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益多教育中心,初一数学,制作:陶钦贵,第一章1.1正数和负数,在生活、生产、科研中,经常遇到数的表示与数的运算的问题例如:,1、天气预报2007年11月某天北京的温度为:33C,它的确切含义是什么?这一天北京的温差是多少?,在生活、生产、科研中,经常遇到数的表示与数的运算的问题例如:,这天的最高温度是零上3C,最低温度是零下3C,温差是6C,2、有三个队参加的足球比赛中,红队胜黄队(4:1),黄队胜蓝队(1:0),蓝队胜红队(1:0),如何确定三个队的净胜球数与排名顺序?,3、某机器零件的长度设计为100mm,加工图纸标注的尺寸为1000.5(mm),这里的0.5代表什么意思?合格产品的长度范围是多少?,4、纳米是一种非常小的长度单位,它与长度单位“米”的关系为1纳米=米,应怎样理解这种记数法的表示?,这里出现了一种新数:-3表示零下3摄氏度,-2表示净输2球,-0.5表示小于设计尺寸0.5mm,而:3表示零上3摄氏度,2表示净胜2球,+0.5表示大于设计尺寸0.5mm,像-3,-2,-0.5,这样的数(即以前学过的0以外的数前面加上负号“-”的数叫做负数,而在小学学过的除“0”以外的数都叫正数,为了突出数的符号,可以在正数的前面加“+”号,如+5,+,+1.2,我们常常用正数和负数表示一些意义相反的量!,0既不是正数,也不是负数.,观察下图,试着说明它们的海拔高度,珠穆朗玛峰的海拔高度为8848米,鲁番盆地的海拔高度为-155米,0,(1)一个月内,小明体重增加2kg,小华体重减少1kg,小强体重无变化,写出他们这个月的体重增长值;,例题,解:(1)这个月小明体重增长2kg,小华体重增长-1kg,小强体重增长0kg,(2)2006年下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是:美国减少6.4%,德国增长1.3%,法国减少2.4%,英国减少3.5%,意大利增长0.2%,中国增长7.5%写出这些国家2006年商品进出口总额的增长率,例题,解:六个国家2006年商品出口总额的增长率:美国-6.4%,德国1.3%,法国-2.4%,英国-3.5%,意大利0.2%,中国7.5%,课堂练习,(1)如果零上5C记作+5C,那么零下3C记作什么?(2)东、西为两个相反方向,如果-4米表示一个物体向西运动4米,那么+2米表示什么?物体原地不动记为什么?(3)某仓库运进面粉7.5吨记作+7.5吨,那么运出3.8吨应记作什么?,解:(1)零下3C记作-3C,(2)+2米表示一个物体向东运动2米;物体原地不动记为0米,(3)运出3.8吨应记作-3.8吨,课堂练习,自主学习,问题:正负数与相反意义的量之间是什么关系?,问题:这种关系说明了什么?,1、正负数可以用现实生活中具有相反意义的量来解释。2、现实生活中的相反意义的量可以用正负数来表示。,练习1,1、正负数可以用现实生活中具有相反意义的量来解释。,1、如果将+8元计为收入8元,则-6元表示_。2、高出海平面789米计为789米,则-789米表示_。3、减少60千克计为60千克,则+80千克表示_。4、把公元2008年记作+2008年,那么-20年表示_。,2、现实生活中的相反意义的量可以用正负数来表示。,1、零下15,表示为_,比O低4的温度是_。2、正表示向西,则负表示为_。3、粮食产量增产11,记作+11,则减产6应记作_。4、某天中午11时的温度是11,早晨6时气温比中午11时低7,则早晨6时温度为_,若早晨4时气温比中午11时低13,则早晨4时温度为_。,支出6元,低于海平面789米,增加80千克,公元前20年,15,4,东,6,4,2,2、若将28计为0,则可以将27计为1,试猜想若将27计为0,28应计为。,1、如果全班某次数学测试的平均成绩为83分,某同学考了85分,记作+2分,得90分应记作_,得80分应记作_。,练习2,3如果向东走12米记作+12米,则向西走120米记作_米。,4如果向东走12米记作12米,则向西走120米记作_米。,5如果向东走12米记作_米,则向西走120米记作_米。,+7分,3分,+1,120,+120,由于我国农业的发展,每年我国从国外进口的粮食正逐年下降,2006年进口粮食比2005年增加了5,增加5是什么意思?,由于我国经济的发展,每年我国从国外进口的石油正逐年上升,2006年进口石油比2005年减少了2.43,减少2,43是什么意思?,1、一种零件的内径尺寸在图纸上是300.05(单位:毫米),表示这种零件的标准尺寸是30毫米,加工要求最大不超过标准尺寸_毫米,最小不低于标准尺寸_毫米,2、味精袋上标有“5005克”字样中,+5表示_,-5表示_,3、张大妈在超市买了一袋洗衣粉,发现包装袋上标有这样一段字条:净重:8005g张大妈怎么也看不明白是什么意思你能给她解释清楚吗?,小结:,(1)正数和负数是表示一些意义相反的量;,(2)零既不是正数也不是负数,1.2有理数,一、知识回顾,问题1:什么是正数?什么是负数?0是正数吗,0是负数吗?,问题2:正数与负数之间具有什么意义?,问题3:你能再举出一些用正、负数表示数量的实例吗?,答案:例如5,2.5,0.5我们把这样带有正号的数叫做正数(正号可以省略不写).例如:3,2.5,0.1我们把带有负号的数叫做负数.0即不是正数也不是负数.,正数与负数表示是具有相反意义.,例如:存入银行1500元,记作1500元,支出500元,记作500元.,按整数、分数分类:,按符号分类:,整数,分数,正整数,0,负整数,正分数,负分数,自然数,正有理数,0,负有理数,正整数,负整数,正分数,负分数,有理数,有理数,整数:正整数、0、负整数统称整数。,分数:正分数和负分数统称分数。,有理数:整数和分数统称有理数。,概念,例1:把下列各数填入相应的集合内:,正数集合,整数集合,负分数集合,非负整数集合,整数集合分数集合负分数集合非负数集合非正数集合有理数集合,例3:判断题:(1)零不是整数,也不是正数。(2)自然数一定是整数。(3)一个数,如果不是正数,必定就是负数;(4)一个数,不是整数,必定就是分数;(5)在有理数中,是负数而不是分数的是负整数;(6)在有理数中,是整数而不是正数的是负整数。,1.有理数中,最大的负整数是;最小的正整数是;最小的非负整数是;最大的非正数是;最大的负偶数是,-,-,2.图中两个圆圈分别表示正数集合和整数集合,请分别在图中的三部分中各填入3个数.你能说出这个重叠部分表示什么数的集合吗?,正数集合,整数集合,3.判断题:(1)零是正数.(2)零是整数.(3)零是最小的有理数.(4)零是非负数.(5)零是偶数.,1有限小数和无限循环小数都属于分数,你能将下列各数转化为分数吗?,课后思考题,1.3有理数的加减法,小明在一条东西向的跑道上,先走了20米,又走了30米,能否确定他现在位于原来位置的哪个方向,与原来位置相距多少米?1.若两次都向东,一共向东走了:(20)(30)50米即小明位于原来位置的东方50米处2.若两次都向西,一共向西走了:(20)(30)50米即小明位于原来位置的西方50米处3.若第一次向东走20米,第二次向西走30米,(20)(30)10米即小明位于原来位置的西方10米处,4.若第一次向西走20米,第二次向东走30米,(20)(30)10米即小明位于原来位置的东方10米处5.若第一次向西走30米,第二次向东走30米,(30)(30)06.若第一次向西走30米,第二次没走,(30)030,有理数的加法法则:(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;(2)绝对值不等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;(3)互为相反数的两个数相加得零;(4)一个数同零相加,仍得这个数.,例2一口水井,水面比水井口低3米,一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬,第一次往上爬了0.5米又往下滑了0.1米;第二次往上爬了0.42米又往下滑了0.15米;第三次往上爬了0.7米又往下滑了0.15米;第四次往上爬了0.75米又往下滑了0.1米;第五次往上爬了0.55米,没有下滑;第六次往上爬了0.48米.问蜗牛有没有爬出井口?解:0.5(0.1)0.42(0.15)0.7(0.15)0.75(0.1)0.5500.482.93答:蜗牛没有爬出井口.,例3若x3与y2互为相反数,求xy的值解:x3y20,x3,y2xy(3)(2)5,例4计算:(1)(2)(3),(4)(5)(6),例5两个加数的和一定大于其中一个加数吗?,答案为:不一定。,例6若a15,b8,且ab,求ab解:a15,b=8,ab则a15,b8,当a15,b8时,ab23当a15,b8时,ab7,例7已知,求:(1)(a)b(c)解:(2),例8分别列出一个含有三个加数的满足下列条件的算式:(1)所有的加数都是负数,和为13;1(2)(10)(2)一个加数为0,和为13;(9)(4)0(3)至少有一个加数是正整数,和为13;(1)(4)(10),例9如图,将数字2,1,0,1,2,3,4,5,6,7这是个数字分别填写在五角星中每两个线的交点处(每个交点只填写一个数),将每一行上的四个数相加,共得到五个数,设a1,a2,a3,a4,a5.则(1)a1a2a3a4a550(2)交换其中任何两数的位置后,a1a2a3a4a5的值是否改变?,无论怎样交换各数的位置,按规则相加后,每个数都用了两次,a1a2a3a4a5=2(1201234567)=50所有值不变。答:不变.,有理数的减法,有理数的减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数.,例1计算:(1)852758(2)278527(85)(8527)58(3)(13)(21)13(21)21138(4)(13)(21)13(21)34(5)(21)(13)21(13)(2113)8(6)(21)(13)21(13)34,例2计算:(1)3.2(4.8)3.2(4.8)8(2)(3)05.60(5.6)5.6(4),例2全班学生分成6个组进行游戏,每组的基分为100分答对一题加50分,错一题扣50分.游戏结束时,各组的分数如下:(1)第一名超过第二名多少分?350200150(2)第一名超过第六名多少分?350(200)350200550,例3某日长春等5个城市的最高气温与最低气温记录如下:问:哪个城市的温差最大?哈尔滨哪个城市的温差最小?大连,例4下表列出国外几个城市与北京的时差(带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数)(1)如果现在的北京时间是中午12:00,那么东京时间是多少?12113(2)如果小芳给远在纽约的舅舅打电话,她在北京时间下午14:00打电话,你认为合适吗?答案:14(13)1不合适,例5计算11796解原式11(7)(9)627621,例6已知a4,b5,c7,求代数式abc的值解:原式abc(4)(5)(7)8,例7若a0,b0,试求ab1ba1的值解:ab1ba1ab1(ba1)ab1ba10,例8(1)两个负数的和为a,他们的差为b,则a与b的大小关系是()A.abB.abC.abD.ab(2)已知b0,a0,则a,ab,a+b的大小关系是()A.aababB.abaabC.ababaD.abaab,例9点A,B在数轴上分别是表示有理数a,b,A,B两点间的距离表示为ABab回答下列问题:(1)数轴上表示2和5的两点间的距离是:(2)数轴上表示2和5的两点间的距离是:(3)数轴上表示1和3的两点间的距离是:(4)数轴上表示x和1的两点间的距离是:,如果AB2,那么x,253,2(5)3,1(3)4,x1,1或3,例10设(x)表示不超过数x的整数中最大的整数,例如(2.53)2,(1.3)2,根据此规定,试做下列运算:(1)(5.3)(3)538(2)(4.3)()505(3)()(1)0(2)2(4)(0)(2.7)0(3)3,有理数的加减混合运算,1有理数加减法统一成加法的意义(1)有理数加减混合运算,可以通过有理数减法法则将减法转化为加法,统一成只有加法运算的和式,如(12)(8)(6)(5)(12)(8)(6)(5)(2)在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省l略不写,写成省略加号的和的形式:如(12)(8)(6)(5)12865(3)和式的读法,一是按这个式子表示的意义,读作12,8,6,5的和;二是按运算的意义,读作负12,减8,减6,加5,2有理数加减混合运算的方法和步骤:(1)将有理数加减法统一成加法,然后省略括号和加号(2)运用加法法则,加法运算律进行简便运算,例1计算:(10)(13)(4)(9)6解原式10(13)(4)(9)612,例2计算解:原式,例3把算式省略加号代数和,并计算出结果.解算式,例4填空(1)比小2的数是_,比大3的数是_.(2)6xy的最大值_,此时x与y是什么关系_(3)如果a4,b8,a与b异号,则ab_,例4填空(1)比小2的数是_,比大3的数是_.(2)6xy的最大值是6,此时x与y是什么关系xy.(3)如果a4,b8,a与b异号,则ab12,12.,例5求值:若a与3的相反数的和为1,b的绝对值等于2,c6,求代数式abc的值解:a31,a4,b2,b2abc42612abc4268,例6你能找到三个整数a,b,c,使得关系式(abc)(abc)(abc)(abc)3388成立吗?如果能找到,请你举出一例;如果找不到,请你说明理由.,解:不妨设abc为偶数.则abc(abc)2b为偶数abc(abc)2c为偶数abc(abc)2a为偶数(abc)(abc)(abc)(abc)能被16整除,而3388不能被16整除.,1.4绝对值,小明的家在学校西边3Km处,小丽的家在学校东边2Km处。,3,2,你能建立数轴恰当表示他们的位置吗?,假如他们步行的速度相同,谁先到学校?为什么?,数轴上表示一个数的点与原点的距离,叫做这个数的绝对值。,例如:,表示-3的点与原点的距离是,,所以-3的绝对值是;,表示2的点与原点的距离是,,表示0的点与原点的距离是,,所以2的绝对值是;,所以0的绝对值是。,如图,你能说出数轴上A、B、C、D、E、F各点所表示的数的绝对值吗?,A,B,C,D,E,F,归纳:,有理数的绝对值的求法,1.画数轴,标出有理数所在点,得到点到原点的距离,2.求得有理数的绝对值,有理数,绝对值,点,距离,解:,在数轴上画出表示4和-3.5的点A和点B.,因为点A与原点的距离是4,,所以4的绝对值是4,因为点B与原点的距离是3.5,,所以-3.5的绝对值是3.5,3.5,4,绝对值的表示方法,4的绝对值表示为:,-3.5的绝对值表示为:,0的绝对值表示为:,4,-3.5,0,例.比较-3与-6的绝对值的大小.,-3=,-6=,即-3的绝对值小于-6的绝对值。,3,6,解:,练一练:,1.(1)在数轴上画出表示下列各数的点:,(2)填空:,0=,9=,-0.4=,=,-2=,(3)比较-3、-0.4、-2的绝对值的大小,并用“”号把它们连接起来.,-3,=,一.回答下列问题:,2.到原点距离为3的数是.,3.绝对值为3的数是.,4.绝对值为-3的数是.,5.“任何数的绝对值都是正数”的说法对吗?,6.最小的绝对值为.,7.绝对值最小的数是.,8.绝对值小于4.5的整数是.,9.绝对值不大于3的整数是.,二.比较下列各对数的大小:,(1)2与0,(2)-2与0,(3)2与-2,(4)-2与-4,三.计算:,小结:,1.绝对值的实质是什么?,2.最小的绝对值是多少?,3.绝对值最小的数是多少?,4.有理数的绝对值的范围是?,绝对值与相反数,有理数王国的公民+1一天不小心掉进了一个魔瓶里。谁知出来后竟变成胖乎乎的0,你说怪不怪?冷眼旁观的2说:“谁叫这瓶里睡着他的相反数兄弟呢?幸好我兄弟不在里面!”同学们,你想知道+1的相反数兄弟是谁?为什么他俩见面后就变成0呢?就让我们一起走进神奇的相反数的世界吧!,我怎么就变胖了呢?,哈哈!我还是我!,请两位同学背靠背,一人向前走5步,一人向后走5步。如果向前为正,向前走5步,向后走5步,分别记作什么?,向前5步记作+5,向后5步记作-5。+5与-5就叫做互为相反数。,活动一,你能在数轴上找两个点,使它们所代表的数互为相反数吗?,试一试,0,1,-1,2,-2,哈哈!我来了。,我的相反数在哪?,具备什么样特点的两个数才互为相反数呢?(小组讨论),像+2与-2,+5与-5这样符号不同,绝对值相等的两个数叫做互为相反数(oppositenumber)。,规定:0的相反数是0,具备什么样特点的两个数才互为相反数呢?(小组讨论),请一位同学随便报一个数,然后点名叫另一位同学说出它的相反数。,总结:a的相反数是-a,点将台,a的相反数-a前有负号,那么-a一定是负数吗?,难道我穿男孩衣服就是男孩吗?嘻嘻!,辩一辩,我们通常在一个数的前面加一个“
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