高中数学导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.3函数的最大(小)值与导数一课件新人教A版.pptx

1.3.3函数的最大(小)值与导数(一),第一章1.3导数在研究函数中的应用,学习目标,1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,如图为函数yf(x)，xa，b的图象.,知识点函数的最大(小)值与导数,答案极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4).,思考1观察区间a，b上函数yf(x)的图象，试找出它的极大值、极小值.,答案存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3).,思考2结合图象判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？,梳理(1)函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)一般地，求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤如下：求函数yf(x)在(a，b)内的；将函数yf(x)的与处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是，最小的一个是.,连续不断,极值,各极值端点,最大值,最小值,1.函数的最大值不一定是函数的极大值.()2.函数f(x)在区间a，b上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.()3.有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.(),思考辨析判断正误,题型探究,类型一求函数的最值,命题角度1利用导数直接求最值例1求下列各函数的最值：(1)f(x)x42x23，x3,2；,解答,解f(x)4x34x，令f(x)4x(x1)(x1)0，得x1，x0，x1.当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：,当x3时，f(x)取最小值60；当x1或x1时，f(x)取最大值4.,解答,(2)f(x)x33x26x2，x1,1.,解f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23，f(x)在1,1内恒大于0，f(x)在1,1上为增函数.故当x1时，f(x)min12；当x1时，f(x)max2.即f(x)的最小值为12，最大值为2.,反思与感悟求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内.(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值.(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值.,跟踪训练1求下列函数的最值.,解答,f(x)0时，x2，当f(x)0时，x2.所以f(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，,解答,所以当x0时，f(x)有最小值f(0)0，当x2时，f(x)有最大值f(2).,解答,命题角度2对参数讨论求最值例2已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.71828为自然对数的底数.设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值.,解因为f(x)exax2bx1，所以g(x)f(x)ex2axb，又g(x)ex2a，因为x0,1，1exe，所以：,所以函数g(x)在区间0,1上单调递增，g(x)ming(0)1b.,于是当00，所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间ln(2a)，1上单调递增，g(x)ming(ln(2a)2a2aln(2a)b.,所以函数g(x)在区间0,1上单调递减，g(x)ming(1)e2ab.,解答,引申探究1.若a1，b2，求函数g(x)在区间0,1上的最小值.解因为a1，b2，g(x)f(x)ex2x2，又g(x)ex2，令g(x)0，因为x0,1，解得xln2，已知当xln2时，函数取极小值，也是最小值，故g(x)ming(ln2)22ln2242ln2.,解答,2.当b0时，若函数g(x)在区间0,1上的最小值为0，求a的值.,解当b0时，因为f(x)exax21，所以g(x)f(x)ex2ax，又g(x)ex2a，因为x0,1，1exe，所以：,所以函数g(x)在区间0,1上单调递增，g(x)ming(0)1，不符合题意.,于是当00，所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间ln(2a)，1上单调递增，g(x)ming(ln(2a)2a2aln(2a)0，,所以函数g(x)在区间0,1上单调递减，,反思与感悟对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.,解答,跟踪训练2已知a是实数，函数f(x)x2(xa)，求f(x)在区间0,2上的最大值.,解f(x)3x22ax.,从而f(x)maxf(2)84a.,从而f(x)maxf(0)0.,例3已知函数f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值.,类型二由函数的最值求参数,解答,解由题设知a0，否则f(x)b为常函数，与题设矛盾.求导得f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，得x10，x24(舍去).当a0，且当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)b3.,又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.,反思与感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.,解答,跟踪训练3已知函数h(x)x33x29x1在区间k,2上的最大值是28，求k的取值范围.,解h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21，当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：,当x3时，取极大值28；当x1时，取极小值4.而h(2)3e时，f(x)0.,1,2,3,4,5,解析,答案,4.函数f(x)2x36x2m(m是常数)在区间2,2上有最大值3，则在区间2,2上的最小值为_.,37,解析f(x)6x212x6x(x2)，由题意知，在区间2,2上，x0是f(x)的最大值点，f(x)maxf(0)m3.f(2)1624337，f(2)162435，f(x)min37.,答案,解析,1,2,3,4,5,5.已知函数f(x)ax3bxc在点x2处取得极值c16.(1)求a，b的值；,解因为f(x)ax3bxc，故f(x)3ax2b.由于f(x)在点x2处取得极值c16，,解答,1,2,3,4,5,解答,1,2,3,4,5,(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在3,3上的最小值.,解令f(x)0，得x12，x22.当x(，2)时，f(x)0，故f(x)在(，2)上为增函数；当x(2,2)时，f(x)0，故f(x)在(2，)上为增函数.由此可知f(x)在x12处取得极大值，f(2)16c，f(x)在x22处取得极小值，f(2)c16.由题设条件知16c28得c12.此时f(3)9