，故返回时的平均速度为15km/h 【点评】如图a所示

11、，表示速度v与时间t的函数图象中，表示物体从0开始加速运动，代表物体匀速运动，代表物体减速运动到停止如图b所示，表示路程s与时间t的函数图象中，代表物体匀速运动，代表物体停止，代表物体反向运动直至回到原地 (a) (b)【迎考精练】一、选择题1. （河南）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，0）和（2，0）.月牙绕点B顺时针旋转900得到月牙，则点A的对应点A的坐标为（ ） A.（2，2） B.（2，4） C.（4，2） D.（1，2）2.（北京市）如图，C为O直径AB上一动点，过点C的直线交O于D.E两点，且ACD=45，DFAB于点F,EGAB于点G,当点C在AB上运动

12、时，设AF=，DE=，下列中图象中，能表示与的函数关系式的图象大致是（ ） 3.（天津市）在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是，将线段平移后得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）A B C D4.（重庆）如图，在矩形中，AB=2，动点P从点B出发，沿路线作匀速运动，那么的面积S与点P运动的路程之间的函数图象大致是（ ）DCPBA第4题图O3113SxAO113SxO3Sx3O113SxBCD25.(黑龙江牡丹江)如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形的边上有一动点沿运动一周，则的纵坐标与点走过的路程之间的函数关系用图象表示大致是（ ）123412ysO123412ysOs123

13、412ysO123412yOA.B.C.D.6.（浙江杭州）两个不相等的正数满足，设，则S关于t的函数图象是（ ）A射线（不含端点） B线段（不含端点）C直线 D抛物线的一部分7.（山东济南）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点若规定以下三种变换： 按照以上变换有：那么等于（ ） A B C D8.（山东青岛）一艘轮船从港口出发，以15海里/时的速度沿北偏东60的方向航行4小时后到达A处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B若以港口为坐标原点，正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（ ）A B C D9.（山东

14、东营）如图，点A的坐标为(1，0)，点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为( ) yxOBA（第9题图）A.（0，0） B.（，） C.（，） D.（，）10.(陕西省)如果点P(m，1-2m)在第四象限，那么m的取值范围是 ( )ABCD11.(四川成都)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，3)，若将OA绕原点O逆时针旋转180得到0A，则点A在平面直角坐标系中的位置是在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限12.（山东威海）如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1）若将线段平移至，则的值为（）A2 B3 C4 D5yOx 13.（湖北襄樊）如图，在边长为

15、1的正方形网格中，将向右平移两个单位长度得到则与点关于轴对称的点的坐标是（ ）A B C D14（浙江绍兴）如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于原点，平行于轴的直线交于，两点若点的坐标是（），则点的坐标是（）A B. C. D. 15.（浙江杭州） 已知点P（，）在函数的图象上，那么点P应在平面直角坐标系中的（ ）A第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限16.(广东肇庆)函数的自变量的取值范围是（ ）A B C D17.（浙江杭州）某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点处，其中，当时，表示非负实数的整数部分，例如2.6=2，0.2=0按此方案

16、，第棵树种植点的坐标为（ ）A（5，） B（6，2010） C（3，401） D（4，402）二、填空题1.（湖北荆门）将点P向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到（，3），则点P的坐标是_2.（吉林省）如图，点关于轴的对称点的坐标是 Ax3yO-53.（山东泰安）如图所示，ABC是由ABC向右平移5个单位，然后绕B点逆时针旋转90得到的（其中A、B、C的对应点分别是A、B、C），点A的坐标是（4，4）点B的坐标是（1，1），则点A的坐标是 。4.（湖南衡阳）点A的坐标为（，0），把点A绕着坐标原点顺时针旋转135到点B，那么点B的坐标是 _ 5.（内蒙古包头）线段是由线段平移得到的，点的对

17、应点为，则点的对应点的坐标是 6.（广东肇庆）在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是 7.（湖北十堰）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，4)，将线段OA绕点O顺时针旋转90得到线段OA，则点A的坐标是 8.（浙江衢州）如图，DB为半圆的直径，A为BD延长线上一点，AC切半圆于点E，BCAC于点C，交半圆于点F已知BD=2，设AD=x，CF=y，则y关于x的函数解析式是ABCE第8题图DOF9.（湖北仙桃）函数中，自变量x的取值范围是_10.（福建龙岩）函数中自变量x的取值范围是 11.(广东梅州)星期天，小明从家里出发到图书馆去看书，再回到家他离家的距离y（千米）与时间t（分钟

18、）的关系如图所示y(千米)t(分)3127211题O根据图象回答下列问题： （1）小明家离图书馆的距离是_千米； （2）小明在图书馆看书的时间为_小时； （3）小明去图书馆时的速度是_千米/小时 三、解答题1.（吉林长春）如图，点的坐标为，过点作轴的平行线交轴于点，交双曲线（）于点，作交双曲线（）于点，连结已知yxOPAMN（1）求的值（3分）（2）求的面积（3分）2.（安徽）如图，在对RtOAB依次进行位似、轴对称和平移变换后得到OAB（1）在坐标纸上画出这几次变换相应的图形；（2）设P（x，y）为OAB边上任一点，依次写出这几次变换后点P对应点的坐标OABxOBAy第2题图3.（黑龙江齐齐

19、哈尔）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为、（1）若将向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的；（2）画出绕原点旋转后得到的；（3）与是中心对称图形，请写出对称中心的坐标：_；（4）顺次连结，所得到的图形是轴对称图形吗？12341243yxOABC4.（天津市）已知一个直角三角形纸片OAB，其中如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于点（）若折叠后使点与点重合，求点的坐标；xyBOA（）若折叠后点落在边上的点为，设，试写出关于的函数解析式，并确定的取值范围；xyBOA（）若折叠后点落在边上的点为，且使，求此时点的坐标 xyBOA5.(河北

20、)某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60 cm30 cm，B型板材规格是40 cm30 cm现只能购得规格是150 cm30 cm的标准板材一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图）裁法一裁法二第5题图60404015030单位：cmABB裁法三A型板材块数120B型板材块数2mn设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y张、按裁法三裁z张，且所裁出的A.B两种型号的板材刚好够用（1）上表中，m = ，n = ；（2）分别求出y与x和z与x的函数关系式；（3）若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数

21、关系式， 并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少张？【参考答案】选择题1. B2. A3. B4. B 5. D6. B7. B8. A9. C10. D 11. C12. A13. D 【解析】本题考查坐标与平移，由图3可知点B的坐标是（-1，1），将向右平移两个单位长度得到所以点的坐标是（1，1），所以点关于轴对称的点的坐标是（1，-1），故选D.14. B15. B16. C17. D填空题1. （1，2）【解析】本题考查坐标与平移，将点P向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到（，3），所以点（，3）向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到P（1，2），故填（1，2）2. （5，3）3. （-1，-2）4. (1,-1)5. (1,2) 【解析】 本题考查图形平移后图形上点的坐标变化情况，由于平移图形上的所有点均作相同的运动，由A(-1,4)至C(4,7)是先将点A(-1,4)向右平移5个单位，再向上平移3