苏教版高中数学必修4第三章-三角恒等变换教案

苏教版高中数学必修4第三章教案【精美整理版】第三章三角恒等变换第三章三角恒等变换131两角和与差的三角函数2第1课时2第2课时7第3课时12复习课11832二倍角的三角函数23第1课时23第2课时2833几个三角恒等式33复习课238本站资源汇总优秀资源，值得收藏43第三章三角恒等变换【学习导航】1本章利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式；二倍角的正弦、余弦、正切公式等，以及运用这些公式进行简单的恒等变换。2三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。三角恒等变换公式反映了角的相加、相减、二倍角运算引起三角函数值变化的规律，是研究三角函数性质及其应用的一种工具。学习和应用三角恒等变换，有利于发展推理能力和运算能力。3、三角恒等变换具有几何和物理的应用背景。以向量为桥梁将三角恒等变换的算式与直观的几何图形相互沟通和转化，有助于学习和应用三角恒等变换，还能提高学习数学的兴趣，体会数学是一个有机联系的整体，而不是各不相关的内容的堆积。知识结构TAN（）TAN1TAN（）TCOS（）COSCOSSINSINCOS（）COSCOSSINSINSIN（）SINCOSCOSSINSIN（）SINCOSCOSSINSIN22SINCOSCOS2COS2SIN22COS2112SIN2TAN2TAN1T学习要求1了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3运用上述公式进行简单的恒等变换，推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用。31两角和与差的三角函数第1课时【学习导航】学习要求1、理解向量法推导两角和与差的余弦公式，并能初步运用解决具体问题；2、应用公式，求三角函数值C3培养探索和创新的能力和意识【自学评价】1探究COSCOS反例6S363S2问题的关系CO,CO解决思路探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线2探究在坐标系中、角构造角3探究作单位圆，构造全等三角形4探究写出4个点的坐标，0,1PSIN,CO2，S3，I,C43214POPPP5计算，31P42426探究由导出公式31P42展开并整理COSSIN22COSSINSI得所以可记为C7探究特征熟悉公式的结构和特点；此公式对任意、都适用公式记号C8探究COS的公式以代得公式记号【精典范例】例1计算COS105COS15COSCOSSINSIN51035103【解】例2已知SIN，COS求COS的值5312【解】学习札记例3已知COS2,SIN2,且0，X0,时，5F2X1，设GTAT2BT3，T1,0，求GT的最小值。思维点拔无论是化简、求值还是证明都要注意角度的特点、函数名称的特点；其中切弦互化是常用手段；三角变换公式要灵活应用，注意角的范围对解题的影响，同时要掌握有关解题技巧化弦、辅助角、角变换、公式逆用、正余弦和积互换。【追踪训练】听课随笔1在ABC中，C90，则TANATANB与1的关系适合（）ATANATANB1BTANATANB1CTANATANB1D不确定2若0，SINCOS4，SINCOSB，则（）AAAB1BABCABAB23TNTNA60A04设，,，TAN、TAN是2一元二次方程的两个根，0432X求5已知TAN、TAN是方程X23X30的两个根,求SIN2（）3SIN（）COS（）3COS2（）的值。6已知、为锐角，COS，TAN（），求5431COS的值。7已知SIN45，且453290，求SIN8试求函数SINCOYX2SINCOX听课随笔的最大值和最小值。若呢22,0X32二倍角的三角函数第1课时【学习导航】知识网络1二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题2二倍角公式不只限于是的二倍的形式，其它如是的两倍，是的两倍，是的242432两倍，是的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式因此，要理解“二倍角”的含义，即当36时，就是的二倍角凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式尤其是“倍角”的意义是2相对的3二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式4公式成立的条件是2T学习要求1掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；2能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明重点难点重点1二倍角公式的推导；2二倍角公式的简单应用难点理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数【自学评价】1复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式SINSCOCTANT,2KZ2二倍角公式的推导在公式，中，SCT当时，得到相应的一组公式；SIN22S；CO；TA_2T注意1在中22在因2,2KKZ为，所以公式1COSSIN2可以变形为C_或COS2_2C公式，统称ST为二倍角的三角函数公式，简称为二倍角公式【精典范例】一、倍角公式的简单运用例1不查表求下列各式的值（）125COSSIN125COSIN（）2SINCO44（）TA1T（）COS2【解】例2若TAN3，求SIN2COS2的值【解】学习札记例3用表示COS,IN3COS,IN【解】点评1、加深对“二倍角”的理解，即角的变换；2、进一步体会“化归思想”（三倍角化归为两角和与二倍角）。例4已知，40135SIN求的值。4COS,2【解】点评进一步体会角的变换的妙处。二、COSIN,CSI,COSIN之间的关系例5已知，51COSIN，求，43,2SI2I，的值。2COS,I学习札记【解】三、倍角公式的进一步运用例6求证2SIN12COSINCO88AA【解】例7求的值。94COS29CS【解】进一步探讨的值。1322COSCOSSN思维点拔要理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规律【追踪训练】1若270360，则等于2COS12ASINBCOS2CSINCOS22求值1SIN2230COS2230218COS23IN241COS4CS3求值1SIN10SIN30SIN50SIN702COS200COS400COS600COS8004已知，求SIN2，COS2，TAN2的值,2,135SIN5已知，912COS32SIN且，求的值。0,CO6已知求的值5SIN2,1342SIN4,CO,TAN4学习札记7已知求的值1TAN2,3TAN【师生互动】第2课时【学习导航】知识网络1熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角降次，降角升次）2特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形2COSCS,1IN这两个形式今后常用。学习要求要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强灵活运用数学知识和逻辑推理能力重点难点重点理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数难点灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式【自学评价】1有关公式（1）；2SIN_（2）；CO（3）。2TA说明1、在倍角公式中，以代替，以代替，即得；则将（1）（2）相除即得。2COS2TAN2、如果知道COS的值和角的终边所在象限，就可以将右边开方，从而求得；TAN,COS,IN3、这三个公式的开方形式称为半角公式，不要求记忆，但推导方法要掌握。4、。SINCO1SITAN说明1、用正切的半角公式显然行不同（带正负号），回到基本关系式，并向右边看齐；2、这种形式的正切半角公式不需考虑符号，要简单。【精典范例】例1化简8COS28SIN【解】学习札记例2求证SIN1SINCOS1COSSIN1SINCOS1COSSIN2【证明】【思维点拨】关于“升幂”“降次”的应用在二倍角公式中，“升次”“降次”与角的变化是相对的。在解题中应视题目的具体情况灵活掌握应用。例3求函数的值域。XXYSINCOS2【解】例4求证2SINCOS3的值是与无关的定值。2I6【证】例5化简【解】SINCO1SINCO1例6求证2TAN14COSSITAN24COSI1【证明】例7利用三角公式化简SIN5013TAN【解】【追踪训练】1若，则257学习札记等于SIN1SIA2COB2COCSINDSIN2的值等于4CO2I。SIN2。COS2。COS2。COS2333SIN6COS24SIN78COS48的值为11ABCD6284的值等于。94COS392COS5已知SIN，则SIN2（）的值等于。156已知SIN0,434CO2求7求值TAN70COS10（TAN201）。38求值COS280SIN250SIN190COS3209求的值。10COS3SIN10已知,2,614SINSI，求SIN4的值。【师生互动】33几个三角恒等式【学习导航】知识网络学习札记几组三角恒等式1二倍角公式；COSIN2SI2S；ICOC；2TAN1TA2TCSS2IOC21SCS,1COS2N2倍角降幂公式OIN,2CS,21COSTAN3半角公式1SI,2SCS,21COSTAN2SINCOITAN4积化和差公式1SICOII2NSSNCSCO1ISS25和差化积公式SININCO22SICOSCSINI26万能公式222TAN1TANSI,COS,1TATN听课随笔7派生公式1SINCOS21SIN221COS2COS2，31COS2SIN2，4ASINBCOSSIN（）2COS（）（5）TAN1TNT学习要求1掌握推导积化和差、和差化积公式、半角公式和万能公式的方法，知道它们的互化关系2注意半角公式的推导与正确使用学习重点几组三角恒等式的应用学习难点灵活应用和、差、倍角等公式进行三角式化简、求值、证明恒等式【自学评价】1积化和差公式的推导因为和是我们所学习过的知识，因此我们考虑SINSIN；IICOISINSINSIN两式相加得即；2SICOSISI1SICO_22和差化积公式的推导在上式中若令，则，代入得SIN_3万能公式的推导1I2COS_3TAN【精典范例】例1已知，求3COS24SIN2的值5COS3SI2例2已知，化简36072COS12例3已知，2，TAN，TAN，求03172例4已知SINCOS，21，求和TAN的值2TAN例5已知COSCOS，SIN21SIN，求SIN的值31例6已知A、B、C是三角形的内角，CBACY2COSCSO2（1）问任意交换两个角的位置，Y的值是否变化试证明你的结论。（2）求Y的最大值。听课随笔思维点拔1、公式正用要善于拆角；逆用要构造公式结构；变用要抓住公式结构2、化简（1）化简目标项数尽量少、次数尽量低、尽量不含分母和根号（2）化简基本方法异角化同角；异名化同名；切割化弦；高次化低次；常值代换3、求值（1）求值问题的基本类型给角求值；给值求值；给值求角；给式求值（2）技巧与方法切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换4、证明（1）证明基本方法化繁为简法、左右归一法、变更命题法（2）条件等式的证明关键在于分析已知条件与求证结论之间的差异与联系【追踪训练】1如果COS，3,则SIN的值等于5122015ABCD2设56且COSA,则SIN等于241122A3已知TAN764，则TAN7的值约为8A74BCD1754TANCOT的值等于125已知SINACOSA1，0，则TAN6A6已知TAN、TAN是方程72810的两根，则TAN27设25SIN2SIN240且是第二象限角，求TANX听课随笔8已知COS2，求SIN4COS4的值39求证2TANCOS12SC4OS1INXXX复习课2【学习导航】（一）两角和与差公式SINCOSINSICCOTAN1TTAN（二）倍角公式2COS21COS22SIN21COS2COSI2SI2SIN1CSINCO2TA1TANICOITASINCOSSIN2BABASIN,COS22BB注意倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律，可实现函数式的降幂的变化。注（1）两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型求值题，化简题，证明题。（2）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使用”；（3）掌握“角的演变”规律，（4）将公式和其它知识衔接起来使用。重点难点重点几组三角恒等式的应用难点灵活应用和、差、倍角等公式进行三角式化简、求值、证明恒等式【精典范例】例1已知TANTANK求证12SI例2已知求的取值范围,43SINCOS分析难以直接用的式子来表达，因此设，并找出应满足的等式，COINTCOST从而求出的取值范围S例3求函数的值域XXXFCOSIN3COSIN例4已知,0COSCOS,0SINISN且、均为钝角，求角的值分析仅由，不能确定角的值，还必须找出角的范围，才能判断的值由单21COS位圆中的余弦线可以看出，若使的角为或若则,2021COS34,R或K23234ZK【选修延伸】例5已知,21TAN,98TAN求的值COS例6已知，,312TAN求的值SIISI2例7已知,43