立体几何的折叠问题

1、第十七讲 平面图形的翻折【知识精讲】一、翻折问题的关键有二：画好两个图翻折前的平面图和翻折后的立体图；分析好两个关系翻折前后哪些位置关系和度量关系发生了变化，哪些没有改变,一般地，在同一半平面内的几何元素之间的关系是不变的，涉及到两面二个半平面内的几何元素之间的关系是要变化的，分别位于两个半平面内但垂直于翻折棱的直线翻折后仍然垂直于翻折棱。G（C）F（B）DAA AHAEAABGCEFHDEDFBAHGCBDA二、求从一点出发沿几何体表面到另一点的最短距离问题: 通常把几何体的侧面展开，转化为平面图形中的距离问题。【例题选讲】例1：（1）如图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、

2、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有_对.【分析】平面图形的翻折应注意折前折后各元素相对位置的变化。画好正方体即可知有三对异面直线。（2）图示是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点则在正方体中，异面直线AB、CD所成角的余弦值为_解：把展开图复原为正方体后如图，则HFG为AB和CD所成的角，F为正方体一的中点。COSHFG=例2：如图，直角梯形ABCD中，AB/CD，ADC=900，AB=AD=a,CD=3a,将ABD沿BD折起，使之与平面BCD成600的二面角，点A到了A的位置，求A与C间的距离。解：在梯形ABCD的底CD上取点E使DE=a.AE与BD交于F，则ABE

3、D是正方形，由AEBD得AFBD，EFBD，故AFE为二面角的平面角为600，故AEF是等边三角形，AF=EF=AE=a,在AED中，AD=AD=a,再由余弦定理得cosADE=3/4,所以变式：在矩形ABCD中，已知AB=AD，E是AD的中点，沿BE将ABE折到ABE的位置，使AC=AD.(1)求证：平面ABE平面BCDE；（2）求AC和平面BCD所成角的大小。解：(1)取BE、CD中点为M、N，MNCD，且由AC=AD得ANCD，故CD面AMN，得CDAM，又AE=AD，故AMBE，即AMBE,所以AM平面BCDE即证得平面ABE平面BCDE（2）连MC，由AM平面BCDE得ACM为AC和

4、平面BCD所成角，设AB=a,则，例3:有一正三棱锥和一个正四棱锥，它们的所有棱长都相等，把正三棱锥和正四棱锥的一个全等的面重合。（1） 说明组合体是什么样的几何体？（2） 证明你的结论。解：（1）是斜三棱柱。（2） 正三棱锥为SAED，正四棱锥为SABCD，重合的面为ASD，如图示，设AD，BC中点分别为M、N，由AD平面MES且AD平面MNS知，平面MNS与平面MES重合；因为SE=AB=MN,EM=SN,MNSE为平行四边形。从而得到ES/MN/AB/CD ESAB，ABSE为平行四边形，同理，CDES为平行四边形。面SBC面EAD，ABCDES，且AB不垂直平面SBC，组合体为斜三棱柱

5、。思维点拔本例关键在于证明EAS与SAB共面及EDS与SCD共面，突破的关键是利用组合体的对称性，证明ESMN。BDAB1CFE3421BACDHGEFO例4：一个正三棱锥ABCD，底面边长为a侧棱长为2a，过B作与侧棱AC、AD相交的截面，在这截面三角形中（1）周长的最小值；（2）此时的截面面积。解：（1）如图，截面周长最小，即将侧面展平后，三边成一直线，设截面为BEF，则在图中。ABB1等腰，故ABEAB1F，AEF为等腰三角形，EFCD，1=2=3=4，ABCBCEAEF，AE=,EF=,BB1=BE+EF+FB1=周长最小值为（2） 图示，BE=BF=，故BEF为等腰三角形，高BG=S

6、BEF=BGEF=思维点拔：几何体面上最短距离常用侧面展开图形，展化为平面内两点间距离的最小值。练习：长方体的长、宽、高分别为a、b、c（abc）,沿着长方体的表面的对角线的一个端点到另一个端点的最短路线的长为_。略解：摊平，有三种路线，因为abc，比较可得最短路线的长为例5：如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=CD=a,AD=BC=2a,A=600,AC与BD交于E，将其沿对角线BD折成直二面角。（1）证明：AB平面BCD；（2）证明：平面ACD平面ABD；（3）求二面角ACEB大小。解：（1）由余弦定理得BD2=3a2,所以AD2=BD2+AB2故ABBD，又因为面ABD与面BCD为垂

7、直，且交线为BD，故AB平面BCD（2）由ABBD，四边形ABCD为平行四边形，故CDBD，又AB平面BCD，故CDAB，得CD面ABD，CD在面ACD内，故得到平面ACD平面ABD（3）作BQCE于Q，由平几知识可得BQ=，连AQ，由三垂线定理，得AQCE，所以BQA是二面角ACEB的平面角，tanBQA=,所以，BQA=arctan, 即二面角ACEB的大小为arctan【课堂小结】一、翻折问题的关键有二：画好两个图翻折前的平面图和翻折后的立体图；分析好两个关系翻折前后哪些位置关系和度量关系发生了变化，哪些没有改变,一般地，在同一半平面内的几何元素之间的关系是不变的，涉及到两面二个半平面内

8、的几何元素之间的关系是要变化的，分别位于两个半平面内但垂直于翻折棱的直线翻折后仍然垂直于翻折棱。二、求从一点出发沿几何体表面到另一点的最短距离问题: 通常把几何体的侧面展开，转化为平面图形中的距离问题。三、综合应用所学立体几何知识。例1 如左图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，M，N分别为AF，AD，BE，DE的中点将ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，直线GH与MN所成角的度数为（ ）A B C D F M E G H N A90 B60 C45 D30A （B、C） D F M E G H N 分析：首先按照题目要求将正三角形“折叠”成三棱锥（如右图），显然

9、该三棱锥是一个正四面体，然后利用正四面体中的线面关系即可求出异面直线GH与MN所成的角解答：依题意可知，折叠后的三棱锥是一个正四面体在正四面体ADEF中，因为G，H，M，N分别为AF，AD，BE，DE的中点，所以，于是就是异面直线GH与MN所成的角，又知ADF是等边三角形，所以，即直线GH与MN所成的角为60，选B例2 已知正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，将ADE沿DE折起，如图所示，记二面角A-DE-C的大小为（I） 证明平面ADE； （II）若ACD为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上，证明你的结论，并求角的余弦值A E C F D B H G A

10、 B C D E F 分析：此题为典型的“折叠”问题，在折叠前后，ADE与梯形BCDE的形状和大小保持不变，只是位置发生了变化，在解题时要把折叠前的平面图形与折叠后的立体图形结合使用解答：（I）证明：因为E、F分别为正方形ABCD的边AB、CD的中点，EB/FD且EB=FD，四边形EBFD为平行四边形BF/ED，又，平面.（II）点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上 证明如下：过点A作AG平面BCDE，垂足为G，连结GC、GD，ACD为正三角形，则AC=AD，GC=GD，G在CD的垂直平分线上，又EF垂直平分CD，点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上过G作GHED于H，连结AH，则，所

11、以即为二面角A-DE-C的平面角连结AF，设原正方形的边长为2a，则在折叠后的AEF中，AF=，AE=a，EF=BC=2a，所以AE2+ AF2= EF2， 则AEF为直角三角形，于是，在RtADE中， ，故即为所求【反思】“折叠问题”是指将平面图形按一定的规则翻折成立体图形，再对立体图形的位置、数量关系进行论证和计算的一类题型解决折叠问题的关键是：分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决6将长AA=3，宽AA

12、1=3的矩形沿长的三等分线处折叠成一个三棱柱(如图所示)，求平面APQ与底面ABC所成锐二面角的正切值（第6题图） A1 B1 C1 A1A B C APQ A1 C1 B1 AAB C P Q 6解析：依题可知，所得三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，且侧棱AA1=3，底面边长为，BP=1，CQ=2，延长QP交CB延长线于点E，连结AE在ACE中，AC=，CE=2CB=2，ACE=60， 由余弦定理得AE=3，所以ACAE，又AC是AQ在底面ABC内的射影，所以QAAE，则QAC为平面APQ与底面ABC所成锐二面角的平面角于4下图为一几何体的平面展开图，各边的长度如图中数据所示，则原几何体外

13、接球的表面积为 A1 E A B C B1 F C1 （第5题图） 6 6 6 6 （第4题图） 4解析：将几何体还原，由图中数据可知，该几何体是一个四棱锥，其底面是边长为6的正方形，且一条长为6的侧棱垂直于底面将这个四棱锥补成正方体，则它的对角线就是外接球的直径，所以，于是所求表面积答案：是tanQAC=即平面APQ与平面ABC所成锐二面角的正切值为例9 如图7（1），在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边中点，HICGFDBAE图7（1）G、H、I分别为DE、FC、EF的中点，将ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥后，BG与IH所成角的弧度数是（ ）FBDEHGI图7（2）MA B C D分析 把ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥为B-DEF，图7（2），取GF的中点M。连结IM，则HM/BG，所以BG、IH所成的角