高中数学 第三章 函数的应用单元质量评估 新人教A版必修1

1、第三章 函数的应用单元质量评估 (90分钟120分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)1.(2017哈尔滨高一检测)函数f(x)=的零点个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.当x0时,令x2+2x-3=0,得x=-3;当x0时,令-2+lnx=0,得x=e2.所以函数有两个零点.2.已知函数f(x)=ax-2(a0,a1),f(x0)=0且x0(0,1),则()A.a=2B.1a2D.a2【解析】选C.因为x0(0,1),所以f(0)f(1)0,即(1-2)(a-2)2.3.下列是关于函数y=f(x),xa,b的几种

2、说法:若x0a,b且满足f(x0)=0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;若x0是f(x)在a,b上的零点,则可用二分法求x0的近似值;函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点;用二分法求方程的根时,得到的都是近似值.那么以上叙述中,正确的个数为()A.0B.1C.3D.4【解析】选A.因为中x0a,b且f(x0)=0,所以x0是f(x)的一个零点,而不是(x0,0),所以错误;中因为函数f(x)不一定连续,所以错误;中方程f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点,所以错误;中用二分法求方程的根时,得到的根也可能是精确值,所以也错误.4.函数f(

3、x)=|x-2|-lnx在定义域内的零点的个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.由题意可知f(x)的定义域为(0,+).在同一直角坐标系中画出函数y1=|x-2|(x0),y2=lnx(x0)的图象,如图所示:由图可知,函数f(x)在定义域内的零点个数为2.5.下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y=f(x)-1没有零点的是()【解析】选C.把y=f(x)的图象向下平移1个单位后,只有选项C中的图象与x轴无交点.6.某公司在甲、乙两地销售同一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=5.06x-0.15x2,L2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售15辆车,

4、则能获得的最大利润为()A.45.606万元B.45.6万元C.46.8万元D.46.806万元【解析】选B.设在甲地销售x辆,则在乙地销售(15-x)辆,则总利润L=L1+L2=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30=-0.15(x-10.2)2+45.606(0x15且xN).所以当x=10时,L取得最大值,即获得最大利润,Lmax=-0.15102+3.0610+30=45.6(万元).【误区警示】本题易错在直接把L1和L2相加作为总利润,另外求最大值时要根据实际意义取整数值.7.(2017合肥高一检测)若方程x2-mx+3=0的两根满足一根大于1,一

5、根小于1,则m的取值范围是()A.(2,+)B.(0,2)C.(4,+)D.(0,4)【解析】选C.令f(x)=x2-mx+3,根据题意可知f(1)0,即1-m+34.8.某桶装水运营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元,销售单价与日均销售量的关系如表所示:销售单价/元67891011日均销售量/桶480440400360320280设销售单价在进价基础上增加x元后,日均销售利润为y元,且y=ax2+bx+c(a0).则该运营部要想获得最大利润,每桶水的销售单价在进价的基础上应增加()A.3元B.4元C.5元D.6.5元【解析】选D.由题意可知每桶水的销售单价在进价的

6、基础上增加x元时,日均销售量为480-40(x+5-6)=(520-40x)桶.故y=x(520-40x)-200=-40x2+520x-200=-40(x2-13x)-200=-40+1490.易知当x=时,ymax=1490.故该运营部要想获得最大利润,每桶水的销售单价在进价的基础上应增加6.5元.9.下列函数中,随着x的增大,其增大速度最快的是()A.y=0.001exB.y=1000lnxC.y=x1000D.y=10002x【解析】选A.增大速度最快的应为指数型函数,又因为e2.7182,故y=0.001ex增大速度最快.10.有浓度为90%的溶液100g,从中倒出10g后再倒入10

7、g水称为一次操作,要使浓度低于10%,这种操作至少应进行的次数为(参考数据:lg2=0.3010, lg3=0.4771)()A.19B.20C.21D.22【解析】选C.操作次数为n时的浓度为,由=21.8,所以n21.11.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据,如表:x0.500.992.013.98y-0.990.010.982.00则对x,y最适合的拟合函数是()A.y=2xB.y=x2-1C.y=2x-2D.y=log2x【解析】选D.将x=0.50,y=-0.99代入计算,可以排除A;将x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B,C.12.(2017成都高一检测)

8、记x表示不超过x的最大整数,如1.3=1,-1.3=-2.记函数f(x)=x-x,若方程1-f(x)=logax有且仅有3个实数根,则正实数a的取值范围为()A.(3,4B.3,4)C.2,3)D.(2,3【解析】选B.由题意得:方程1-f(x)=1+x-x,所以方程1-f(x)=logax有且仅有3个实数根,即1+x-x=logax有且仅有3个实数根,即函数y=1+x-x和函数y=logax的图象有三个不同的交点,分别作出两函数的图象,如图所示,要使得函数y=1+x-x和函数y=logax的图象有三个不同的交点,则loga31,且loga41,解得3a0,f(1)0,所以下一步可断定方程的根

9、所在的区间为.答案:14.(2017衡水高一检测)已知增函数f(x)=x3+bx+c,x-1,1,且ff0,则f(x)的零点的个数为_.【解析】因为函数f(x)=x3+bx+c是增函数,所以函数f(x)=x3+bx+c至多有一个零点,又因为ff0,且函数f(x)连续,所以f(x)在上有零点,故f(x)的零点的个数为1.答案:115.(2017成都高一检测)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=0.1x2-11x+3000,若每台产品的售价为25万元,则当产品的利润取最大值时,产量x等于_.【解析】产量为x台,设利润为S万元,则S=25x-y=25x-(0.1x2-11x+

10、3000)=-0.1x2+36x-3000=-0.1(x-180)2+240,则当x=180时,产品的利润取得最大值.答案:18016.(2015四川高考)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0的保鲜时间是192小时,在22的保鲜时间是48小时,则该食品在33的保鲜时间是_小时.【解题指南】把题中两组时间与温度的值代入函数解析式,利用方程思想解题.【解析】由题意得解得当x=33时,y=e33k+b=(e11k)3eb=192=24.答案:24三、解答题(本大题共4个小题,共40分,解答时写出

11、必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2017金华高一检测)证明:方程lnx+2x-6=0在2,e内有根.【证明】令f(x)=lnx+2x-6,由于f(x)在2,e内是一条连续曲线,且有f(2)=ln2+4-6=ln2-20,所以f(x)=lnx+2x-6在2,e内有零点,即方程lnx+2x-6=0在2,e内有根.18.(10分)若二次函数f(x)=-x2+2ax+4a+1有一个零点小于-1,一个零点大于3,求实数a的取值范围.【解析】因为二次函数f(x)=-x2+2ax+4a+1的图象开口向下,且在区间(-,-1),(3,+)内各有一个零点,所以即即解得a.19.(10分)(

12、2017孝感高一检测)学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其在40分钟的一节课中,注意力指数y与听课时间x(单位:分钟)之间的关系满足如图所示的图象,当x(0,12时,图象是二次函数图象的一部分,其中顶点A(10,80),过点B(12,78);当x12,40时,图象是线段BC,其中C(40,50).根据专家研究,当注意力指数大于62时,学习效果最佳.(1)试求y=f(x)的函数关系式.(2)教师在什么时段内安排核心内容,能使得学生学习效果最佳?请说明理由.【解析】(1)当x(0,12时,设f(x)=a(x-10)2+80,过点(12,78),代入得,a=-,则f(x

13、)=-(x-10)2+80,当x12,40时,设y=kx+b,由过点B(12,78),C(40,50)得即y=-x+90,则函数关系式为f(x)=(2)由题意得,或得4x12或12x28,即4x28,则老师在x(4,28)时段内安排核心内容,能使得学生学习效果最佳.【补偿训练】(2017荷泽高一检测)旅行社为某旅游团包飞机旅游,其中旅行社的包机费为15000元.旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算:若旅游团的人数为30人或30人以下,每张飞机票的价格为900元;若旅游团的人数多于30人,则给予优惠,每多1人,每张机票的价格减少10元,但旅游团的人数最多有75人.(1)写出飞机票的价格关于

14、旅游团的人数的函数关系式.(2)旅游团的人数为多少时,旅行社可获得最大利润.【解析】(1)设旅游团人数为x,飞机票价格为y元.当30x75时,y=900-10(x-30)=-10x+1200.故所求函数为y=(2)设利润函数为f(x),则f(x)=yx-15000= 当1x30时,f(x)max=f(30)=12000;当3012000.故旅游团的人数为60时,旅行社可获得最大利润.20.(10分)今年冬季,我国大部分地区遭遇雾霾天气,给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究,发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素,污染治理刻不容缓.为此,某工厂新购置并安装了先进的废气处理设

15、备,使产生的废气经过过滤后排放,以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位:mg/L)与过滤时间t(单位:小时)间的关系为P(t)=P0e-kt(P0,k均为非零常数,e为自然对数的底数),其中P0为t=0时的污染物数量.若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物.(1)求常数k的值.(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间.(精确到1小时,参考数据:ln0.2-1.61,ln0.3-1.20,ln0.4-0.92,ln0.5-0.69,ln0.9-0.11)【解析】(1)由已知,当t=0时,P=P0;当t=5时,P=90%P0.于是有90%P0=P0e-5k,解得k=-ln

16、0.9(或0.022).(2)由(1),知P=P0,当P=40%P0时,有0.4P0=P0,解得t=42.故污染物减少到40%至少需要42小时.【补偿训练】某皮鞋厂从今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双,由于产品质量好,款式新颖,前几个月的销售情况良好.为了使推销员在推销产品时,接受的订单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量.厂里分析,目前产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程,同时厂里暂时也不准备增加设备和工人.现就月份x,产量y(万双)给出四种函数模型:y1=0.1x+1,y2=-0.05x2+0.35x+0.7,y3=0.48+0.52,y4= -0.8+1.4.假如你是厂长,你将利用哪个模型去估算以后几个月的产量?【解析】借助计算器或计算机作出函数y1=0.1x+1,y2=-0.05