[硕士论文精品]关于公平的竞赛评卷系统的研究

第1页共19页关于公平的竞赛评卷系统的研究摘要数学建模竞赛吸引了众多的大学生、研究生甚至中学生的参与，越来越多的人开始关注竞赛评卷的公平性。一套好的竞赛评卷系统不仅可以增加参与者的积极性，更重要是的能够扩大数学教育在整个社会的影响。本文通过对答卷编号进行加密、对试卷合理分配和对评委评分一致性进行检验，并对出现的“不公平”进行调整来保证竞赛评卷系统的公平性。对于答卷的编号的加密，引入了一个加密矩阵加密矩阵加密矩阵加密矩阵来实现对答卷编号进行加密，只要将密文乘以加密矩阵的逆就能实现解密。由于只引入了一个加密矩阵且其可以随机选取，所以这种方法简单、灵活、可随意变换。保密性方面采用数学家香农（CLAUDEESHANON）创立的信息论信息论信息论信息论对加密方法进行分析，经过分析表明保密性很好。答卷的分配过程中，将答卷的分配转化为对评委的分配，利用01整数规划整数规划整数规划整数规划和加权加权加权加权的方法建立数学模型。通过此数学模型对评委进行分配，既实现了回避本校答卷又实现了出错率极小和阅卷速度最快。采用夏皮罗一威尔克夏皮罗一威尔克夏皮罗一威尔克夏皮罗一威尔克SHAPIROWILKTEST）检验法对评分一致性进行检验，并利用此检验法对每个评委的公平性进行评价。为了验证其可行性，给出了具体的模拟数据进行分析和运算，达到了较好的效果。由于每个评委看待问题的角度不同，个人观念也有差异，所以不同评委对同一份答卷评的分数有高有低，可能出现“不公平”及尺度偏差等问题。在处理这些数据时，充分考虑了评委的差异，给评委打的分数乘上一个系数，构造出了最终的分数调整计算公式，根据实际情况，利用回归方程回归方程回归方程回归方程和最小二乘法最小二乘法最小二乘法最小二乘法确定系数的大小。通过构造具体的例子说明此方法确实可行。对于评卷中采用等级制，我们认为其优于百分制。与百分制相比他明显具有以下几个优点1降低了分数的区分度，减轻多数参赛者的心理压力；2有利于激发参赛者的学习兴趣；3便于评委评定试卷。关键词加密矩阵01整数规划加权夏皮罗威尔克检验法回归方程第2页共19页一、问题的重述数学建模竞赛吸引了众多的大学生、研究生甚至中学生的参与，越来越多的人关心竞赛评卷的公平性。现今大多数的评卷工作是这样进行的先将答卷编成密号，评委由各参赛学校（2050所）派出，按不同的题目分成几个题组，每个题组由M个评委组成，评阅N份答卷，每份答卷经L个评委评阅，评委对每份答卷给出等级分（A，A，A，B，B，B，C，C，C，D），如果L个评委给出的分数基本一致，就给出这份答卷的平均分，否则需讨论以达成一致（其中M510，N60200，L35）。现在需要你解决如下问题1有A,B,C,D四个题目，P（PM）所学校参赛，给出一种答卷编号加密和解密的数学公式方法（其中题号为明号）；要求方法简单易算、可随意变换且保密性能好；对你的方法给出分析。2每个题组的M个评委来自不同学校，给出一种评阅答卷分配的数学公式方法，要求回避本校答卷，并且每个评委评阅的答卷尽可能广泛，并满足某些特殊的要求。3给出评分一致性或公正性的检验方法，该方法要求对每个评委的公平性给出评价（某评委分数普遍给的偏高或低属于尺度偏差，不应算作不公平，可在下面的问题中调整）。4给出最终的分数调整计算公式。该公式要处理那些可能出现的“不公平”，及尺度偏差。对可能出现的“不公平”构造例子，说明你的方法。5对评卷中的其他问题（如采用百分制还是等级分，一份答卷由几个评委评阅可以满足既经济又公平，等等）提出你的看法和根据。6假定有35所学校298个参赛队参赛，数据如附表。其中数字前两位代表学校，甲组选做A，B题；乙组选做C，D题；25名评委所属的学校编号为117，20，21，22，24，26，28，29，30。每份试卷经四位评委评阅，编号为15，22的只容许评C，D题，编号为26的只容许评A，B题，编号为1，4，6，12，16的评委要求评A题，编号为2，5，7，10的评委要求评B题；编号为24的评委要求评C题，编号为29的评委要求评D题。其余按所在学校的甲、乙组别及个人的要求安排。要求对问题1，2给出具体的算法及结果。对问题3，4，5给出模拟数据再进行分析和运算。二、符号的约定第3页共19页V加密前的试卷序号E加密后的试卷序号Q加密矩阵IV第I位评委的阅卷速度1F总的阅卷出错率2F总的阅卷速度NIC,测定值的数目N及测定值次序I有关的系数I偏离度，即为每个评委的公平度IX第I位评委所给出的分数IX调整后的分数K调整系数三、合理的假设1假设每所学校最多派出一名评委2为了便于文章的统计和分析，假设评阅过程采用十分制，（A，A，A，B，B，B，C，C，C，D）分别由数字101表示。四、问题的分析与建模问题一的分析与建模本题的要求是给出一种方法简单易算、可随意变换且保密性能好答卷编号加密和解密的数学公式方法（其中题号为明号）。经过认真分析我们认为题意就是要将答卷序号进行加密和解密，于是我们引入了一个加密矩阵来对答卷编号进行加密，并通过加密矩阵的逆来实现解密。其加密解密的具体步骤如下第4页共19页给定一个N阶方阵Q，Q的元素取整数，且M的元素也必须为整数，Q称为加密矩阵因子，1Q称为解密矩阵因子，设答卷编号为明文向量QNRRR21，则答卷编号密码为密文向量ENBBB21对明文向量进行矩阵加密的算法1对明文向量以N个元素为一组进行分组；最后一组不够N个元素用1个特殊数字补足2依次取上述的1个分组，进行EVMMODK矩阵运算。3将E中的元素转化为1K中的数字，即NBBB21NDDD21MODK，其中1IDK，I1，2,，N4于是我们就可以得到一组密文向量ENBBB21即给定一个加密矩阵QNNNNNNAAAAAAAAA,212222111211，设明文向量VNRRR21，由EVMMODKNBBB21（1）可得到密文向量。由密文解向量得到明文向量的算法1密文以N个元素为一组进行分组2依次取上述一个分组，进行VE1M矩阵运算3将V的元素转化为1K中的数字，即NRRR21NWWW21MODK，其中1IWK，IL，2,N4于是便得到明文向量VNRRR21即先求出ENBBB21，再求出矩阵M的逆矩阵1Q，于是第5页共19页QE1QNRRR21MODK（2）则密码被解密。问题二的分析与建模竞赛评卷系统中每个题组的M个评委来自不同的学校，要求回避本校答卷，并且每个评委评阅的答卷尽可能广泛的答卷分配的优化问题可转化为对评卷人进行合理分配评阅试卷来满足上述要求，并达到既公平又经济等要求。对评卷人进行合理分配的具体描述如下每个题组有N份试卷，由M个评委评阅。对于阅卷人I，其阅卷速度为IV，阅卷一致率为IP0（11）第7页共19页设1W和2W。分别为目标1F和2F的权重，取两个目标的模糊满意度的加权和为新的目标函数，即MAX221121FWFWFFF（12）用式X替代原来的目标函数2和3，将原问题化为单目标的非线性01整数规划问题问题三的分析与建模公正性检验在分析评分一致性时，我们先假定评委所给出的分数所属总体服从正态分布，因此可以采用夏皮罗一威尔克夏皮罗一威尔克夏皮罗一威尔克夏皮罗一威尔克SHAPIROWILKTEST）检验法对其检验，检验时使用统计量，21211,XXXXCWNIINIIINNI（13）式中I是将测定值由小到大顺序排列的序次，NIIXNX11。当N为偶数时，NIC,是与测定值的数目N及测定值次序I有关的系数W与样本值的分布有关，其值在0，1之间如果所作“样本值来自正态总体”的统计假设是正确的，样本值的分布应近似对称的，这时W值应接近于1；反之，如果样本值不是来自正态总体，则样本值分布是不对称的W越偏离于1W值小于1，样本值分布偏离正态性越远，不对称性越大；W值越接近于1，表示样本值分布的正态性越好当由实验值根据式计算的W值不小于临界值NAW,时，就认为样本值的实际分布与所作“样本值来自正态总体”的假设没有矛盾，接受统计假设；反之，若计算的W值小于临界NAW,值，则认为事先所作的统计假设同实际情况有显著矛盾，应否定原来的统计假设，换言之，样本值不遵从正态分布第8页共19页检验的步骤如下1将测定值由小到大顺序排队2根据样本容量的大小，即测定值的数目，由夏皮罗威尔克检验系数表中查出相应于不同I时的NIC,值。3计算W值，并将其与临界NAW,比较，若WNAW,，则认为样本值来自非正态总体评价评委公平性W越偏离于1W值小于1，样本值分布偏离正态性越远，不对称性越大，认为该份试卷评阅时出现尺度偏差。我们认为比赛结果所得的数据应该是评价裁判水平的主要依据。因此先找出该份试卷的所有评分IX，将他们与NIIXNX11比较，偏离程度XXII（14）即为每个评委的公平度，I越接近1说明评委越公平。对于明显偏离1的I，我们将其对应的IX去除，再求其它（I1）份试卷的平均评分X。然后利用（14）就可以得到更真实的评价数据。问题四的分析和建模由于每个评委看待问题的角度不同，个人观念也有差异，所以不同评委对同一份答卷评的分数有高有低，可能出现“不公平”及尺度偏差等问题。在处理这些数据时必须考虑评委观念的差异，给每个评委打的分数乘上一个系数，如果某位评委打的分数过高，乘以较小的系数折成客观分数；如果某位评委打的分数过底，乘以较大的系数折成客观分数。这样一个选手的成绩等于各个裁判给他分数的线性组合以下就是对上述各种“不公平”现象调整的公式INIIIIXKXKXKXKXN332211（15）上式中的系数NKK1的值可用回归方程和最小二乘法来确定。五、模型求解模型一求解对于问题一的加密的安全性问题我们采用数学家香农（CLAUDEESHANON）创立的信信信信息论息论息论息论对问题一的加密方法进行分析，他用严格的数学方法证明了这么一个结论一切密码算法，除了一次一密以外，在理论上都是可以破解的。这些密码算法，包括现在的和过去的，已知的和未知的，不管它多么复杂、多么先进，只要有足够强大的计算机，有第9页共19页足够多的密文，一定可以破译。因此我们只能用相对安全的方法分析问题一的加密方法的安全性。数学建模试卷的评阅一般在较短的时间内，在一个相对封闭的区域里进行。这种加密方法虽然在理论上可以破译，但是在实践中缺少了计算机想在短时间内破译几乎是不可能的。这样就显示出了其在实际应用中的作用。题一用的加密方法对于操作人来说非常简单，只要定义一个加密矩阵，就能在短时间内用计算机生成所要的密码。解密过程就是加密过程的逆运算；这个方法适应性也很强，不同的加密矩阵能得到不同的密码，加密矩阵也可以随着明文向量不同而改变。用上面的加密方法，对题中的试卷编号进行加密。首先，我们将试卷编号定义成一个298行，4列的明文向量R1053,20101010。并随机选取一个4行4列的加密矩阵2754168385373421Q，于是密文向量为9MODBRC利用MATLAB计算上式，得到附表的密文向量表1表1加密数据序号选题密码序号选题密码序号选题密码0101A28310201A02800507A05200102B64130202B47620508A41020103B10850203A83440509B86740104A55670204B38260510B25450105A01400205B74080511A61270106B46220206B20710512C16000107B82040207A65530513C52720108A37760208A11350514D07540109B73580301A75480515D43360110B12200302B21210601B15150111A57020303A66030602A51870112B03740304B12750603B06600113A48560305A57570604A42420114B84380306B03300605B87240115A30110401A58070606A33060116B75830402B04700607B7878第10页共19页0117A21650403A40520608A24510118A66470404A85340609A60330119B12200405A31160610A08040120B41810406B76880701B88640121A86630407B22610702B34460122B32450408A67430703A70280123B77270409B13250704B25010124B23000410A42860705A61730125B68720501B32560706A16550126A14540502A77380707A52370127A50360503B23110708B07100128B05180504A68830709B43820129B41810505A14650710A72530130A70520506A50470711A2735序号选题密码序号选题密码序号选题密码0801A62231001B57251301A87820802B17051002A03071302A33640803B53771003B48701303A78460804A08501004A84521304A24280805B44321005A30341305B60010806B80141006B75161306B15730807B35861007B21881307A51550808B71681008A66611308B06370809A26411009B12431309B42100810A55121010B41141310B71710811B01841101B31741311B26530812B46661102B76561312A62350813A82481103A22381313A17170814A37211104A67111314B53800815B73031105B13831315B08620816B28751106B58651401A61410817A64571107A42471402A16230818B10301108A40201403B52050819B55121109B85021404B07770820B84731110B24631405A43500901B45721201A14331406B88320902A81541202B50151407B3414第11页共19页0903A36361203B05871408B70860904B72181204B41601409B25680905B27811205B86421410A54300906A63631206A32241411A00120907A18451207A77061412D45840908A54271208B23781413C81660909A00001209B68511414C36480910B38611210A07221415D7221序号选题密码V序号选题密码序号选题密码1501A44002001C60682401C73841502B80722002C15412402D28661503B35542003D51232403C64481504A71362004D06052404D10211505B26182005D42772405D55031601B27582006C87502406D01751602B63312007D33322407C46571603B18132101C43272501C56431604A54852102D88002502D02251605A00672103D34722503C47071606B45402104C70542504C83701607B81222105D25362505D38521701A01172106D61182506C74341702A46802107D16812601C30021703A82622108D52632602D75741704A37442201C26762603D21561708B10532202C62582604D66381709B55352203C17312605D12111710A84062204D53132606C57831801B74662205D08852607C03651802B20482206C44672608C48471803B65212207C80402701D13511804B11032208C35222702C58331805A56752209D71042703D04151806A02572210C10652704C40871807B47302301D00352705D8560第12页共19页1808B83122302C45172706C31421901A57252303D81802801C86101902B03072304C36622802D32821903A48702305C72442803D77642804C23462908C78143201C38202805C68283001D72123202D74022806D14013002C27843301C12782901C60683003C63663302D57512902D15413004D18483303C03332903C50233005D54213401C85372904D06053101C55613402D31102905D42773102C01433501C68862906D87503103C46252907C33323104D8207模型二求解由于问题目标2F是非解析的，于是采用遗传算法求解。为避免复杂的约束处理问题，遗传算法采用顺序编码即令ZMLNLLLZZZZZZ,1211LLLL（16）第1组第2组第N组其中IZK为1到M之间的整数，且不存在JIZZ，所有I,J即是1到M的M个自然数的任意顺序IZ表示评阅人K排在位置I前L个位置上的评阅人组成第1组，以后每L个位置上的评阅人组成一个组，共评阅N份试卷。阅卷一致率为IP0IA1接近于1于是，我们可以得到下表2表2建模答卷的分配A题的具体分配方案1号3号4号6号9号12号16号17号020301010104010401010101010101050207010401050111010401080108010803010105011501150105011101110113030301180121012701080113011301150305020102010130011101170115011704010203020302010113180601170118第13页共19页040302070207020301170121011801210404040103010207012601260121012605020403030303010208012701260127050404040305030303030130012701300505050205020305030502010130020806020504050404010401020802080405060405050505040304030405030104080606060206020404040404080405041007030604060405041806041004080506070506060606050504080502041005070706070307030703041005060506050808010705070507050506050705070511080407060706070605070508050806080809080108010801050805110511060909020804080408040511060806080610090308090809080906020609060907070906090209020902060406100610071010020903090309030606070707070711100409060906090606080710071008101005100210021002060907110711081311031003100410040610081008100814110410041005100507070813081308171107100511031103071008140814090712011104110411040711081708170907120611071107110708100907090709081207120112011201081309080908090913011206120612060814090909081008130212071207120708171008090911081303130113011301100811031008121014011302130213021108110811081304140213031303130312101210121013071501140114011401130413041304131215041402140214021307130713071313160415011501150113121312131214051605150415041504131313131313141017011604160416041405140514051411170216051701160514101410141016051710170117021701141114111411170318051702180517021703170317031704180618051181805170417041704171019011806190140517101710190319031901190119031903B题的具体分配方案第14页共19页2号5号7号8号10号11号13号14号26号010201020102010201020112011201190116010301030103010301040114011401200122010601060106010601060116011601220124010701070107010701190119011901230125010901090109010901200120012001240128011001100110011001220122012201250129030202020202011201240123012301280205030402040204011401250125012401290206040203020302020201280128012902050306040603040304020402020129020502060409050104020402030202040205020603060509050304060406030403060206030604070510060106010501040204070407040704090605060306030503040605010409040905090607070107010601050105030509050905100708070207020603050306050510051006050709080208020802060107010605060706070811080308030803060307020704070407040812080508050805070107040708070907080815080608060806070207080709080807090816080708070807090108020808081108080818090109010901090408030811081208120819090409040904100108050812081508150820100110011001100308060815081608160905100310031003100608070816081808180910100610061006110108070818081908191007110111011101110208080819082008201009110211021102110508110820091009051010110511051105120209050905100709101106120212021202120311060910100910071109120312031203120411091007101010091110120412041204130511101009110610101205130513051305130612051010110911061208130613061306130812081205111011091209第15页共19页1308130813081309120912081205111013101309130913091403131013101209120813111403140314031404131113111407120913141404140414041406131413141408131013151406140614061502131513151409131114071502150215021503140714071505131414081503150315031601140814091603131514091601160116011602140814091606150515051602160216021708150516031607160316061701170817081801160316071709160616071801180118011802160617091804160717091802180318021803170918041807180418071803180518031902180418081808180718081902190219021808C、D题的具体分配方案15号21号24号28号20号22号29号30号0512051205120512051405140514051405130513051305130515051505150515141314131413141314121412141214121414141414141414141514151415141520012001200120012003200320032003200220022002200221012004200420042004200520062006210220052005200520062006210120072103200720072007210122012104210121042102210221022104220222012104210521032103210322012203220222012106210521052105220222052203220221072106210621062203220622062203210821072107210722042207220722062204210821082108220622082208220922052301220422042207221022102302220923032205220522082302230223042301240122092207221023042304230523032402230122082302230523052401240224032303220923042401250124032404240424022210230524032503240724052405240423012401240725042501240624062405230324032501250625032502240724062402第16页共19页24072503260125042505250225022404250125042606250626022505250524052503250626072601260326022602240625042601260826062604260326032502250626062702260726052604260425052601260727042608270126052605260226062608270627022703270127012603260727022801270427052703270326042608270428042706280227052705260527022706280528012803280228022701270428012901290128062803280327032706280429032903290228062806270528012805290729052904290230012802280429012908290629052904300428032805290230022907290629053005280429012903300329083001290631042805290329043101300230043001320228062907290731023003300530033302290229082908310330053103300434022904300130023201310131043005290530023004330131023201310129063003310233033103320231043104310131033401320133013202320231023201350133013302330233023303330133033402340234023401330334013501350134013501模型三的求解为了分析和验证问题三的模型，我们采用专家评判法，给出了由4位评委评阅8份数学建模答卷的分数。如表3表3专家评判法所得的每份答卷的分数评委答卷1234567813826847792677358242247973896975603491982699072696443227805087707157先假定上表中评委所给出的分数所属总体服从正态分布，由夏皮罗一威尔克检验法第17页共19页公式（11），利用表4夏皮罗威尔克检检验检验系数，即可计算出表5表4夏皮罗威尔克检检验检验系数表I12348,NCI05475033250518600303表5夏皮罗威尔克检检验统计量WI12345678NW0972209153091170800309342093900955509603表6夏皮罗威尔克检验临界NAW,N0100050014089510873408318比较NW和表5中NAW,可知除第4份试卷以外，其它的NW值都大于NAW,，认为答卷分数的实际分布与所作“样本值来自正态总体”的假设没有矛盾，接受统计假设，所以除4号答卷以外，其它几份试卷的评阅是一致的。评委公平性评价为了对每个评委的公平性进行评价，我们选用4号答卷所给的分数来进行分析。平均数7364/05963777X1736771XX114；2736372XX108；3736963XX103；4736054XX074显然，4偏离1较远，于是，去掉分数4X，再利用（14）公式求得1105；21；3094；4068由此可以看出前三位评委都比较公平，之所以4号试卷4,4AWW，出现不公平现象，是由于评委4给出的分数相对较低。模型四的求解对于上述有专家评判法给出的数据，由模型三检验后第四份试卷出现“不公平”现象。利用调整公式（15）对评委所给分数进行调整。根据实际情况，利用回归方程和最小二乘法详细见文献5得回归方程第18页共19页44434241403580224106123012770XXXXX验证上式中的各回归系数之和等于09999，基本满足约束统计411KK，计算误差很小。由上式可计算出答卷4的最后得分，在计算4W092904,AW，所以经过调整以后分数变得相对公平，同时也验证了模型四的可行性。问题五的分析对于评卷中采用百分制好还是等级制好，通过对比百分制和等级制的优缺点，我们认为采用等级制由于百分制。具体分析如下百分制的优