2019年全国普通高等学校高考数学模拟试卷(理科)(一)

2019年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）（一）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合A=x|x2+4x0，B=x|1813x27，C=x|x=2n，nN，则（AB）C=（）A2，4B0，2C0，2，4Dx|x=2n，nN2（5分）设i是虚数单位，若i(x+yi)=5i2-i，x，yR，则复数x+yi的共轭复数是（）A2iB2iC2+iD2+i3（5分）已知等差数列an的前n项和是Sn，且a4+a5+a6+a7=18，则下列命题正确的是（）Aa5是常数BS5是常数Ca10是常数DS10是常数4（5分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A316B38C14D185（5分）已知点F为双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的右焦点，直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A，若AF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A5B1+2C1+5D-1+56（5分）已知函数f(x)=sinx，x-，01-x2，x(0，1则-1f(x)dx=（）A2+B2C-2+2D4-27（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A2021B2019C2505D2505-18（5分）已知函数f(x)=sinxcosx-3cos2x+32（0）的相邻两个零点差的绝对值为4，则函数f（x）的图象（）A可由函数g（x）=cos4x的图象向左平移524个单位而得B可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移524个单位而得C可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移724个单位而得D可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移56个单位而得9（5分）(2x-3)(1+1x)6的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A73B61C55D6310（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，点G为AF的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A316B318C48164D31314811（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为（）A16B20C24D3212（5分）若函数y=f（x），xM，对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数x，都有af（x）=f（x+T）恒成立，此时T为f（x）的类周期，函数y=f（x）是M上的a级类周期函数若函数y=f（x）是定义在区间0，+）内的2级类周期函数，且T=2，当x0，2）时，f(x)=12-2x2，0x1f(2-x)，1x2函数g(x)=-2lnx+12x2+x+m若x16，8，x2（0，+），使g（x2）f（x1）0成立，则实数m的取值范围是（）A(-，52B(-，132C(-，-32D132，+)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知向量a=(2sin，cos)，b=(1，-1)，且ab，则(a-b)2= 14（5分）已知x，y满足约束条件x-2y02x-y0x+4y-180则目标函数z=32x8y的最小值为 15（5分）在等比数列an中，a2a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设bn=a2n1a2n，nN*，则数列bn的前2n项和为 16（5分）如图，在直角梯形ABCD中，ABBC，ADBC，AB=BC=12AD=1，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EFAD于点F，将DEF沿EF折起到PEF的位置，并使PFAF，则五棱锥PABCEF的体积的取值范围为 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）已知ABC的内角A，B，C的对边a，b，c分别满足c=2b=2，2bcosA+acosC+ccosA=0，又点D满足AD=13AB+23AC（1）求a及角A的大小；（2）求|AD|的值18（12分）在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且BC=BB1=2，A1AB=A1AD=60（1）求证：BDCC1；（2）若动点E在棱C1D1上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为71419（12分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N（，2），利用该正态分布，求Z落在（14.55，38.45）内的概率；将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，30）内的包数为X，求X的分布列和数学期望附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为=142.7511.95；若ZN（，2），则P（Z+）=0.6826，P（2Z+2）=0.954420（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和kAD+kBD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由21（12分）已知函数f（x）=ex2（a1）xb，其中e为自然对数的底数（1）若函数f（x）在区间0，1上是单调函数，试求实数a的取值范围；（2）已知函数g（x）=ex（a1）x2bx1，且g（1）=0，若函数g（x）在区间0，1上恰有3个零点，求实数a的取值范围请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为x=-1+acosy=-1+asin（为参数，a是大于0的常数）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为=22cos(-4)（1）求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；（2）分别记直线l：=12，R与圆C1、圆C2的异于原点的交点为A，B，若圆C1与圆C2外切，试求实数a的值及线段AB的长选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|2x+1|（1）求不等式f（x）10|x3|的解集；（2）若正数m，n满足m+2n=mn，求证：f（m）+f（2n）162019年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合A=x|x2+4x0，B=x|1813x27，C=x|x=2n，nN，则（AB）C=（）A2，4B0，2C0，2，4Dx|x=2n，nN【解答】解：A=x|x2+4x0=x|0x4，B=x|1813x27=x|343x33=x|4x3，则AB=x|4x4，C=x|x=2n，nN，可得（AB）C=0，2，4，故选：C2（5分）设i是虚数单位，若i(x+yi)=5i2-i，x，yR，则复数x+yi的共轭复数是（）A2iB2iC2+iD2+i【解答】解：由i(x+yi)=5i2-i，得x+yi=5i(2-i)i=5i1+2i=5i(1-2i)(1+2i)(1-2i)=2+i，复数x+yi的共轭复数是2i故选：A3（5分）已知等差数列an的前n项和是Sn，且a4+a5+a6+a7=18，则下列命题正确的是（）Aa5是常数BS5是常数Ca10是常数DS10是常数【解答】解：等差数列an的前n项和是Sn，且a4+a5+a6+a7=18，a4+a5+a6+a7=2（a1+a10）=18，a1+a10=9，S10=102(a1+a10)=45故选：D4（5分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A316B38C14D18【解答】解：设AB=2，则BC=CD=DE=EF=1，SBCI=122222=14，S平行四边形EFGH=2SBCI=214=12，所求的概率为P=SBCI+S平行四边形EFGHS正方形ABCD=14+1222=316故选：A5（5分）已知点F为双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的右焦点，直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A，若AF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A5B1+2C1+5D-1+5【解答】解：设双曲线C：x2a2-y2b2=1的右焦点F（c，0），双曲线的渐近线方程为y=bax，由x=a代入渐近线方程可得y=b，则A（a，b），可得AF的中点为（a+c2，12b），代入双曲线的方程可得(a+c)24a214=1，可得4a22acc2=0，由e=ca，可得e2+2e4=0，解得e=51（15舍去），故选：D6（5分）已知函数f(x)=sinx，x-，01-x2，x(0，1则-1f(x)dx=（）A2+B2C-2+2D4-2【解答】解：f(x)=sinx，x-，01-x2，x(0，1，1-x2dx=cos2tdt=1+cos2t2dt=t2+sin2t4+C=arcsinx2+x1-x22+C，-1f(x)dx=011-x2dx+-0sinxdx=（arcsinx2+x1-x22）|01+（cosx）|-0=42故选：D7（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A2021B2019C2505D2505-1【解答】解：第1次循环后，S=2，不满足退出循环的条件，k=2；第2次循环后，S=3，不满足退出循环的条件，k=3； 第3次循环后，S=4=2，不满足退出循环的条件，k=4； 第n次循环后，S=n+1，不满足退出循环的条件，k=n+1；第2018次循环后，S=2019，不满足退出循环的条件，k=2019第2019次循环后，S=2020=2505，满足退出循环的条件，故输出的S值为2505，故选：C8（5分）已知函数f(x)=sinxcosx-3cos2x+32（0）的相邻两个零点差的绝对值为4，则函数f（x）的图象（）A可由函数g（x）=cos4x的图象向左平移524个单位而得B可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移524个单位而得C可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移724个单位而得D可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移56个单位而得【解答】解：函数f(x)=sinxcosx-3cos2x+32=12sin（2x）31+cos2x2+32=sin（2x3）（0）的相邻两个零点差的绝对值为4，1222=4，=2，f（x）=sin（4x3）=cos（4x3）2=cos（4x56）故把函数g（x）=cos4x的图象向右平移524个单位，可得f（x）的图象，故选：B9（5分）(2x-3)(1+1x)6的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A73B61C55D63【解答】解：(2x-3)(1+1x)6展开式中所有各项系数和为（23）（1+1）6=64；(2x-3)(1+1x)6=（2x3）（1+6x+15x2+），其展开式中的常数项为3+12=9，所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为649=73故选：A10（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，点G为AF的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A316B318C48164D313148【解答】解：如图，可得该几何体是六棱锥PABCDEF，底面是正六边形，有一PAF侧面垂直底面，且P在底面的投影为AF中点，过底面中心N作底面垂线，过侧面PAF的外心M作面PAF的垂线，两垂线的交点即为球心O，设PAF的外接圆半径为r，r2=(2-r)2+(12)2，解得r=1716，MH=ON=1516，则该几何体的外接球的半径R=ON2+NF2=(1516)2+11=48116，表面积是则该几何体的外接球的表面积是S=4R2=48164故选：C11（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为（）A16B20C24D32【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），设直线l1：y=k1（x1），直线l2：y=k2（x1），由题意可知，则k12+k22=1，联立y=k1(x-1)y2=4x，整理得：k12x2（2k12+4）x+k12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2k12+4k12=2+4k12，设D（x3，y3），E（x4，y4），同理可得：x3+x4=2+4k22，由抛物线的性质可得：丨AB丨=x1+x2+p=4+4k12，丨DE丨=x3+x4+p=4+4k22，|AB|+|DE|=8+4k12+4k22=8+4(k12+k22)k12k22=8+4k12k228+4(k12+k222)2=24，当且仅当k12=k22=12时，上式“=”成立|AB|+|DE|的最小值24，故选：C12（5分）若函数y=f（x），xM，对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数x，都有af（x）=f（x+T）恒成立，此时T为f（x）的类周期，函数y=f（x）是M上的a级类周期函数若函数y=f（x）是定义在区间0，+）内的2级类周期函数，且T=2，当x0，2）时，f(x)=12-2x2，0x1f(2-x)，1x2函数g(x)=-2lnx+12x2+x+m若x16，8，x2（0，+），使g（x2）f（x1）0成立，则实数m的取值范围是（）A(-，52B(-，132C(-，-32D132，+)【解答】解：根据题意，对于函数f（x），当x0，2）时，f(x)=12-2x2，0x1f(2-x)，1x2，分析可得：当0x1时，f（x）=122x2，有最大值f（0）=12，最小值f（1）=32，当1x2时，f（x）=f（2x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则此时有32f（x）12，又由函数y=f（x）是定义在区间0，+）内的2级类周期函数，且T=2；则在6，8）上，f（x）=23f（x6），则有12f（x）4，则f（8）=2f（6）=4f（4）=8f（2）=16f（0）=8，则函数f（x）在区间6，8上的最大值为8，最小值为12；对于函数g(x)=-2lnx+12x2+x+m，有g（x）=2x+x+1=x2+x-2x=(x-1)(x+2)x，分析可得：在（0，1）上，g（x）0，函数g（x）为减函数，在（1，+）上，g（x）0，函数g（x）为增函数，则函数g（x）在（0，+）上，由最小值f（1）=32+m，若x16，8，x2（0，+），使g（x2）f（x1）0成立，必有g（x）minf（x）max，即32+m8，解可得m132，即m的取值范围为（，132；故选：B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知向量a=(2sin，cos)，b=(1，-1)，且ab，则(a-b)2=185【解答】解：根据题意，向量a=(2sin，cos)，b=(1，-1)，若ab，则ab=2sincos=0，则有tan=12，又由sin2+cos2=1，则有sin=55cos=255或sin=-55cos=-255，则a=（255，255）或（255，255），则|a|=2105，则(a-b)2=a2+b22ab=185；故答案为：18514（5分）已知x，y满足约束条件x-2y02x-y0x+4y-180则目标函数z=32x8y的最小值为14【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立2x-y=0x+4y-18=0，解得A（2，4），z=32x8y=25x23y=25x-3y，令t=5x3y，化为y=53x-t3，由图可知，当直线y=53x-t3过A时，直线在y轴上的截距最大，t有最小值为2目标函数z=32x8y的最小值为2-2=14故答案为：1415（5分）在等比数列an中，a2a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设bn=a2n1a2n，nN*，则数列bn的前2n项和为112(1-42n)【解答】解：等比数列an中，a2a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设首项为a1，公比为q，则：a2a3=2a1a4+2a7=34，整理得：a1q3=2a1q3+2a1q6=34，解得：a1=14q=2则：an=a1qn-1=2n-3，所以：bn=a2n1a2n=22n-32-22n-3=22n4，则：T2n=-14(1-42n)1-4=112(1-42n)故答案为：112(1-42n)16（5分）如图，在直角梯形ABCD中，ABBC，ADBC，AB=BC=12AD=1，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EFAD于点F，将DEF沿EF折起到PEF的位置，并使PFAF，则五棱锥PABCEF的体积的取值范围为（0，13）【解答】解：PFAF，PFEF，AFEF=F，PF平面ABCD设PF=x，则0x1，且EF=DF=x五边形ABCEF的面积为S=S梯形ABCDSDEF=12（1+2）112x2=12（3x2）五棱锥PABCEF的体积V=1312（3x2）x=16（3xx3），设f（x）=16（3xx3），则f（x）=16（33x2）=12（1x2），当0x1时，f（x）0，f（x）在（0，1）上单调递增，又f（0）=0，f（1）=13五棱锥PABCEF的体积的范围是（0，13）故答案为：(0，13)三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）已知ABC的内角A，B，C的对边a，b，c分别满足c=2b=2，2bcosA+acosC+ccosA=0，又点D满足AD=13AB+23AC（1）求a及角A的大小；（2）求|AD|的值【解答】解：（1）由2bcosA+acosC+ccosA=0及正弦定理得2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，即2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，在ABC中，sinB0，所以cosA=-12又A（0，），所以A=23在ABC中，c=2b=2，由余弦定理得a2=b2+c22bccosA=b2+c2+bc=7，所以a=7（2）由AD=13AB+23AC，得AD2=(13AB+23AC)2=49+49+4921(-12)=49，所以|AD|=2318（12分）在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且BC=BB1=2，A1AB=A1AD=60（1）求证：BDCC1；（2）若动点E在棱C1D1上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为714【解答】解：（1）连接A1B，A1D，AC，因为AB=AA1=AD，A1AB=A1AD=60，所以A1AB和A1AD均为正三角形，于是A1B=A1D设AC与BD的交点为O，连接A1O，则A1OBD，又四边形ABCD是正方形，所以ACBD，而A1OAC=O，所以BD平面A1AC又AA1平面A1AC，所以BDAA1，又CC1AA1，所以BDCC1（2）由A1B=A1D=2，及BD=2AB=2，知A1BA1D，于是AO=A1O=12BD=22AA1，从而A1OAO，结合A1OBD，A1AC=O，得A1O底面ABCD，所以OA、OB、OA1两两垂直如图，以点O为坐标原点，OA的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），C（1，0，0），DB=(0，2，0)，BB1=AA1=(-1，0，1)，D1C1=DC=(-1，1，0)，由DD1=AA1=(-1，0，1)，得D1（1，1，1）设D1E=D1C1（0，1），则（xE+1，yE+1，zE1）=（1，1，0），即E（1，1，1），所以DE=(-1，1)设平面B1BD的一个法向量为n=(x，y，z)，由nDB=0nBB1=0得y=0-x+z=0令x=1，得n=(1，0，1)，设直线DE与平面BDB1所成角为，则sin=|cosDE，n|=|1(-1)+0+11|22+(-1-)2+1=714，解得=12或=-13（舍去），所以当E为D1C1的中点时，直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为71419（12分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N（，2），利用该正态分布，求Z落在（14.55，38.45）内的概率；将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，30）内的包数为X，求X的分布列和数学期望附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为=142.7511.95；若ZN（，2），则P（Z+）=0.6826，P（2Z+2）=0.9544【解答】解：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x为x=50.1+150.2+250.3+350.25+450.15=26.5（2）Z服从正态分布N（，2），且=26.5，11.95，P（14.55Z38.45）=P（26.511.95Z26.5+11.95）=0.6826，Z落在（14.55，38.45）内的概率是0.6826根据题意得XB（4，12），P(X=0)=C40(12)4=116；P(X=1)=C41(12)4=14； P(X=2)=C42(12)4=38；P(X=3)=C43(12)4=14；P(X=4)=C44(12)4=116X的分布列为X01234P116143814116E(X)=412=220（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和kAD+kBD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由【解答】解：（1）由已知可得ca=222csin4=2a2=b2+c2解得a2=2，b2=c2=1，所求椭圆方程为x22+y2=1（2）由x22+y2=1y=kx+2得（1+2k2）x2+8kx+6=0，则=64k224（1+2k2）=16k2240，解得k-62或k62设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-8k1+2k2，x1x2=61+2k2，设存在点D（0，m），则kAD=y1-mx1，kBD=y2-mx2，所以kAD+kBD=y1x2+y2x1-m(x1+x2)x1x2=2kx1x2+(2-m)(x1+x2)x1x2=6k-4k(2-m)3要使kAD+kBD为定值，只需6k4k（2m）=6k8k+4mk=2（2m1），k与参数k无关，故2m1=0，解得m=12，当m=12时，kAD+kBD=0综上所述，存在点D(0，12)，使得kAD+kBD为定值，且定值为021（12分）已知函数f（x）=ex2（a1）xb，其中e为自然对数的底数（1）若函数f（x）在区间0，1上是单调函数，试求实数a的取值范围；（2）已知函数g（x）=ex（a1）x2bx1，且g（1）=0，若函数g（x）在区间0，1上恰有3个零点，求实数a的取值范围【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）=ex2（a1）xb，其导数为f（x）=ex2（a1），当函数f（x）在区间0，1上单调递增时，f（x）=ex2（a1）0在区间0，1上恒成立，2（a1）（ex）min=1（其中x0，1），解得a32；当函数f（x）在区间0，1单调递减时，f（x）=ex2（a1）0在区间0，1上恒成立，2（a1）（ex）max=e（其中x0，1），解得ae2+1综上所述，实数a的取值范围是(-，32e2+1，+)（2）函数g（x）=ex（a1）x2bx1，则g（x）=ex2（a1）xb，分析可得f（x）=g（x）由g（0）=g（1）=0，知g（x）在区间（0，1）内恰有一个零点，设该零点为x0，则g（x）在区间（0，x0）内不单调，所以f（x）在区间（0，x0）内存在零点x1，同理，f（x）在区间（x0，1）内存在零点x2，所以f（x）在区间（0，1）内恰有两个零点由（1）知，当a32时，f（x）在区间0，1上单调递增，故f（x）在区间（0，1）内至多有一个零点，不合题意当ae2+1时，f（x）在区间0，1上单调递减，故f（x）在（0，1）内至多有一个零点，不合题意；所以32ae2+1令f（x）=0，得x=ln（2a2）（0