北师大版初二数学下册2.4特殊的平行四边形

1、北师大九上第三章证明（三）2.3 特殊的平行四边形 探究中点四边形的形状宜昌市第二十二中学徐海红教材分析 ：本节课是在同学们学习了平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质和判定，以及三角形中位线的性质后安排的一节探究活动课，一方面中点四边形问题本身是四边形中一个有趣的问题， 同时通过本节课的探究，可以复习特殊四边形的性质和判定方法，复习三角形中位线有关性质 .既可以作为一堂四边形的复习课，又可作为探究中点四边形性质的新授课。学生经历实践、 观察、 探究中点四边形的形状与原四边形的关系，能进一步体会三角形中位线性质及特殊四边形的性质和判定在实际中的应用。通过对前一阶段的学习，学生对三角形的性质已比较

2、熟悉，能运用中位线解决有关问题，对特殊四边形的判定方法已有初步认识，能独立进行有关计算和简单的推理论证，对添加辅助线构造中位线或已知中点构造中位线已有初步的印象，但还没得到充分体验.教学目标 ：1、三角形中位线性质定理的应用2、经历“探索发现猜想证明”的过程，发现决定中点四边形形状的因素，并能对自己的猜测进行证明，进一步发展学生推理论证的能力.3、进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用.4、 通过平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、任意四边形等凸四边形的中点四边形的探求过程，引导学生体会证明过程中所运用的由一般到特殊再到一般的归纳思想方法、类比的思想方法、转化的思想方法等，培

3、养积极探索、勇于创新的精神，以及推陈出新的创新能力 .教学方法：启发，引导独立思考与小组合作画图相结合.教学重难点：重点：掌握任意四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形等中点四边形的形状.难点：这些知识点的证明及应用.教学流程一、 回顾引入 .教师：同学们，请你们在草稿纸上画一个三角形 ，并且 画出一条中位线 。a学生：（在草稿纸上画图）教师：还记得三角形的中位线定理是什么吗？学生（很多学生回答） ：三角形的中位线平行且等于第三边的一半. de教师：同学们回答得非常好， 三角形的中位线平行且等于第三边的一半 .这是三角形的中位线性质定理，即是：d且. 它可以用ebcde=1/2bc来证明线段间

4、的的位置和数量关系.bc二、 探究新课教师：请同学们完成探究一的画图（一）探究一 ：请同学们在草稿纸上画一个 任意四边形 ，gd并且取四边的中点，画出它的中点四边形.afdceb学生：（在草稿纸上画图）教师：（观察学生画的四边形，发现有同学画得太特殊了），同学们， 我也画了任意四边形，你觉得我画的哪一个具有代表性（最后一个是任意的，非特殊四边形）.学生：最后一个教师：的确，最后一个可以代表任意四边形.请同学们先观察这个任意四边形，然后猜想任意四边形的中点四边形的形状.学生 1：这个任意四边形的的中点四边形是平行四边形教师：很好！合理的猜想常能启发我们解题的思路.任意四边形的的中点四边形一定是平

5、行四边形吗 ?学生：（学生有点犹豫）教师：我们从直观上判断它是平行四边形，如果能从理论上证明它就是平行四边形，那么“任意四边形的的中点四边形一定是平行四边形”这一结论就成立.学生 2：任意四边形的的中点四边形一定是平行四边形教师：能说明理由吗？学生 2：连接对角线 ac，把这个任意四边形 abcd 分成两个三角形 : dac 和 bac.在 dac 中，因为点 g， f 分别是边 ad， cd的中点， gf 是 dac 的中位线，所以 gf ac 且 gf=1/2ac, 同理 , 在 bac中 ,de 是中位线 , 所以 deac且 de=1/2ac, 所以 de gf,且 de=gf,因此四

6、边形 defg是平行四边形 . （学生说理，教师板书过程，为下面的探究证明做好铺垫）教师：理由很充分，连 ac ，将四边形问题转化为三角形问题，利用三角形的中位线性质定理证明中点四边形的一组对边平行且相等，从而证明它为平行四边形，同学们明白了吗？众生：明白 .学生 3（举手）教师：你有不一样的想法吗？学生 3：我连接对角线ac 和 bd ，先看连接ac 分四边形成两个三角形dac 和 bac，gf和 de分别是 dac 和 bac的中位线， gf ac,de ac,所以 gfde;再看连接 bd分四边形成两个三角形 abd和 cbd, 同理，dg bd,ef bd,所以 dg ef, 由两组对

7、边分别平行的四边形是平行四边形可判断该中点四边形是平行四边形.教师： 很好！这位同学有不同的想法，并且讲得很好，他们的共性都是利用三角形的中位线性质定理来说明任意四边形的的中点四边形一定是平行四边形结论：任意四边形的的中点四边形一定是平行四边形（给出结论）教师：任意四边形的的中点四边形一定是平行四边形， 特殊四边形的中点四边形是什么形状的呢？请看探究二（二）探究二：任意四边形的中点四边形的形状是平行四边形，特殊四边形的中点四边形是什么形状的呢？是特殊的平行四边形吗？怎样特殊法呢？教师：请同学们首先回顾有哪些特殊的四边形？众生：梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形教师：同学们记得很全面.既然要研

8、究特殊的四边形，梯形就干脆研究特殊的梯形- 等腰梯形吧）教师：请同学们画出着5 种特殊四边形，为了节省时间，大家小组分工合作，请小组长分派任务，使你们组迅速画完这5 种特殊的四边形（等腰梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形）。学生：（纷纷画图）教师：（教师观察各小组画完之后）请大家画出这5 种特殊四边形的中点四边形ahdahdahdegegegbfcbccfbfahdahdegegbfcbfc（教师也在黑板上迅速的画出图形及它们的中点四边形）教师：请同学们观察图形，直观猜想各中点四边形的形状学生 4：我认为平行四边形的中点四边形是平行四边形，矩形的中点四边形是矩形，菱形的中点四边形是矩形， ，

9、正方形的中点四边形是正方形，等腰梯形的中点四边形是菱形.教师：确实从直观上看，如这位学生所得一样，你们能说出它们的道理吗？学生 1：因为任意四边形的中点四边形一定是平行四边形，所以平行四边形的中点四边形是平行四边形，就不用证了，因为任意四边形包含了一切特殊四边形.教师：这个同学很聪明， 用到了已证的结论：任意四边形的的中点四边形一定是平行四边形，来说明平行四边形中点四边形是平行四边形这一结论是成立的.那矩形的中点四边形为什么是菱形呢？学生 1：老师，还是运用结论任意四边形的中点四边形是平行四边形，现在只需证明矩形的中点四边形邻边相等就可以.教师：很好！真是聪明的孩子.那怎么证明邻边相等呢？学生

10、 1：连接矩形abcd 的对角线ac 和 db ,eh 是 abd的中位线，则eh=1/2bd ,同理gh=1/2ac ,又因为矩形abcd的对角线ac=bd ,所以eh=gh，邻边相等的的平行四边形是菱形，所以矩形的中点四边形是菱形.教师：说得很有道理，那菱形的中点四边形是什么形状的呢？谁来告诉我？学生 4：菱形的中点四边形是矩形教师：你能证明吗？学生 4：还是连接菱形的对角线ac 和 bd,在分成的两个三角形中，根据三角形的中位线性质定理， ehbd， ghac, 又因为菱形对角线ac bd, 所以 ，即 度，而任意四边形的中点四边形是平行四边形，所以菱形的中点四边形是矩形.教师：有道理，

11、菱形的中点四边形是矩形. 那正方形的中点四边形呢？学生 5：是正方形，因为正方形是特殊的菱形和矩形，所以中点四边形既是菱形的中点四边形矩形， 又是矩形的中点四边形菱形，既是矩形又是菱形，所以正方形的中点四边形是正方形 .教师：真是聪明的孩子， 在推理的过程中， 同学们一直用到了已证的结论， 来证明新的结论，譬如，在证明平行四边形的中点四边形是平行四边形时， 用到了任意四边形的中点四边形是平行四边形，所以平行四边形的中点四边形是平行四边形，等 . 的确，已证的结论用于证明新的结论的这种方法经常用在数学的学习中 . 等腰梯形的中点四边形是什么呢？学生 6：是菱形教师：为什么呢？学生 5：连接梯形

12、abcd的对角线 ac，根据已给条件和三角形中位线定理，hg=1/2ac,ef=1/2ac连接对角线 bd，同理 eh=1/2bd,fg=1/2bd又因为等腰梯形的对角线ac=bd，所以 ef=fg=gh=eh,所以四 efgh是菱形 .教师： 很好，我们已经完成了五种中点四边形形状的探究，知道了任意四边形和平行四边形的中点四边形是平行四边形，矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形，正方形的中点四边形是正方形，以及等腰梯形的中点四边形也是菱形，在证明过程通过连接原四边形的对角线， 利用三角形中位线定理，同学们想过没有，中点四边形的形状与原四边形的什么要素有关系呢？（三）探究三：中点四边

13、形的形状与原四边形的什么要素有关？学生 1：中点四边形的形状与原四边形的对角线有关系.教师：你为什么会认为与原四边形的对角线有关呢？学生 1：因为在探究中点四边形形状的过程中，一直连原四边形的对角线，所以我认为与原四边形德尔对角线有关.教师：同学们认为呢？众生：与对角线有关.教师：与对角线有什么样的关系呢？学生 1：我发现矩形和等腰梯形的中点四边形都是菱形，是因为矩形和等腰梯形的两对角线相等，所以我认为对角线相等，中点四边形是菱形；再看，菱形和正方形，它们的对角线互相垂直，所以中点四边形邻边垂直， 因此若是对角线位置上垂直， 中点四边形就是矩形，若既垂直又相等， 那么中点四边形就是正方形了，

14、要是既不垂直， 又不相等那就是平行四边形了 .教师： 说得非常好！ 从图形的直观到推理，我们已经知道中点四边形的形状与原四边形的对角线有关系 .结论：中点四边形的形状与原四边形的对角线数量和位置有关对角线相等，中点四边形为菱形;对角线垂直，中点四边形为矩形;对角线既垂直又相等，中点四边形为正方形;对角线既不垂直又不相等，中点四边形为平行四边形.（这三个探究一条线： 探究过程以问题串的形式呈现， 层层递进，从一般到特殊再到一般，整个过程让学生的思维得到了升华 ）三、巩固练习，综合提高1、填空任意四边形的中点四边形是（平行四边形）平行四边形的中点四边形是（平行四边形）矩形的中点四边形是（菱形）菱形

15、的中点四 形是（矩形）正方形的中点四 形是(正方形 )等腰梯形的中点四 形是(菱形 )直角梯形的中点四 形是(平行四 形 )梯形的中点四 形是(平行四 形 )2、四四四abcd四四ac=6， bd=8，且 ac四bd，abcda1 1 1 1a1 1 1 1a2四四四四四四四四四四四四四四四四四b c d 四四四四四四四四四 b c d四四四四四四四四四四bc d 四四四四四四四四四四a四b c d 。2 2 2n n n n四1四四四四四四四a b c d 四四四四1 1 1 1四2四四四四四四a1b1c1d1四四四四a2b2c2d2四四四四四3四四四四四四anbncndn四四四四四4四四四四四a b c d 四四四。5 5 5 53、 如 ，矩形abcd的 4， 3， 取三次中点后的最小四 形的面 多少？adbc（1 题是对中点四边形结论的直接应用，对所学知识的趁热打铁。利用三角形中位