抛物线的定义及其标准方程教案(公开课必用)

1、 北京市垂杨柳中学特级教师进校园指导活动研究课教学方案（2015.11.16 周一） 课 题：抛物线及其标准方程 突破重点：抛物线的定义及其标准方程。通过学生自主建系和对方程的讨论选择。 授课教师： 授课班级：北京市垂杨柳中学教案课 题2.4.1抛物线及其标准方程授课日期2015 年11 月16 日第 1 课时课程标准解读经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程。掌握抛物线的定义及其标准方程在考试说明中的地位C级要求北京（中）高考试题的呈现选择题、填空题学情分析学生情况：这个班是理科班，学生具有良好的学习态度，但知识基础较弱已有认知：熟悉二次函数图象，学习过圆锥曲线中的圆、椭圆与双曲线。可能障碍

2、：学生抽象概括能力及建立坐标系过程。抛物线四种形式的掌握。由几何图形得出抛物线方程的过程。教学目标（知识与技能、过程与方法、情感态度价值观）1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程；使用抛物线的定义求抛物线的标准方程，焦点坐标，准线方程。通过对抛物线生成的探究及定义的概括，体验分析与概括的过程。2.通过四种不同形式标准方程的对比，体会分析与归纳。 经历求抛物线标准方程的过程通过抛物线的定义及其标准方程的学习，进一步体会数形结合的思想, 养成利用数形结合解决问题的习惯。3.通过不同的建立坐标系求抛物线方程的方法，体会数学的简捷美、和谐美。教学重点抛物线的定义及其标准方程。通过学生自主建系和对方程

3、的讨论选择。教学难点抛物线概念的形成与建构教学方法 学案导学法教 具PPT，学案授课类型新授课板书设计2.4.1 抛物线的定义及其标准方程一、抛物线的定义 二、抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程文字： 符号：教学过程环节教师行为（活动）学生行为（活动）设计意图一、设置情境，引入新课（二）引导探究，获得新知（三）深入探索，推导方程（四）指导应用，鼓励创新引导学生思考：求过点和直线相切的圆的圆心轨迹方程，并思考圆心的轨迹是什么图形？它满足的几何特征是什么？引导：因为圆的半径是定值所以有：学生过程：设圆心 M(x,y)，有化简得：师：今天我们所要研究的仍是抛物线，及其标准方程提问：回顾这道

4、题目，解决这道题的关键是什么？提问：从中可以提炼出点M具有怎样的几何特点？提问：在平面中，只给出定点F和定直线l，请你画出符合上述几何特点的点M 实验：师生动手操作或PPT演示提问：拖动点C，动点M形成的轨迹则为抛物线，那么请同学们给出抛物线的定义。分析：这里追问：有需要补充的么 提问： “点在直线上”时满足条件的轨迹是什么? （学生作图发现是过点F的直线l的垂线）归纳定义：平面内到一个定点和到一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做拋物线。（注意:定点不能在定直线上。）设动点M到定直线的距离为符号语言：抛物线的相关概念：定点叫做拋物线的焦点，定直线叫做拋物线的准线。焦点到准线的距离为定值，设为p（

5、p0）叫焦准距提问：类比椭圆与双曲线在研究定义之后，接下来要研究什么问题呢？以下是学生的几种不同求法：（强调建设现代化验的步骤以及强化对限这一步的认识）解法一：以l为y轴，过点F垂直于l的直线为x轴建立直角坐标系（如右图所示），则定点F（p,0) l:x=0设动点M（x,y)，由抛物线定义得：解法二：以定点F为原点，过点F垂直于l的直线为x轴建立直角坐标系（如右图所示），则定点F（0，0），l的方程为x=-p.设动点M（x,y)，由抛物线定义得：解法三：取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，如右图所示，则有F（,0）,l的方程为x=-

6、.设动点M（x,y），由抛物线定义得：提问：比较三种情况下的方程，你认为哪一种比较好？提问：为什么？提问：我们在研究椭圆，双曲线时知道他们的标准方程有两种形式，这是为什么呢？请同学们由此猜想抛物线还有那些类型。 学生在猜想的基础上完成P66探究表格焦点在y轴正半轴（类比椭圆方程标准方程的两种形式，交换x,y。或者图像关于x=y对称。）焦点在x轴负半轴（和图象关于轴对称，将替换就行，就是）焦点在y轴负半轴（和图象关于轴对称，将替换就行，就是）标准方程图形焦点坐标准线方程3、形成知识：多媒体显示表格提问：标准方程有何特点？提问：请同学们思考如何根据标准方程确定抛物线的焦点位置及开口方向？ 提问：请

7、同学们思考如何根据标准方程确定抛物线的焦点坐标及准线方程？ 例题1：已知拋物线的标准方程是，现在请你们说出它的焦点坐标和准线方程。变式：已知拋物线方程是，请说出它的焦点坐标和准线方程。总结：我们在求抛物线焦点或准线方程时，要先把方程化为标准方程例题2：已知抛物线的焦点是F（0，-2），求它的标准方程。变式：已知准线方程是x=-2, 求它的标准方程。(备选)变式：焦点到准线的距离是4，求它的标准方程。（选作）如图，在玩游戏“疯狂的小鸟”时，测得小鸟投掷的轨迹是抛物线，抛物线最高点离底面距离为，猪窝高为，猪窝顶的中心离最高点的水平距离为，怎么求投中时抛物线的方程？提示：这是一道实际生活问题！如何将

8、这个问题转化成数学问题呢？（建立直角坐标系！）那如何建立直角坐标系？（以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图坐标系，这样抛物线就在轴下方，直接设，又，则，方程就是！）总结：知一点则可求抛物线方程。（五）小结概括，深化认识提问：回顾圆锥曲线这一章知识的构建过程生：探究图像，概括定义课前完成，课上讨论回答：轨迹方程是初中学的二次函数的形式。圆心轨迹是初中所学的抛物线生：过定点且与定直线相切生：点M与定点和定直线距离相等。生：第一步：过点C作CMl，第二步：做线段FC的垂直平分线第三步：FC交CM于点M学生回答：抛物线是到定点和到定直线的距离相等的点的轨迹。生：加平面内生：加定点不在定直线上生：抛物线

9、的方程学生回顾：求曲线方程的步骤（建系、设点、限制条件、代入坐标、化简、验证）；分组讨论：生首先建立适当的坐标系，以抛物线开口向右为例，我们怎样建立适当的坐标系去求抛物线的方程?请同学们画一下找出简单的方案。方案1：以直线为Y轴，过点F垂直于的直线为X轴建系。方案2：以定点F为原点，过点F垂直于的直线为X轴建系。方案3：取过焦点F且垂直于准线的直线为X轴，X轴与交于点K，以线段KF的垂直平分线为Y轴建系。现在大家自己求抛物线方程，根据抛物线定义，知道F是定点，l是定直线，从而F到l的距离为定值，设为p，则p是大于0的数生：第三种生：解法的答案最简洁这种方程形式简洁美观，我们把这个方程叫做抛物线

10、的标准方程，它表示抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是，准线方程是. 生：等号左边二次项，右边一次项生：标准方程右边变量是x,焦点就在x轴，变量是y，焦点就在y轴；标准方程的右边符号是正，开口向正半轴。符号是负，开口向负半轴。解：（焦点坐标是（），准线方程是。）（应该先变成再求，焦点坐标是，准线是。）从初中已有的经验出发，让学生产生认知冲突的同时初步体会初高中抛物线的联系和区别激发学习兴趣。强调“在操作中促进学习”，体现数学实验在学习数学中的应用价值，同时激发学生学习计算机知识的兴趣着重培养学生分析、归纳等能力通过有启发性的活动设计和层层深入的问题设置，使学生在分析、探究、反思和归纳中，不断获得解决问题的方法。引导学生透过现象看本质，不断提升分析、总结与归纳等能力，也为分析例题和解决实际应用问题奠定理论基础。【设计意图】巩固四种方程的形式及曲线特征，熟悉相关公式。强调解决抛物线方程问题时要先转化为标准方程。