第二章流体运动基本方程和基本规律

第二章流体运动的基本方程和基本规律,流体运动的基本方程和基本规律,三大守恒定律的简介迹线、流线、流管流体微团的运动分析速度位函数基本方程（一）：连续方程流函数旋涡运动基本方程（二）：动量方程基本方程（三）：能量方程（教材上没有，属必须掌握内容）三大基本方程的基本解法简介,自然科学中有三大守恒律：质量守恒、动量守恒和能量守恒。本章将利用这三大原理，推导出流体力学中的三个基本方程：连续方程、动量方程和能量方程。然后粗略介绍这三个方程的解法。,2.1三大守恒定律的简介,2.2迹线、流线、流管,空气动力学中，除了要求解密度场、压强场、温度场和速度场以外，还需要绘制流场的流动图画(FlowPatterns)。它能帮助我们直观形象地分析流体运动。为此，引入迹线图和流线的概念。,迹线(PathLine)：流体微团在流场中的运动轨迹。或者说，同一个流体微团，在不同时刻的空间坐标的连线。,流线(StreamLine)：流场中的一条曲线，线上各点的切向和该点的速度方向相同。如果流动是非定常的，由于速度矢量的大小和方向随时间变化而变化，所以不同时刻的流线形式也不相同。流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。,2.2迹线、流线、流管,流线是空间曲线,用表示。,2.2迹线、流线、流管,点A处的速度和平行。因此，由矢量叉乘的定义得流线方程为：,设是流线上的一个微段。,2.2迹线、流线、流管,在迪卡尔坐标系下，,笛卡尔坐标系下流线方程的微分形式：,2.2迹线、流线、流管,上式亦可表达为，,笛卡尔坐标系下流线方程的微分形式：,2.2迹线、流线、流管,在三维空间，在流场中取一条不为流线的封闭曲线，经过曲线上每一点作流线，所有这些流线集合构成的管状曲面被称为流管，如图。,由于流管由流线组成，因此流体不能穿出或者穿入流管表面。在任意瞬时，流场中的流管类似真实的固体管壁。对定常流动，直接运用积分形式的连续方程，可以证明穿过流管截面的质量流量是不变的。,流管(StreamTube),2.3流体微团的运动分析,流场中的流体微团,当它沿着流线做平移运动的同时，还可能有旋转、变形运动。微团旋转和变形量取决于速度场，本节的目的就是用速度场量化分析微元的旋转和变形运动。,流场中的微小流体团,2.3流体微团的运动分析,流体微团运动的分解,考虑xy平面内的二维流动。取流场中的一个微元体。假设在时刻t，流体微元是矩形。一般情况下流场是不均匀的，即流场中的各点速度的大小和方向都可能变化。因此该微团从t时刻的位置ABCD运动到t+Dt时刻的位置上，流体微团的体积、形状都发生了变化，而且也发生了旋转。整个运动是同时发生的，可以将这样的一个复杂的一般运动分解为几个简单的运动的合成如图所示。,流体微团的一般运动,流体微团在xy平面的角速度定义为AB边和AC边的角速度的平均值，记作，因此，,定义AB边和AC边的角速度分别为，和,2.3流体微团的运动分析,由，,有，,角速度,2.3流体微团的运动分析,上面的分析只考虑了在二维xy平面内的运动。对一般三维空间流体微团的角速度是指向某特定方向的矢量，,上式用速度场表达了流体微团的角速度，更准确地说，是用速度场的导数表示了流体微团的角速度。,2.3流体微团的运动分析,旋度：定义为旋转角速度的两倍，记为。,1）如果在流动中处处成立，流动称为有旋流动。这表明流体微团在流动过程中具有一定的旋转角速度。,旋度,2）如果在流场中处处成立，流动称为无旋流动。这表明流体微团没有角速度，在空间作纯粹的平移运动。,3）二维无旋流动条件：,2.3流体微团的运动分析,再回到前面xy平面内的二维流动时流体微团的运动分析。,角变形率,设AB和AC之间的夹角为k。当流体微团在流场中运动时，k也会相应改变。,在t时刻，k=90o。在t+Dt时刻，k也会变化了Dk，,在粘性流动中，角变形量之半随时间变化是一个非常重要的量，称为角变形率，用个gz来表示。,2.3流体微团的运动分析,角变形：流体微团在xy平面内的k的变化。规定当k减小时角变形为正。因此，,角变形=,2.3流体微团的运动分析,类似，在yz和zx平面上流体微团的角变形率为，,2.3流体微团的运动分析,角速度（以及旋度）和角变形率只取决于流场速度的导数，把速度的导数写成如下矩阵形式，,对于无旋流动来说，存在一个标量函数，速度矢量恰好等于其梯度。,即一个标量函数的梯度的旋度等于0。从上面的式子中可以得出，,2.4速度位函数,如果在流场中处处成立，流动称为无旋流动。,第一章的作业中曾经做过下式的证明，,标量函数就称为速度位函数或速度势函数(VelocityPotential)。简称位函数。,对于无旋流动来说，存在一个标量函数，速度矢量恰好等于其梯度。,2.4速度位函数,2.4速度位函数,在球坐标系中速度位的表达式为，,在柱坐标系中速度位的表达式为，,2.5基本方程（一）：连续方程,2.5.4连续方程的物质导数形式,2.5.1连续方程的物理意义,2.5.2连续方程的积分形式,2.5.3连续方程的微分形式,2.5基本方程（一）：连续方程,连续方程描述的是流体力学中的质量守恒规律：,流出控制体的质量流量等于控制体内质量随时间的减少率。,“物质即不能创造也不能消灭”,连续方程的物理意义：,和前面推导的物理意义不同，那里采用的是运动的控制体，这里我们采用位置在空间固定的控制体，即控制体固定在空间某个位置，流体从中穿过。,2.5基本方程（一）：连续方程,在第一章中，我们讨论了几种用来研究流体运动的模型，现在对这些流体模型运用基本的物理原理来推导流体运动的基本方程。,连续方程的积分形式：,固定控制体,显然，和前面的推导不同，控制体的体积和控制面都不随时间变化，但是由于流场的非定常特性，控制体内所包含的质量是随时间变化的。,2.5基本方程（一）：连续方程,此方程是对在空间位置固定的有限控制体运用质量守恒定律得到的结果，称为连续方程。它是流体力学中最基本的方程之一。,上式就是连续方程的积分形式。很多情况下会运用到这种形式的连续方程，它可以用来解释某个有限区域空间的气动现象，而不必关心流场中某个点的具体细节。然而，有时候我们需要关心流场的细节，就必须对所取定点运用连续方程进行分析。在这种情况下，积分形式的连续方程并不适用。然而从积分形式的连续方程可以推导出微分形式的连续方程，这种形式的连续方程是与空间具体点的流动特性相连的。,2.5基本方程（一）：连续方程,由于推导时所用的控制体的空间位置固定，所以积分的极限形式也是固定的。于是对时间求偏导数可以放到体积分符号里面。,根据矢量场面积分和体积分的关系(奥高公式)，有,因此，,连续方程的微分形式：,分析积分形式中的被积函数，如果被积函数的值是有限的，那么此方程要求它在控制体的一部分区域的积分和剩余的区域的积分大小相等，符号相反，这样在整个控制体内的积分才为零。然而有限控制体是任意的，因此对任意控制体，都要求要此方程的积分为零，唯一方法是被积函数在控制体内所有点值都为零。因此,2.5基本方程（一）：连续方程,上式就是连续方程的微分形式。该方程建立了流场中某点的流动变量之间的关系，与积分形式的连续方程相反，后者反应的是流场中一个有限空间的流动变量之间的关系。,2.5基本方程（一）：连续方程,首先引入一个矢量记号：它表示标量和矢量乘积的散度等于标量乘以矢量的散度加上矢量点乘标量的梯度。,连续方程的物质导数形式：,第一章我们学习了物质导数，下面我们把连续方程表示成物质导数的形式。,？,考虑微分形式给出的连续方程,2.5基本方程（一）：连续方程,上式即是用物质导数表现的连续方程的形式。,应用上述的矢量记号，上式变为,此方程中前两项的和就是密度的物质导数。因此有，,2.7旋涡运动,2、速度环量；斯托克斯定理,3、毕奥-萨瓦定理以及直线涡的诱导速度,4、亥姆霍兹旋涡定理,1、涡线、涡管以及旋涡强度,2.7旋涡运动,前面我们已经指出，流体的运动可以分为无旋运动和有旋运动两种，无旋运动是流场中微团的旋转角速度等于e=0的运动，而有旋运动则是流场中微团的旋转角速度e0的运动。,2.7旋涡运动,有旋运动又称作旋涡运动。旋涡运动是自然界、日常生活中以及工程实际中常碰到的现象。例如龙卷风是一种强大的旋涡运动；在船尾的后面，河床的拐弯处以及水管的突然扩大处等都会产生旋涡；飞机在飞行同时也会产生旋涡。总之旋涡运动是实际存在的一种重要的运动，因而对于旋涡运动的研究有着重要的意义。,此式表明旋涡场是无源场。,2.7旋涡运动,如同全流场可以用流线描述一样，有旋运动的旋涡场也可以用涡线来描述。因此由速度向量所构成的速度场里所引进的关于流线、流管、流量等一系列概念，可以套用到由旋转角速度向量所构成的旋涡场中来。,涡线，涡管以及旋涡强度,2.7旋涡运动,涡线：是充满旋涡流场中的一系列的曲线，在任意瞬时该曲线上微团的旋转角速度向量（旋转轴线方向按右手定则）都和曲线相切，右如图所示。,涡线,涡线方程：,ds,2.7旋涡运动,涡管：某瞬时，在旋涡场中任取一条非涡线的光滑封闭曲线（曲线不得与同一条涡线相交于两点），过该曲线的每一点作涡线，这些涡线形成的管状曲面称为涡管，见右图。,涡管:,2.7旋涡运动,涡通量：通过任一截面的涡量的面积分。定义为：,涡管的侧表面是涡面。在这个涡面上流体微团的角速度矢量与涡面的法向矢量相垂直。这表明涡通量不能穿越涡管表面。涡管截面大小和所取的围线的大小有关，因此涡管可大可小，甚至无限小，涡线是横截面积趋向于零的涡管。,涡通量：,旋涡强度，或称涡量强度：设在涡管上取一截面，截面面积为，则定义为,2.7旋涡运动,上式就是涡管的旋涡强度。对于同一涡管，旋涡强度为一常值。因为，,2.7旋涡运动,应该指出，虽然涡场、涡线、涡量等在概念上和流场、流线、流量等相似，但不能把两者混淆起来。,涡线和流线应该是不同的，如果运动有涡，便存在涡线，运动无涡则不存在涡线。但是只要有流体运动，不论是否有涡，流线总是存在的。,2.7旋涡运动,速度环量：如果积分路径为一封闭曲线，则速度线积分值的定义为速度环量，即，,速度环量、斯托克斯定理：,本章前面的内容给出了流场中流体微团的旋转运动以及旋度的概念。而在同一流动区域中所有流体旋度的总效应则是以速度的环量来体现的。,速度环量是标量，取逆时针积分方向为正。,2.7旋涡运动,斯托克斯定理表明：沿空间任一封闭曲线l上的环量，等于贯通以此曲线所成的任意曲面上旋度的面积分。根据此定理，一个涡管的旋涡强度可以以此涡管的围线的环量值代替，所以环量也就成了涡强的同义词。如果曲线所围成的区域中无涡通量，则沿此围线的环量为零。,斯托克斯定理：,2.7旋涡运动,斯托克斯定理表明，流场中若沿任意闭合曲线的速度环量为零，则流场中的流动是无旋的。,通常将围绕包含点涡闭合曲线上的速度环量称为点涡强度。,毕奥-萨瓦公式：用来确定诱导速度的大小。该公式指出,在不可压流动中，强度是G、微段长度dL的涡线对周围流场所产生得诱导速度为：,诱导速度：由旋涡存在而产生的速度。,2.7旋涡运动,直线涡的诱导速度：,诱导速度的方向是垂直纸面的，按图示方向，它指向外的。如果涡线的一端无限长且M的投影在另一端点，如果涡线两端都延伸到无穷远，对于无限长涡线所引起的诱导速度场，在与涡线垂直的平面上流动都是一样的，因此这种流动可以看作平面流动，通常称平面点涡流动。,a2,a1,h,2.8基本方程（二）：动量方程,1、动量方程的物理意义,2、动量方程的积分形式,3、动量方程的微分形式,4、动量方程的物质导数形式,2.8基本方程（二）：动量方程,下一步：用流场变量(压力、密度、速度)来表述(2-18)。,动量方程的物理意义：,动量方程描述的是动量守恒定律：控制体中动量随时间的变化率等于作用在控制体上的力。,牛顿第二定律常写成：,此式更一般的形式是：,此式表示的是动量定理：,力=动量随时间的变化率,（2-18）,2.8基本方程（二）：动量方程,第二项中，把看成是标量和矢量的积。运用矢量运算，该项可以展开为，,动量方程的物质导数形式：,下面用物质导数的形式来表示动量方程。考虑如下形式给出的x方向的动量方程的微分形式，,左端第一项可以展开为，,2.8基本方程（二）：动量方程,因此，动量方程的物质导数形式为，,2.9基本方程（三）：能量方程,1、能量方程的引入,2、能量方程的物理意义,3、能量方程的积分形式,4、能量方程的微分形式,5、能量方程的物质导数形式,6、方程组封闭的条件,2.9基本方程（三）：能量方程,对不可压流动，密度是常数。流场的主要变量是压强和速度。连续方程和动量方程都是关于和方程。因此，对定常的不可压流，连续方程和动量方程已经封闭。,对可压流动，密度也是一个变量。为了使该系统封闭，还需要一个基本方程，即本节的能量方程。,能量方程的引入：,在能量方程的推导过程中，引入了另外两个流场变量：内能e和温度T。对这两个变量，还需要引入附加的方程，这将在后面的内容中提到。,为单位质量的流体的内能，对于一个宏观静止的系统有，,能量方程描述的是能量守恒定律：根据热力学第一定律，系统内能的增加等于外界环境传给系统的热能以及外界环境对系统做功的和