2013年全国高考理科数学试题分类汇编：概率与统计

1、2013年全国高考理科数学试题分类汇编11：概率与统计一、选择题 （2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（word版）某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为,若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是（）abcd【答案】b （2013年高考陕西卷（理）某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间481, 720的人数为（）a11b12c13d14【答案】b （2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯word版）某班级有50名

2、学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（）a这种抽样方法是一种分层抽样b这种抽样方法是一种系统抽样c这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差d该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数【答案】c （2013年高考湖南卷（理）某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是（）a抽签法b随机数法c系统抽样法d分层抽样法

3、【答案】d （2013年高考陕西卷（理）如图, 在矩形区域abcd的a, c两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ade和扇形区域cbf(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是（）abcd 【答案】a （2013年高考四川卷（理）节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（）abcd【答案】c （2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯

4、word版）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:40,50), 50,60), 60,70), 70,80), 80,90), 90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）a588b480c450d120【答案】b （2013年高考江西卷（理）总体有编号为01,02,19,20的20个个体组成。利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0

5、702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481（）a08b07c02d01【答案】d （2013年高考新课标1（理）为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是（）a简单随机抽样b按性别分层抽样c按学段分层抽样d系统抽样【答案】c （2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）以下茎叶图记录了甲.乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:

6、分)甲组乙组90921587424已知甲组数据的中位数为,乙组数据的平均数为,则的值分别为（）abcd【答案】c （2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯word版）已知离散型随机变量的分布列为 则的数学期望（）abcd【答案】a （2013年高考湖北卷（理）如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为,则的均值为（）abcd【答案】b 二、填空题（2013年高考上海卷（理）盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是_(结果用

7、最简分数表示)【答案】. （2013年高考湖北卷（理）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50到350度之间,频率分布直方图所示.(i)直方图中的值为_;(ii)在这些用户中,用电量落在区间内的户数为_.【答案】;70 （2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯word版含附加题）抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩(单位:环),结果如下:运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_.【答案】2 （2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯

8、word版）利用计算机产生01之间的均匀随机数a,则时间“”发生的概率为_【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯word版含答案）从个正整数中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于的概率为,则_.【答案】8 （2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（word版）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,在全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互相不相同,则样本数据中的最大值为_.【答案】10 （2013年高考上海卷（理）设非零常数d是等差数列的公差,随机变量等可能地取值,则方差【答

9、案】. （2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）在区间上随机取一个数,使得成立的概率为_.【答案】 （2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯word版含附加题）现在某类病毒记作,其中正整数,(,)可以任意选取,则都取到奇数的概率为_.【答案】.三、解答题（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯word版）某车间共有名工人,随机抽取名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. 第17题图() 根据茎叶图计算样本均值;() 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间名工人中有几名优

10、秀工人;() 从该车间名工人中,任取人,求恰有名优秀工人的概率.【答案】解:(1)由题意可知,样本均值 (2)样本6名个人中日加工零件个数大于样本均值的工人共有2名, 可以推断该车间12名工人中优秀工人的人数为: (3)从该车间12名工人中,任取2人有种方法, 而恰有1名优秀工人有 所求的概率为: （2013年高考北京卷（理）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.()求此人到达当日空气重度污染的概率;()设x是此人停留期间空气质量优良的天数,

11、求x的分布列与数学期望;()由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)【答案】解:设表示事件“此人于3月日到达该市”( =1,2,13). 根据题意, ,且. (i)设b为事件“此人到达当日空气重度污染”,则, 所以. (ii)由题意可知,x的所有可能取值为0,1,2,且 p(x=1)=p(a3a6a7a11)= p(a3)+p(a6)+p(a7)+p(a11)= , p(x=2)=p(a1a2a12a13)= p(a1)+p(a2)+p(a12)+p(a13)= , p(x=0)=1-p(x=1)-p(x=2)= , 所以x的分布列为: 故x的期望. (iii)从3

12、月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大. （2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯word版）某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中将可以获得2分;方案乙的中奖率为,中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为,求的概率;(2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?【答案】解:()由已知得:小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,两人中奖与否互不影响,

13、记“这2人的累计得分”的事件为a,则a事件的对立事件为“”, , 这两人的累计得分的概率为. ()设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为,都选择方案乙抽奖中奖的次数为,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 由已知:, , , 他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大. （2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案）一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). () 求取出的4张卡片

14、中, 含有编号为3的卡片的概率. () 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为x, 求随机变量x的分布列和数学期望. 【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）word版含答案（已校对）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为各局比赛的结果相互独立,第局甲当裁判.(i)求第局甲当裁判的概率;(ii)表示前局中乙当裁判的次数,求的数学期望.【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（word版）现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.

15、(i)求张同学至少取到1道乙类题的概率;(ii)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题的个数,求的分布列和数学期望.【答案】 （2013年高考陕西卷（理）在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手. () 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌

16、手的概率; () x表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求x的分布列和数学期望. 【答案】解:() 设事件a 表示:观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手. 观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙未选中3号歌手的概率为. 所以p(a) = . 因此,观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为 () x表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,则x可取0,1,2,3. 观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙选中3号歌手的概率为. 当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时,这时x=0,p(x = 0) = . 当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时,这时x=1,p(x = 1) = . 当观众

17、甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时,这时x=2,p(x = 2) = . 当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时,这时x=3,p(x =3) = . x的分布列如下表:x0123p 所以,数学期望 （2013年高考湖南卷（理）某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量y(单位:kg)与它的“相近”作物株数x之间的关系如下表所示:x1234y51484542这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(i)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好 “相近”

18、的概率;(ii)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.【答案】解: () 由图知,三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点. 从三角形上顶点按逆时针方向开始,分别有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1对格点,共8对格点恰好“相近”. 所以,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率 ()三角形共有15个格点. 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个,坐标分别为(4,0),(0,4). 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个,坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1). 与周围格点的距

19、离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个,坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0), (0,1,) ,(0,2),(0,3,). 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个,坐标分别为(1,1), (1,2), (2,1). 如下表所示:x1234y51484542频数2463概率p . （2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有个红球与个白球的袋中任意摸出个球,再从装有个蓝球与个白球的袋中任意摸出个球,根据摸出个球中红球与蓝球的个数,设一.二.三等奖如下:奖级摸出红.蓝球个数获奖金额

20、一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率;(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额的分布列与期望.【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯word版）设袋子中装有个红球,个黄球,个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球2分,取出蓝球得3分.(1)当时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量为取出此2球所得分数之和,.求分布列;(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球,记随机变量为取出此球所得分数.若,求【答案】解:()由已知得

21、到:当两次摸到的球分别是红红时,此时;当两次摸到的球分别是黄黄,红蓝,蓝红时,此时;当两次摸到的球分别是红黄,黄红时,此时;当两次摸到的球分别是黄蓝,蓝黄时,此时;当两次摸到的球分别是蓝蓝时,此时;所以的分布列是:23456p()由已知得到:有三种取值即1,2,3,所以的分布列是:123p所以:,所以. （2013年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯word版含答案）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出t该产品获利润元,未售出的产品,每t亏损元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了t该农产品,以(单位:t,)表示下

22、一个销售季度内的市场需求量,(单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润.()将表示为的函数;()根据直方图估计利润不少于57000元的概率;()在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若,则取,且的概率等于需求量落入的概率),求利润的数学期望.【答案】 （2013年高考江西卷（理）小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以o为起点,再从(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为.若就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.(1)求小波参加学校合唱团的概率;

23、(2)求的分布列和数学期望.【答案】解:(1)从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有种,时,两向量夹角为直角共有8种情形;所以小波参加学校合唱团的概率为. (2)两向量数量积的所有可能取值为时,有两种情形;时,有8种情形;时,有10种情形.所以的分布列为: . （2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是,假设各局比赛结果相互独立.()分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率;()若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若

24、比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分的分布列及数学期望.【答案】解:()记“甲队以3:0胜利”为事件,“甲队以3:1胜利”为事件,“甲队以3:2胜利”为事件,由题意,各局比赛结果相互独立, 故, , 所以,甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率分别是,; ()设“乙队以3:2胜利”为事件,由题意,各局比赛结果相互独立,所以 由题意,随机变量的所有可能的取值为0,1,2,3,根据事件的互斥性得 , , , 故的分布列为0123所以 （2013年高考湖北卷（理）假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为.(i)求的

25、值;(参考数据:若,有,.)(ii)某客运公司用.两种型号的车辆承担甲.乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次,.两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求型车不多于型车7辆.若每天要以不小于的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的运营成本最小,那么应配备型车.型车各多少辆?【答案】解:(i) (ii)设配备型车辆,型车辆,运营成本为元,由已知条件得 ,而 作出可行域,得到最优解. 所以配备型车5辆,型车12辆可使运营成本最小. （2013年高考新课标1（理）一批产品需要进行质量

26、检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为x(单位:元),求x的分布列及数学期望.【答案】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件a,第一次取出的4件产品中全为优质品为事件b,第二次取出的4件产品都是优质品为事件c,第二次取出的1件产品是优质品为事件d,这批产品通过检验为事件e,根据题意有e=(ab)(cd),且ab与cd互斥, p(e)=p(ab)+p(cd)=p(a)p(b|a)+p(c)p(d|c)=+= ()x的可能取值为400,500,800,并且 p(x=400)=1-=,p(x=500)=,p(x=800)=, x的分布列为x400500800p ex=400+500+800=506.25 （201