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文档简介

1、高观点下代数知识对中学教学的启示及解题事物之间是有联系的，中学数学和高等数学也不例外 。看似复杂的中学题目背后往往用高等数学的一个定理就能很简单的解决，用高观点来看低问题往往就比较容易。就在近几年的中学数学改革中就出现了一些有着一定高等数学背景的知识的渗透,这类知识形式新颖,既能开阔学生的数学思维,有利于学生以后学习高等数学与初等数学的衔接。因此,在中学数学教学中应注意高等数学思想和知识的渗透,同时注意对学生这方面的能力培养,适当地对初等数学与高等数学的衔接处进行探究,这样有利于提高学生分析、解决问题的能力。下面我们就来看一个中学数学问题背后连接的高等数学定理。1、以高等数学的介值性定理（闭区

2、间上连续函数）解中学数学一道题介值性定理：设函数f（x）在闭区间 a , b 上连续,且f (a) f ( b) ,若为介于f (a) 与f ( b) 之间的任何实数(f (a) f ( b) 或f ( b) 1 时, 方程f( x) = 0 在内有两个实根。解析: (1) 函数f ( x) = x - ln ( x + m) , x ( - m , + )，则f（x） 定义域在x ( - m , + )上连续, 且f( x) =, 令f( x) = 0 ,得x = .当x ( - m , ) 时, f( x) f () ,当x (, + ) 时, f( x) 0 , f ( x) 为增函数,

3、 f ( x) f (1 - m) ,根据函数极值判别方法, f () = 1 - m为极小值,而且对x ( - m , + ) 都有f ( x) f () =1 - m.故当整数m 1 时, f ( x) 0。(2) 证明:由(1) 知,当整数m 1 时, f () = 1 时, f () 与f (1 - m) 异号,由所给定理知, 存在唯一的 ,使f ( ) = 0.另当整数m 1 时,f () =，另设，则0, 在上为增函数，有，则f () =，所以当整数m 1 时, 函数f ( x) = x -ln ( x + m) 在上为连续增函数且f () 与f () 异号,由所给定理知,存在唯一的,使f () = 0。故当m 1 时, 方程f ( x) = 0 在内有两个实根。2、以高等代数的拉格朗日中值定理解一道中学题拉格朗日中值定理：如果满足：在a,b连续；在（a,b）连续，则存在，使。推论： 如果在区间I上，则 如果在区间I上，在单增（减）。例2对任意满足， 都有.证明：设 拉格朗日中值定理的推论（1）得 上述例题我们都看到了题目背后有一个更深刻的思想指导这解题，初等数学与高等数学是紧密不可分割的。我们可以感受到高等数学对

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