孟华《自动控制原理》ch7

1、第七章 线性离散控制系统,内容提要：,引言 采样过程的数学描述 Z变换与Z反变换,采样系统的数学模型 离散控制系统的分析,7.1 引言,离散控制系统，又称为采样控制系统。,离散系统方块图,在离散系统中，有一处或几处的信号是时间的离散函数。,离散系统举例：,1.直接数字控制系统 (DDC-Direct Digital Control）,2. 计算机监督控制系统 (SCCSurveillance Computer Control System),3. 集散控制系统 (TDCTotal and Distributed Control),离散系统方块图,简化,简化后,DDC系统,7.2 采样过程的数学

2、描述,一、采样过程,将连续信号通过采样开关(或采样器)变换成离散信号的过程。,采样器：完成采样功能的装置。,采样宽度：开关接通很短的一段时间。,采样周期T：相邻两次采样的时间间隔。,及 w=2pf 分别称为采样频率及采样角频率。,采样过程图, 0,理想采样器,（2）用 表示脉冲发生的时间,理想采样器的输出 x*(t)可以借用单位脉冲函数来表示：,这里： （1）用 x(t) 在 t =kT 时刻的幅值,共同描写 x*(t),若(t)是一个周期函数：,二、采样定理,（1）采样信号的频率特性,单位脉冲函数：,展成富氏级数：,因此,其拉氏变换为,采样信号的频率特性,假设连续信号x(t)的频谱,基谱,需

3、要：滤掉高频谱线， 防止谱线互相搭接。,谱线搭接的情况：,|X*(jw)|,谱线不搭接时：,（2）采样定理（Shannon定理）,也即,如果 ，若想使原始信号完满地 从采样信号中恢复过来，必须使 。,采样角频率,原始信号中最高频率分量,三、信号恢复,零阶保持器的时域特性,数学模型 gh(t)=1(t)-1(t -T),零阶保持器的频率特性,=| Gh(jw)|Gh(jw),幅频特性或频谱,相频特性,结论：,零阶保持器的幅值随增大而减小， 具有低通滤波特性。 截止频率有无穷多个，不是理想滤波器。 有相位滞后，增加了系统的不稳定因素。 零阶保持器在=0时的幅值为T。,零阶保持器的作用： 将离散信号

4、变成连续信号 基本滤掉高频信号，起到低通滤波器作用 补偿了采样后幅值的衰减,7.3 Z 变换理论,一、Z 变换定义,进行拉氏变换:,理想采样器的输出,说明：,（1）将Z 变换按定义式展开,（2）Z变换只考虑采样瞬时的信号值,（3）X(z)的反变换只能给出x(t)在采样瞬时的信息,而一般,二、Z 变换方法,1.级数求和法,X(z)=x(0)+x(T)z-1+x(2T)z-2+x(kT)z-k+,例1 试求x(t)=A的Z 变换,例2 试求x(t)= e-at (a0)的Z变换,例3 试求x(t)=t 的Z变换,例4 试求 x(t) =sinw t 的Z变换,解1：,返回,用公式：,解2:,=1+

5、e-aTz-1+e-2aTz-2+e-kaTz-k +,若|eaTz|1，则可写成闭式:,返回,=1+(eaTz)-1+(eaTz)-2+(eaTz)-k +,t =kT,解3:,返回,对（1）求导,整理：,（1）+（2）得：,返回,解4：,2.部分分式法,例5,例6,利用部分分式法求取正弦函数sinwt 的Z变换,返回,解:,写出相应的Z变换:,返回,3.留数计算法,（1）无重根时,已知全部极点,条件： X(s)为s多项式之比； 当s时，X()0； X(s)的极点位于s平面之左。,例7.7 例7.8 例7.9,（2）有重根时,求 x(t)=t 的Z变换,返回,所以s1=0，=2,求x(t)=

6、te-at 的Z变换,返回,所以 s1= -a ，=2,解： s1=-1，s2=-2均为单极点,返回,三、Z变换性质,1. 线性定理,Zax1(t)bx2(t)=aX1(z)bX2(z),2. 时移定理（实数位移定理）,迟后定理,证明：,令 k-n=r ,当r0时 x(rT)=0,超前定理,令r= k+n ,3.复平移定理,证：,令：,则：,例7-11 已知 ,求X(z)。 解：,4.复域微分定理,证：,例7-12 已知x(t)=t3,求X(z)。 解:,5.初值定理,证明：由z变换的定义有,6.终值定理,证明 :,上二式相减:,例7-13 已知 ，求 的z变换。,解 因为,由实位移定理有 由

7、微分定理有,四、Z反变换,1 长除法例,2 部分分式法例,3 留数计算法 例,（3）逐项求Z反变换,（2）将等号两边各项同时乘以复变量 z,单极点：,重极点：,解 用长除法将X(z)展开为无穷级数形式,返回,例,得,所以,x(kT )=10(-1+2k ) k =0，1，2，,返回,例,或,返回,例,作业 (22/11),7-2（3） 7-3（3） 7-4 (4) 7-5 (2),7.4 离散系统的数学描述,一、差分方程,反映离散系统输入-输出序列之间的运算关系,一阶惯性环节,其微分方程为：,a,b,一阶线性常系数差分方程,递推法：,差分方程的求解,令k=0，求,令k=1，求,用Z变换解差分方

8、程,例7-13 设系统有如下差分方程,已知：,输入：,求系统响应,解：根据超前定理和,求z反变换,（k =2，3，）,解 对差分方程取Z变换 (1+3z-1+2z-2)Y(z)=X(z)z-2,查表，并应用延迟定理，得 y(k)=(-1)k -1-(-2)k -1 k =1，2，3，,X(z)=1，因此,7-14,二、脉冲传递函数（z传递函数）,在采样时刻,由z变换定义,设 k-i=n,脉冲传递函数,说明：,所求的z传递函数，是取系统输出的脉冲序列作为输出量。,G(s)表示的是线性环节本身的传递函数，而G(z)表示的是线性环节与采样开关组合体的传递函数。,解： 将G(s)分解成部分分式,逐项求

9、z变换，得,例7-15,系统如图：,T=1s, a=0.693, Xr(t)=1(t)， 求脉冲传函和输出响应,解: (1),(2) Xr(t)的z变换为,例7-16,输出函数的z变换为：,求z反变换：,阶跃响应序列：,三、开环系统的z传递函数,(1) 串联环节之间无采样器,串联环节之间无采样开关时，总开环脉冲 传函等于各环节传递函数之积的z变换。,(2)串联环节之间有采样器,总的z传递函数等于各串联环节z传递函数的乘积,四、闭环系统z传递函数,例7.17,例7-17 设闭环系统结构图如图所示。求系统输出的z变换,解 因为,Y(z)=XG(z)-GH(z)Y(z),整理，得,返回,例7-18.

10、 求离散系统的脉冲传递函数,假定d(t)=0,得结构图如下：,解：,列方程：,联立求解：,得到输出Z传递函数：,假定输入r(t)=0,得离散控制系统的结构图：,所以，有,因为：,例7-19 采样系统如图，求闭环脉冲传递函数，并求系统在单位阶跃下的输出脉冲序列，设采样周期T0.1秒。,解：,而,所以,输出z变换表达式Y(z),由上式可求输出脉冲序列,例题 已知离散控制系统结构，分析离散系统稳定性与采样周期的关系。,解 开环脉冲传递函数G(z),令 eT=a 则闭环特征方程1+G(z)=0 经整理为 z2 +( T-2 )z +1-Ta=0,代入上式，经整理得到 (T-Ta)W2+ 2aTW+ 4

11、 T Ta = 0 从而求得使系统稳定的T的取值范围,由于T总是取大于零的数，因此，若使采样系统稳定，采样周期不能大于等于4秒。 当T=1秒时，离散系统单位阶跃响应可求得如下,y*(t)=0.368(t-1)+1(t-2)+1.399(t-3)+ 1.399(t-4)+1.147(t-5)+0.894(t-6),其输出响应见图7-38a 当T=4秒时，离散控制系统的单位阶跃响应求得如下,y*(t)=3.02(t-T)-2.12(t-2T)+5.38(t-3T) -4.89(t-4T)+8.74(t-5T)-9.07(t-6T)+ 其输出响应与采样周期关系如下:,(a) T=1 (b) T=4,

12、五、z变换法的局限性,1z变换是建立在理想采样开关的基础上的。,2 离散系统的输出大多是连续信号y(t)而不是采样信号y(kT)。用一般的z 变换只能求出采样输出y(kT)，这样就不能反映采样间隔内的y(t)值。,3 用z 变换分析采样系统时，系统传递函数G(s)的极点数目必须比零点数目多两个以上，或者满足,这样在t=0时，系统的脉冲响应没有跃变。,作业（25/11）,7-6 7-7（1） 7-9,7.5 离散控制系统的分析,一、离散系统的稳定条件,1. z平面和s平面之间的关系,稳定条件的对应关系,例7-20 Tu=100ms, T=100ms, k=10, 判断稳定性,解：,特征根有一个在

13、单位圆外， 系统闭环不稳定。,闭环系统的特征方程：1+Wk(z)=0,2. 代数判据,当x2+y2=1 对应z平面单位圆 u=0 即w平面上的虚轴,当x2+y21 z平面上单位圆内部 u0 即左半w平面,当x2 +y21 z平面上单位圆外部 u0 即右半w平面,z平面到w平面的映射,z平面,w平面,注意： 进行w变换是应用劳斯判据分析线性离散系统稳定性必不可少的一步。,方法为：,求出开环脉冲传递函数A(z),将 代入，得到1+D(w)=0,应用Routh判据,写出闭环特征方程1+A(z)=0,例7-21 离散系统如图所示，采样周期T=1秒， 分析离散控制系统的稳定性,解 ：,由1+A(z)=0

14、得,将 代入，,列劳斯表,系统不稳定,例7-22 系统结构如图。T=0.1，求使离散系统稳定的K值范围。,解: 开环脉冲传递函数为,闭环特征方程 1+A(z)=0 即 Z2 +(0.632k-1.368)Z+0.368 = 0,代入，整理 0.632Kw2 +1.264w +2.736 -0.632K = 0,利用劳斯判据，可得使系统稳定的 K值范围 0K4.32,二、离散系统的瞬态响应,闭环脉冲传递函数,当输入为单位阶跃时,展开，取z反变换得y(k),1、极点位于Z平面单位圆内和圆外实轴上时,2、极点位于Z平面单位圆内和圆外复平面上时,闭环极点分布对瞬态响应的影响,三、z平面上的根轨迹,离散

15、系统闭环特征方程 1+A(z)=0 其中A(z)为开环z传递函数,z平面上的根轨迹作图方法与s平面上的作图规则完全一致。,需要注意的是： 在连续系统中，稳定的边界是虚轴，而在离散系统中，稳定的边界是单位圆。,例7-23 采样周期T=1s, 作以k为变量的根轨迹。,解：,(3)根轨迹在实轴上的分离点,四、 采样系统的稳态误差,Z变换终值定理,系统的开环脉冲传函：,z=1处有 重极点， =0,1,2分别表示0型, 1型, 2型,1. x(t)=1(t) 时的稳态误差,2. x(t)=t 时的稳态误差,3. x(t)=0.5t2输入时的稳态误差,以静态误差系数表示的稳态误差,1 Kp,1 Kv,1 Ka,表中Kp 、Kv 、Ka分别为位置、速度、加速度静态误差系数。,7.7 数字控制器设计,闭环脉冲传函：,数字控制器：,因为,所以,按最少拍的设计原则，希望E(z)级数展开式为有限项且越少越好。 E(z)的级数展开与输入信号Xr(z)形式有关。,最少拍系统设计,最少拍系统是在典型控制信号作用下具有非周期响应的数字控制系统。 又称最少调节时间系统。 过渡时间短，无稳态误差，可以做到典型信号作用下无超调，而且设计简单。,1.单位阶跃输入,为使E(z)为有限项，选择D(