高中数学 第四章 定积分 2 微积分基本定理教学案 北师大版选修2-2

1、2 微积分基本定理 已知函数f(x)x，F(x)x2.问题1：f(x) 和F(x)有何关系？提示：F(x)f(x)问题2：利用定积分的几何意义求xdx的值提示：xdx.问题3：求F(2)F(1)的值提示：F(2)F(1)2212.问题4：你得出什么结论？提示：f(x)dxF(2)F(1)，且F(x)f(x)问题5：由f(x)dx与F(2)F(1)之间的关系，你认为导数与定积分之间有什么联系？提示：f(x)dxF(b)F(a)，其中F(x)f(x)微积分基本定理如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)F(x)，则有定理中的式子称为牛顿莱布尼茨公式，通常称F(x)是f(x)的一个原函

2、数在计算定积分时，常常用记号F(x)来表示F(b)F(a)，于是牛顿莱布尼茨公式也可写作f(x)dxF(x)F(b)F(a)微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以代入公式求出定积分 求简单函数的定积分例1计算下列各定积分：(1)(2x3)dx；(2)(cos xex)dx；(3)dx.思路点拨先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解精解详析(1)(x23x)2x3，(2x3)dx(x23x)134.(2)(sin xex)cos xex，(cos xex)dx(sin xex)1e.(3)2x，dx7.一点通

3、应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F(x)的导函数F(x)f(x)为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果1.dx_.解析：dxln eln 11.答案：12求下列函数的定积分：(1)(x22x3)dx；(2)(sin xcos x)dx；(3)dx.解：(1)(x22x3)dxx2dx2xdx3dxx23x.(2)(sin xcos x)dxsin xdxcos xdx(cos x)sin x2.(3)dxxdxdxx2ln x2212l

4、n 2ln 1ln 2.3求下列定积分：(1) sin2dx；(2) (2x2)(3x)dx.解：(1)sin2，而cos x，sin2dxdx.(2)原式 (62x3x2x3)dx.求分段函数的定积分例2已知函数f(x)先画出函数图像，再求这个函数在0,4上的定积分思路点拨按f(x)的分段标准，分成，2,4三段积分求和精解详析图像如图f(x)dxsin xdxdx (x1)dx(cos x)x1(40)7.一点通(1)分段函数在区间a，b上的定积分可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行(2)带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解4设f(x)则f(x)dx()A.

5、B.C. D.不存在解析：f(x)dxx2dx(2x)dx，取F1(x)x3，F2(x)2xx2，则F1(x)x2，F2(x)2x，所以f(x)dxF1(1)F1(0)F2(2)F2(1)02222.答案：C5已知F(x)求定积分F(x)dx.解：F(x)dx(sin x1)dxx2dx(cos xx)x3cos 1.含参数的函数的定积分例3已知函数f(x)(at2bt1)dt为奇函数，且f(1)f(1)，试求a，b的值精解详析f(x)(at2bt1)dtx3x2x.f(x)为奇函数，0，即b0.又f(1)f(1)，11.a.一点通(1)当被积函数中含有参数时，必须分清参数和自变量，再进行计算

6、，以免求错原函数另外，需注意积分下限不大于积分上限(2)当积分的上(下)限含变量x时，定积分为x的函数，可以通过定积分构造新的函数，进而可研究这一函数的性质，解题过程中注意体会转化思想的应用6若(k2x)dx2 013，则k_.解析：(k2x)dx(kxx2)k12 013，k2 014.答案：2 0147已知函数f(a)sin xdx，则f_.解析：f(a)sin xdxcos xcos a1，f1.答案：18已知f(x)是一次函数，其图像过点(3,4)，且f(x)dx1，求f(x)的解析式解：设f(x)axb(a0)，则43ab，又f(x)dx(axb)dxb1，所以a，b，即f(x)x.

7、求定积分的一些常用技巧：(1)对被积函数，要先化简，再求积分(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段积分再求和(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分 1下列积分值等于1的是()A.xdxB.(x1)dxC.1dx D.dx解析：1dxx1.答案：C2(福建高考)(ex2x)dx()A1 Be1Ce D.e1解析：(ex2x)dx(exx2)(e11)e0e.答案：C3.|x24|dx()A. B.C. D.解析：|x24|dx(4x2)dx(x24)dx，故选C.答案：C4函数F(x)t(t4)dt在1,5上()A有最大值0，无最小值B有最大值0和最小

8、值C有最小值，无最大值D既无最大值也无最小值解析：F(x)(t24t)dtx32x2(1x5)F(x)x24x，由F(x)0，得x0或4，列表如下：x(1,0)0(0,4)4(4,5)F(x)00F(x)极大值极小值可见极大值F(0)0，极小值F(4).又F(1)，F(5)，所以最大值为0，最小值为.答案：B5若x2dx18(a0)，则a_.解析：x2dx18a3.答案：36(陕西高考)设f(x)若f(f(1)1，则a_.解析：显然f(1)lg 10，f(0)03t2dtt31，得a1.答案：17求下列定积分：(1)dx；(2)sindx.解：(1)dx(2x1)dx2xdxdx1dxx2ln xx(41)ln 2ln 1214ln 2.(2)sin(x)sin xcos x，(cos xsin x)sin xcos x，sin(x)dx(sin xcos x)dx(cos xsin x)(cos sin )(cos 0sin 0)2.8A，B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中C点，这一段的速度为1.2t m/s，到C点的速度为24 m/s，从C点到B站前的D点这段路程做匀速行驶，从D点开始刹车，经t s后，速度为(241.2t) m/s，在B站恰好停车，试求：(1)A，C间的距离；(2)B，D间的距离解：(1)设从