5章习题答案(71p).ppt

1、,5.1矩阵的特征值与特征向量,一、填空题,1.矩阵,的非零特征值是_.,解:,特征值为:,应填 3 .,3,特征多项式为:,第五章 习题答案,2. n阶单位阵 I 的全部特征值为_.,特征向量为_.,解:,特征方程为:,特征值为:,将特征值 = 1代入( I I) x = ,可知任意n维非零,列向量都是n阶单位阵 I 的特征向量.,任意 n 维非零列向量,3. 已知三阶方阵 A 的三个特征值为-1 , 2 , 4 ,解:,根据方阵特征值的性质知:,征值,的特征值为,应填:6 , 3 , 11 .,6,3 , 11,若是可逆方阵A的特,若是可逆方阵A的特征值，,3. 已知三阶方阵 A 的三个特

2、征值为1 , 2 , 4 ,解:,由,式,相同的特征方程,因而有相同的特征值.,应填:1,2,4 .,1 , 2 , 4,由于三阶方阵A有三个特征值 : 1 , 2 , 4 ,故|A|= 1 24 = 8.,故应填:8 , 4 , 2 .,8 , 4, 2,4.已知A为二阶方阵,则A的特征值为_.,解:,设A的特征值为 ,对应的特征向量为x ,即有,由于,则有,又由于,只有,在等式两边左乘A得：,5.若2I-A不可逆,则A必有一个特征值为 ；,若A+3I不可逆，则A必有一个特征值为 。,解:,因为2I-A不可逆 ,则有,所以A必有特征值为：2,因为A+3I不可逆 ,则有,所以A必有特征值为：-

3、3.,6.若3阶方阵A的特征值为1,2,3，则 。,解:,若方阵A的特征值为1,2,3 ,7.若4阶方阵A的特征值为 ，则,。,解:,因为4阶方阵A的特征值为：,二、选择题,1. 设A是 n 阶矩阵,如果|A| = 0 ,则A的特征值( ).,(A) 全是零; (B) 全不是零;,(C) 至少有一个是零; (D)可以是任意数.,解:,所以A的特征值中至少,有一个是零.,故应选(C).,C,2.若 n 阶方阵A可逆,则A的特征值为( ).,(A) 全是零;,(B) 全不是零;,(C) 至少有一个是零;,(D) 可以是任意数.,解:,因为n阶方阵A可逆,所以 |A| 0.,因此A 所有特征值都不为

4、零.,故应选(B).,B,3. 设 = 2是可逆阵A的一个特征值,解:,若A可逆,若是矩阵A的特征值,B,则,故应选(B).,的一个特征值应,由于 = 2是可逆,阵A的一个特征值,为:,4、 若A为 n 阶方阵,则以下结论成立的是( ).,(A)A的特征向量即为方程组(A-I) = 的全部解向量;,(B)A的特征向量任一线性组合仍为A的特征向量;,(C)A与,有相同的特征向量;,(D) 若A可逆,则A的对应于特征值的特征向量也是,解:,由于方程组(A-I) = 的全部解向量包含零向量,而特征向量是非零向量,故选项(A)不正确.,D,由于A与,有相同的特征方程,不正确.,对于选项(D),同样,A

5、的特征向量任一线性组合也有可能是零向量,因此选项(B)也不正确.,有相同的特征值,但其特征向量不一定相同,故选项(C),当A是可逆阵时,其特征值必不,为零,故选项(D),的特征向量对应的特征值为,是正确的.,程,解:,5.下面的矩阵（ ）与矩阵A有相同特征值。,因而有相同的特征值,有相同的特征多项式,故选项(D)正确.,由于A与,有相同的特征方,而选项(A),(B),(C)对应的特征分别为,D,故选项(A),(B),(C)都不正确.,三、,1、,求下列矩阵的全部特征值及特征向量.,解:,解:,2、,解:,3、,四、设A三阶方阵,求B的特征值和特征向量.,解:,依题意有,B的特征方程为,B的特征

6、值为,将特征值,代入( I B) x = 有:,因此任何非零三维列向量都是B的特征向量.,五、设n阶矩阵A满足 ，证明：,（1）A的特征值只能为1或0.,证:,（1）设A对应于特征向量 x 的特征值为 ,则有,上式两边左乘A得:,则得：,证毕.,（2）A+I可逆.,（2）因为不是A 的特征值,则,所以A+I可逆.,六、假设 为n阶矩阵A的一个特征值 ，证明：,（1） 为 的特征值；,证:,设A对应于特征向量 x 的特征值为 ,则有,根据特征值定义得：,（2） 为A的伴随矩阵 的特征值；,（3） 为 的特征值；,（1）,在上式两边左乘 得:,根据特征值定义得：,（2）,（3）,设A对应于特征向量

7、 x 的特征值为 ,在上式两边左乘 A得:,根据特征值定义得：,七、假设A为n阶矩阵，试证齐次线性方程组,有非零解的充要条件是A有零特征值。,证:,必要性：,根据特征值定义得：,充分性：,八、设三阶矩阵A的特征值 为：,对应的特征向量依次为：,解:,（1）将 用 线性表示；,（2）求,（1）,把此方程组的增广矩阵作初等行变换得：,（2）,1.若四阶方阵A与B相似,方阵A的特征值为1,-2,3,-4 ,I为四阶单位阵,则|B + I | =_.,解:,A与B相似,A为四阶方阵且有四个特征值1,-2，3,-4,24,5.2 相似矩阵、矩阵的对角化,一、填空题,则B也有四个特征值1，-2,3,-4,

8、且与对角阵,相似.,2.设矩阵,已知矩阵A相似于矩阵B,则R (B I )=_.,1,解:,已知A B ,由相似关系的传递性知B C.,R (B I ) = R (CI ),所以应填1.,所以,1、 n 阶方阵A具有 n 个互不相同的特征值,是A与对角,阵相似的( ).,(A) 充分必要条件;,(B) 充分而非必要条件;,(C) 必要而非充分条件;,(D) 既非充分又非必要条件.,解:,n阶方阵A具有n个互不相同的特征值,则A必可化,为一个对角阵(即与对角阵相似).,但n 阶方阵A的n 个,特征值有若干相等时,A还是可化为一个对角阵,只要A具有n 个线性无关的特,故选项(B)正确.,征向量,B

9、,二、选择题,2、 n阶方阵A相似于对角阵的充要条件是A有n个( ).,(A) 相同的特征值;,(B) 互不相同的特征值;,(C) 线性无关的特征向量;,(D) 两两正交的特征向量.,解:,n阶方阵A具有n个互不相同的特征值,则A必与一,个对角阵相似.,但n阶方阵A的n个特征值有若干相等,时,A就与一个,只要A具有n个线性无关的特征向量,因此选项(C)正确,C,对角阵相似.,3. 设三阶矩阵A的特征值分别是0，-1,2，其,对应的特征向量分别为,解:,构成可逆矩阵P的特征列向量的排列要与对角阵,特征值的排列顺序相对应,故选项(A)是正确的.,A,4.若A , B都是 n 阶方阵,且A可逆,(C

10、) AB 相似于 BA;,(D) 三者中有一个不正确.,解:,根据相似矩阵的性质知:,选项(A)与(B)均正确.,则,D,A相似于B,则下列说法错误的是( ).,若A相似于B,对于选项(C),由于A可逆,这表明AB相似于BA,故选项(C)也是正确的.,由排除法应选(D).,三、判断下列矩阵是否相似,1、,解:,特征值为1, 2, 3 .,与,的特征方程为:,因为三个特征值互不相同，则,2、,解:,特征值为2, 2, 2 .,对应的特征向量为:,与,的特征方程为:,特征值,经计算知:,由于三阶方阵,的特征值对应的特征向量只有,一个,所以,不可对角化,因此,3、,解:,特征值为0, 3, 3 .,

11、对应的特征向量为:,与,的特征方程为:,特征值,经计算知:,特征值,对应的特征向量为:,线性无关,由于,所以,可对角化.,因此,四、判断下列方阵A能否对角化?,若能,则求P ,为对角阵.,1、,解:,2.,解:,3.,解:,五、设三阶方阵A的特征值为,它们对应的特征向量依次为,求矩阵A.,解:,由于,可以求得,所以,六、设矩阵A与矩阵B相似，且,解:,1、求,1、根据相似矩阵的性质，可得：,2、求可逆矩阵C，使得,解:,2、由（1）可知：矩阵A有特征值2和6,2、求可逆矩阵C，使得,解:,2、求可逆矩阵C，使得,*七、已知矩阵 的特征值有重,解:,根，判断矩阵A能否对角化，并说明理由。,矩阵A

12、的特征多项式为：,因为矩阵A的特征值有重根，则有,*八、设A为3阶矩阵， 是线性无关的3维,解:,列向量，且满足 ，,（3）求可逆矩阵P,使 为对角阵。,（1）求矩阵B使,（2）求矩阵A的特征值；,（1）,解:,（2）求矩阵A的特征值；,（2）,*八、设A为3阶矩阵， 是线性无关的3维,解:,列向量，且满足 ，,（3）求可逆矩阵P,使 为对角阵。,（3）提示：有可逆矩阵,5.3实对称矩的对角化,一、填空题,1、任一方的阵属于不同特征值的特征向量必_,实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是_ _.,线性无关,正交,2、 A为三阶实对称矩阵, = 3为矩阵A的三重特征值,则齐次线性方程组(3I-A)

13、 x = 的基础解系包含,_个解向量.,3,（填向量之间的关系）,解:,若A是n阶实对称矩阵,是A的特征方程的k重根,则特征矩阵I- A的秩为 R(I -A ) = n k,从而对应,于特征值恰有k个线性无关的解向量,齐次线性方程,组(I A) x = 的基础解系包含n r = n (n k) = k,本题中 = 3是3 阶实对称A的 3 重特征值,故齐次线性方程组(3I-A )x = 的基础解系包含3 个,个解向量.,解向量.,二.,解:,设,求正交矩阵P ,经计算:,经验证,再单位化:,正交矩阵为:,则有:,三、,解:,1）求,1）相似矩阵具有相同的特征值，则A的特征,解方程组得：,2）求正交矩阵P，使得,值为0，1，2，从而,2）、,其一个基础解系为：,此时：,其一个基础解系为：,其一个基础解系为：,单位化：,四、设,求,解:,A的特征多项式为,A的特征值为,经验证,为一正交向量组.,将,单位化:,则得正交矩阵,五、设A为n阶非零矩阵，若存