北京市西城区普通中学2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 11 页） 2015年北京市西城区普通中学高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 . 1 60）的值等于（ ） A B C D 2下列函数中，最小正周期为 的是（ ） A y= y= D 3已知 1，且 0， ），那么 的值等于（ ） A B C D 4已知平面向量 =（ 1， 2）， =（ 1， 0），则向量 等于（ ） A（ 2， 6） B（ 2， 6） C（ 2， 6） D（ 2， 6） 5在 ， D 是 上一点，则 等于（ ） A B C D 6若 ， ，则 ） =（ ） A 3 B 3 C D 7函数 y=象的一个对称中心的坐标是（ ） A（ 0， 0） B C D 8下列各式中，值为 的是（ ） A 2B C 1 2D 9已知正方形 边长为 1，设 ， ， ，则 | |等于（ ） A 0 B C 2 D 10函数 y=f（ x）在区间 上的简图如图所示，则函数 y=f（ x）的解析式可以是（ ） A f（ x） =2x+ ） B f（ x） =2x ） C f（ x） =x+ ）D f（ x） =x ） 第 2 页（共 11 页） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 11已知 ，那么 =_ 12已知角 的终边经过点 P（ 4， 3），则 值为 _ 13 值等于 _ 14函数 y=最小值是 _ 15已知向量 =（ 1， 2）， =（ 3， 4），则 | |2 =_ 16如图，圆 O 的半径为 2， l 为圆 O 外一条直线， 圆心 O 到直线 l 的距离 |3， 圆周上一点，且 ，点 P 从 开始以 2 秒一周的速度绕点 O 在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动 1 秒钟后，点 P 的横坐标为 _； t 秒钟后，点 P 到直线 l 的距离用 t 可以表示为 _ 三、解答题：本大题共 3 小题，共 36 分 明过程或演算步骤 . 17已知向量 、 满足 | |=| |=1，且 与 的夹角为 60 （ 1）求 ； （ 2）若 与 + 垂直，求实数 的值 18已知 ， （ 1）求 （ 2）求 的值 19在直角坐标系 ，已知点 A（ 2， 0）， ， C（ 2其中 （ 1）若 ，求 值； （ 2）设点 D（ 1， 0），求 的最大值； （ 3）设点 E（ a， 0）， a R，将 表示成 的函数，记其最小值为 f（ a），求 f（ a）的表达式，并求 f（ a）的最大值 第 3 页（共 11 页） 2015年北京市西城区普通中学高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 . 1 60）的值等于（ ） A B C D 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 由诱导公式可得 60） = 60），而 值易知，从而得到所求的结果 【解答】 解：由诱导公式可得 60） = 60） = ，故选 D 2下列函数中，最小正周期为 的是（ ） A y= y= D 【考点】 三角函数的周期性及其求法 【分析】 分别找出四个选项函数的 值，代入周期公式 T= 中求出各自的周期，即可得到最小正周期为 的函数 【解答】 解： A、 y=周期 T= = ，本选项错误； B、 y=周期 T= =，本选项正确； C、 y=周期为 T= =4，本选项错误； D、 y=周期为 T= =8，本选项错误， 则最小正周期为 的函数为 y= 故选 B 3已知 1，且 0， ），那么 的值等于（ ） A B C D 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 根据 1，且 0， ），故 的终边在射线 y= x （ x 0）上，从而得到 的值 第 4 页（共 11 页） 【解答】 解： 已知 1，且 0， ），故 的终边在射线 y= x （ x 0）上，故 = ， 故选 C 4已知平面向量 =（ 1， 2）， =（ 1， 0），则向量 等于（ ） A（ 2， 6） B（ 2， 6） C（ 2， 6） D（ 2， 6） 【考点】 平面向量的 坐标运算 【分析】 按照向量数乘的坐标运算 及和运算，直接计算即可 【解答】 解： =3（ 1， 2） +（ 1， 0） =（ 3 （ 1） +1， 3 2+0） =（ 2， 6） 故选 A 5在 ， D 是 上一点，则 等于（ ） A B C D 【考点】 向量的减法及其几何意义 【分析】 根据题意，由两个向量的减法的几何意义可得 = 【解答】 解：在 ， D 是 上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得= ， 故选 C 6若 ， ，则 ） =（ ） A 3 B 3 C D 【考点】 两角和与差的正切函数 【分析】 由正切的差角公式 ） = 解之即可 【解答】 解： ） = = = ， 故选 D 7函数 y=象的一个对称中心的坐标是（ ） A（ 0， 0） B C D 【考点】 正弦函数的对称性 【分析】 根据正弦函数的对称中心，直接求出函数 y=象的对称中心，即可 【解答】 解：因为函数 y=象的一个对称中心的坐标（ 0） k Z，当 k=1 时对称中心坐标为（ 0， 0） 故选 A 8下列各式中，值为 的是（ ） 第 5 页（共 11 页） A 2B C 1 2D 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 利用二倍角公式求出 2 1 2值，利用同角三角函数的基本关系式求出 值，即可得到选项 【解答】 解：因为 2 ， ， 12 ； 1；所以 1 2值为： ； 故选 C 9已知正方形 边长为 1，设 ， ， ，则 | |等于（ ） A 0 B C 2 D 【考点】 平面向量的综合题；向量的模；向量加减混合运算及其几何意义 【分析】 由题意得 ， | |= ，故有 | |=|2 |，由此求出结果 【解答】 解析：如图， ， 故 有 | |=|2 |， 又 | |=1 有 | |=2， 故选 C 10函数 y=f（ x）在区间 上的简图如图所示，则函数 y=f（ x）的解析式可以是（ ） 第 6 页（共 11 页） A f（ x） =2x+ ） B f（ x） =2x ） C f（ x） =x+ ）D f（ x） =x ） 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 根据图象的最高点和最低点，得到 A 的值，根据半个周期的长度得到 的值，写出解析式，根据函数的图象过（ ）点，代入点的坐标，求出 的值，写出解析式 【解答】 解：由图象知 A=1， = ， T=， =2， 函数的解析式是 y=2x+） 函数的图象过（ ） 0=2 +） =， = 函数的解析式是 y=2x ） 故选 B 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 11已知 ，那么 = 【考点】 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 【分析】 若 ，则 ，结合向量模的计算公式可得答案 【解答】 解：因为 ， 所以 | |= 故答案为 12已知角 的终边经过点 P（ 4， 3），则 值为 【考点】 任意角的三角函数的定义 【分析】 根据任意角的三角函数定义确定出 所求式子的值 【解答】 解： 角 的终边经过点 P（ 4， 3）， 第 7 页（共 11 页） = ， 故答案为： 13 值等于 【考点】 两角和与差的余弦函数 【分析】 直接利用两角和与差的余弦公式得出所求的式子等于 然后利用特殊角的三角 函数求出结果 【解答】 解： 20+40） = 故答案为 14函数 y=最小值是 【考点】 二倍角的正弦；三角函数的最值 【分析】 由于 y= x R 故 所以 【解答】 解： y= y= x R 故答案为： 15已知向量 =（ 1， 2）， =（ 3， 4），则 | |2 = 0 【考点】 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 【分析】 两个向量 的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，向量 的模的平方等于自身数量积 【解答】 解： | |2 （ 1， 2） （ 1， 2）（ 1， 2） （ 3， 4） =（ 1） 2+22 （ 1） 3+2 4 =5 5=0 故答案为： 0 第 8 页（共 11 页） 16如图，圆 O 的半径为 2， l 为圆 O 外一条直线，圆心 O 到直线 l 的距离 |3， 圆周上一点，且 ，点 P 从 开始以 2 秒一周的速度绕点 O 在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动 1 秒钟后，点 P 的横坐标为 ； t 秒钟后，点 P 到直线 l 的距离用 t 可以表示为 ， t0 【考点】 已知三角函数模型的应用问题 【分析】 1 秒钟后，点 P 从 开始绕点 O 在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动，旋转了半周，此时点 P 与 于原点对称； 由题意，周期为 2，则 t 秒钟后，旋转角为 t，故可求点 P 的横坐标，从而求出点 P 到直线 l 的距离 【解答】 解： 1 秒钟后，点 P 从 开始绕点 O 在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动，旋转了半周，此时点 P 与 于原点对称，从而点 P 的横坐标为 ； 由题意，周期为 2，则 t 秒钟后，旋转角为 t，则此时点 P 的横坐标为 ，所以点 P 到直线 l 的距离为 ， t 0 故答案为 ； ， t 0 三、解答题：本大题共 3 小题，共 36 分 明过程或演算步骤 . 17已知向量 、 满足 | |=| |=1，且 与 的夹角为 60 （ 1）求 ； （ 2）若 与 + 垂直，求实数 的值 【考点】 数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的运算 【分析】 （ 1）利用向量模的性质：向量的平方等于向量模的 平方及向量的数量积公式求出的值 （ 2）利用向量垂直的充要条件： 列出方程，利用向量的数量积公式及向量模的性质求出实数 的值 【解答】 解：（ 1） =| |2 | | | 第 9 页（共 11 页） （ 2） 即 解得 = 2 18已知 ， （ 1）求 （ 2）求 的值 【考点】 二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用 【分析】 （ 1）通过角的范围求出正弦函数值，然后求出 值 （ 2）利用诱导公式以及二倍角公式，化简函数的表达式为余弦函数的形式，代入数据求解即可 【解答】 解：（ 1）因为 ， ，所以 ， 故 （ 2） = 19在直角坐标系 ，已知点 A（ 2， 0）， ， C（ 2其中 （ 1）若 ，求 值； （ 2）设点 D（ 1， 0），求 的最大值； （ 3）设点 E（ a， 0）， a R，将 表示成 的函数，记其最小值为 f（ a），求 f（ a）的表达式，并求 f（ a）的最大值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；平面向量的综合题 【分析】 （ 1）由已知中 A（ 2， 0）， ， C（ 2我们可以计算出向量 的坐标，进而由 ，我们可以构造一个三角方程，利用同角三角函数关系，即可求出 值； （ 2）由 D 的坐标，我们可以进而求出向量 的坐标，根据向量数量积的运算公式，我们可以给出 的表达式，然后根据余弦型函数的性质，及 求出其最大值 第 10 页（共 11 页） （ 3）由点 E 的坐标，我们可以求出向量 的坐 标，根据向量数量积的运算公式，我们可以将 表示成 的