第四章-金融资产定价理论

第四章 金融资产定价理论本章概述金融资产视为未来不确定现金流的载体，因此金融工程的核心是资产定价，资产定价理论可以分为绝对定价和相对定价两种思路。绝对定价的思路是在效用上寻 找与不确定现金流无差异的确定性现金流，本章在学习期望效用的基础上，给出了绝对定价的基本框架。而相对定价的思路则是给出金融资产相互之间价格的关系。 在无套利均衡意义下，绝对定价和相对定价可以统一在一起。进一步，本章还讨论了在动态环境下的金融市场，初步介绍了如何将两期环境的金融问题扩展到动态环境。第一节 定价的一般框架与绝对定价1.1 效用与定价一、期望效用 未来有N种状态，金融资产 L未来的不确定现金流及其相应的客观发生概率为：。则该金融资产带来的效用可用期望形式表达为： 其中 为von Neumann-Morgenstern效用函数。一般的，我们假设具有单调递增的性质，也即对待财富是一种“多多益善”的态度。二、确定性等值与价格 如果存在某个确定性的现金流 W使得其带来的效用与金融资产L的期望效用相等，即，则称W为L的确定性等值。如果考虑效用在时间上的贴现，则确定性等值就是当前为了得到未来的不确定现金流而支付的价格，也即 其中 为效用的贴现率。1.2 风险溢价 一、对待风险的态度与效用函数凹性 面对一个不确定性现金流，投资者如果更加偏好其期望值，也即投资者接受公平赌博的结果，那么称其为风险规避的，也即 ，其中。在图4-1中，我们以为例，可以看出，效用函数为凹函数时，投资者是风险规避的。 此外，如果 ，则称其为严格风险规避，对应效用函数为严格凹函数；如果，则称其为风险喜好，对应效用函数为凸函数；如果，则称其为风险中性，对应效用函数为仿射函数，即。 图4-1 函数的凹性和对待风险的态度 二、风险溢价风险溢价就是金融资产未来现金流的期望值减去其确定性等值，用以补偿投资者承担风险应该得到的回报，也即：。对于单调上升的vN-M函数：当时，称为风险规避；当时，称为风险中性；当时，称为风险喜好。如果考虑效用在时间上的贴现，。记的净收益率为，或者分解为。其中为无风险收益率，与的凹性和效用的贴现率有关；有时我们也把称为风险溢价。根据以上关系可以得到， 1.3 绝对定价一、定价的一般公式金融资产未来的现金流分成T期支付，如图4-2所示。 图4-2在效用具有时间上的加法可分性的条件下，根据上式，对第i期（i=1T）现金流的定价为：其中，表示第i期现金流大小，表示第i期现金流的不确定性因素；表示几何平均方式年化以后的i期的无风险收益率，具体含义在第五章利率理论部分详细介绍；表示第i期的不确定现金流对应的年化以后的风险溢价。另一方面，第i期的不确定现金流可以采取迭代贴现的方式，也即按照的收益率折现到第i-1期，再按照的收益率折现到第i-2期，依次类推一直到当前，也即： 对于当前来说，未来各期的和都是未知的，受到金融市场未来新到达的信息影响，因此都是随机的。详细分析见本章第三节。金融资产的价格为各期现金流当前价格的叠加，也即： 二、债券定价、股票定价和衍生品定价在金融学、金融市场学、投资学等课程中，我们学习过债券定价模型和股票定价模型。这些模型都可以统一到这个绝对定价框架下。对于主权债，比如国债，为常数，即票面值和息票率的乘积，还加上票面值，但是没有违约风险，因此=1。故国债要求的风险溢价=0。对于非主权债，比如企业债和市政债券等，存在违约风险，因此，故企业债需要有一定的风险溢价，称为信用价差。对于股票，不确定性因素更多。首先终期T是不确定的，现金流支付时间也是不确定的，以及影响现金流支付数量的因素也是不确定的，等等。因此股票要求有风险溢价，资本资产定价模型（CAPM）就是给这个风险溢价进行定价的理论。由于影响股票未来现金流的不确定性因素太多太复杂，一般我们采取比较简单的定价模型，就是公司财务中学过的股利贴现模型（Dividend Discount Model, DDM）。对于衍生品定价，由于衍生品的现金流通常可以由基础金融资产复制出来，因此更多的采取相对定价方法。但是同样也可以类比其绝对定价模型。第二节 无套利均衡与相对定价2.1 套利机会与无套利定价法则一、套利机会与一价法则 市场有三种金融资产，未来可能出现两种状态，收益矩阵如下45-2587三种金融资产的价格向量为：1,5,3，这个市场的价格体系是否合理？构建三种金融资产的头寸为a1,a2,a3使得未来现金流为0，也即 解得， 而该头寸当前的现金流为 可见，存在着某种金融资产组合使得未来现金流为0，而当前现金流不为0，这是一种套利机会。投资者可以持有51单位资产一的多头，38单位资产二的空头，和7单位资产三的多头，即可以得到当前118元的获利。金融市场要实现无套利机会，未来现金流相同的金融资产组合必须有相同的价格，或者未来现金流为0的组合，当前现金流必须为0。这就是一价法则，又称为线性定价法则，是金融工程等价复制原理的核心。对于一价法则，我们需要从三个层次来理解：第一，考虑跨市场交易成本后，同种资产在不同市场必须同价；第二，齐次性，即没有规模经济或规模不经济，批发价和零售价相同；第三，加法可分性，即没有范围经济或范围不经济，没有上市公司的收购或兼并。二、套利机会与正定价法则同上例，三种金融资产的价格向量为：1,5,139/7，价格体系合理吗？同样，构建三种金融资产的头寸为a1,a2,a3使得未来现金流为0，该组合当前现金流为， 也即第三种金融资产可以由前两种复制，故可剔除，只考虑前两种资产的价格体系。构建两种金融资产的头寸为a1,a2使得未来第一种状态下现金流为1，第二种状态下现金流为0，也即 解得， 由线性定价法则知道，该头寸当前的现金流为 可见，存在着某种金融资产组合使得未来现金流大于等于0，而当前现金流也大于等于0，这是一种套利机会。投资者可以持有8/7单位资产一的多头，5/7单位资产二的空头，即可以得到当前17/7元以及未来在状态一情况下1元的获利。金融市场要实现无套利机会，未来现金流大于0的金融资产组合，其当前现金流必须小于0，这就是正定价法则。正定价法则表明，金融市场无套利均衡下，内 在价值相对高（表现为未来各种状态的现金流）的金融资产应该有相对高的价格。金融资产就是一种当前现金流净流出和未来现金流净流入之间的平衡关系，在正定 价法则中也得以体现。这个平衡关系怎么确定，就由绝对定价方法中的效用等价来决定，依赖于效用函数的凹性和效用的贴现。三、无套利定价与期权二叉树定价我们可以通过期权二叉树定价来理解无套利均衡的思想和方法。在下例中，股票和期权未来现金流有两种状态，分别是上涨u和下跌d。 期权未来现金流用随机变量表示，当前价格为C，股票未来现金流用随机变量表示，当前价格为S。假设1单位的期权多头，可以用h单位的股票空头对冲风险。根据一价法则，无套利均衡条件为： 未来上涨和下跌两种状态，期权和股票组合风险实现对冲，因此有 由两式可解得， 代入（2）得， 假如期权下期行权，其未来现金流为： 此为期权定价的边界条件。 令，代入（2）得， 进一步的，我们可以对进行讨论。第一，如果，q0，出现了套利机会，因为股票未来收益最差的情况都比无风险收益好，因此可以大量借钱投资股票，并且股票上的风险用期权空头对冲；第二，1-q0，也出现了套利机会，因为股票未来收益最好的情况都比无风险收益差，因此可以卖空股票投资于无风险资产，并且股票上的风险用期权多头对冲。 从上可见，市场要实现无套利均衡，必须有，使得q0，并且1-q0。q与这样的资产组合的价格有关，及上涨情况下得到1单位现金流，下跌情况下得到0；1-q则与上涨情况下得到0单位现金流，下跌情况下得到1的资产组合的价格有关。2.2 状态价格定价与风险中性定价一、状态价格与定价 状态价格指的是在特定的状态发生时回报为1，否则回报为0的资产在当前的价格，这种资产学术上称为Arrow-Debru证券。 如果未来时刻有N种状态，而这N种状态的价格我们都知道，那么我们只要知道某种资产在未来各种状态下的回报状况以及市场无风险利率水平，我们就可以对该资产进行定价，这就是状态价格定价技术。 考虑二叉树情况下，基本证券1在证券市场上升时价值为1，下跌时价值为0；基本证券2恰好相反，在市场上升时价值为0，在下跌时价值为1。 基本证券1现在的市场价格是u，基本证券2的价格是d，分别被称为上升状态的价格和下降状态的价格。 根据无套利原理，复制品和被复制对象现在的市场价格应该相等： P=uPu+dPd 即uu+dd=1。 基本证券的组合是无风险的投资组合，其收益率应该是无风险收益率r,于是便有： 联立方程可解得： ，从中可以看出，u和d分别对应前面提到的q和1-q。 二、资产定价第一基本定理 有限状态情况下，金融市场无套利机会的充分必要条件是，存在一组正的状态价格：1,2 ,N，使得对于任何金融资产：P1,P2 ,PN，其当前价格P可以表达为： 注意到： 资产定价第一基本定理可以向无穷状态情况的扩展，只需要对无套利均衡的定义做一些数学上的修正。 三、风险中性概率与定价 在对未来现金流定价时，我们可以假定所有投资者都是风险中性的。在所有投资者都是风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，这是因为风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险。这就是风险中性定价原理。 由于在市场无套利均衡下，状态价格大于0，因此可以由状态价格定义风险中性概率为： 进一步由资产定价基本定理可以得到金融资产的风险中性定价方法： 其中 表示在风险中性概率下求期望。风险中性概率可以理解为一种主观概率，是各种状态的客观概率经过投资者边际效用替代率调整以后得到的概率。因此风险中性概率的分布受到投资者效用函数的影响，在这里第一节的绝对定价思想和相对定价思想统一为一体。 第三节 动态金融市场中的信息、套利与市场有效性3.1 金融变量跨时演变的数学模型简介一、金融中的随机过程随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。根据时间和变量，随机过程可以分为时间连续变量连续型随机过程、时间连续变量离散型随机 过程、时间离散变量连续型随机过程、时间离散变量离散型随机过程。金融中的随机过程是一种马尔可夫随机过程（Markov Stochastic Process）。在马氏过程中，只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。如果金融变量遵循马尔可夫过程，则其未来值的概率分布只取决于该变量现在的值，且具有某些时序特征。一般用布朗运动或者维纳过程描述。设t代表一个小的时间间隔长度，z代表变量z在时间内的变化，则标准维纳过程是标准正态分布在时间上的演进，满足以下两个特征：特征一：对于任何两个不同时间间隔t，z的值相互独立。特征二：z和t的关系满足：。当t0时，就可以得到极限的标准维纳过程：标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1。漂移率（Drift Rate）是指单位时间内变量z均值的变化值。方差率（Variance Rate）是指单位时间的方差。方差率也称为扩散率（Diffusion Rate），反映变量的波动性。如果我们令漂移率的期望值为a，方差率的期望值为b2，就可得到变量x的普通布朗运动：。二、Ito过程与Ito引理普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，可以得到伊藤过程（Ito Process）： Ito过程是非常重要的随机过程，在金融中有广泛的应用。若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G(x,t)将遵循如下过程： 这个结论称为Ito引理，是衍生产品定价的基础。三、金融变量的分类在统计学中，我们学习过各种经济变量的分类。在金融中，我们对金融变量的分类也类似与统计学中，但是又要反映金融的特点。一种分类思路是将金融变量分 为：指标变量和比率变量。对于指标变量，比如价格、货币供应量等；对于比率变量，比如利率、通胀率、收益率、就业率等。此外，对金融变量的还有另一种分类 思路，即分为时点量（存量）和时期量。对于时点量，比如货币供应量等；对于时期量（增量），比如证券交易量。通常情况下，时点量是某个时期量在时间上的累 积。金融变量随着时间的演变，也即金融随机过程一般可以分为扩散运动和平稳运动。扩散运动变现为金融变量随着时间的推进呈现越来越大的趋势，也即一种发散 形态。指标变量和很多存量的运动表现为扩散运动，通常其经过差分或微分（通常一阶）可能成为平稳运动。而平稳运动表现为金融变量随着时间的推进而趋向于某 个有限值，也即一种收敛形态。比率变量的运动表现为平稳运动。四、几何布朗运动和均值回复运动在数学上，通常用几何布朗运动描述扩散运动，比如股票价格用下列随机过程描述，即， 而通常用均值回复运动描述平稳运动，比如利率用下列随机过程描述，即， 五、信息冲击与金融变量的跨时演变前面对金融变量的描述，一般假定漂移率（反映金融变量期望值的跨时演变）和扩散率（反映金融变量波动性的跨时演变）都是时间恒定的。实际中，由于金融 市场不断有新的信息到达，金融变量未来的期望值和波动性也会因为新信息而发生改变，漂移率和扩散率也会随着时间而发生变化，甚至是随机的。以股票价格为 例，其变化将满足下列随机过程，即： 在很多情况下，漂移率的变化用均值回复过程来描述，即： 此外，可能由于新到达的信息量非常大，对金融变量形成一个冲击，金融变量将发生一个跳跃，通常引入泊松过程来描述这个跳跃。以股票价格变动为例， 其中的dq为泊松过程，定义为：六、波动性的动态过程对于随机波动率的一般模型通常为： 由于这个模型的适用性不强，现在金融实证研究一个广泛使用的波动率模型是广义自回归条件异方差模型（GARCH）。GARCH模型又可以分为多种，其中最常见的是GARCH(1,1)模型： 其中、和都为常数，且，为恒定的长期平均股票方差率。，即n时刻收益率对收益率均值的离差，可以看作是关于方差率的最新信息。 从式中可以看出，该模型意味着在n时刻的方差率是三个因素的加权平均：恒定的长期平均方差率、前一时期的方差率和关于方差率的最新信息。由于只建立在最新一期和估计值的基础上，因而被称为GARCH(1,1)。更一般的GARCH(p,q)模型则从最近p期的和最近q期的信息中估计方差率。3.2 金融市场的信息和交易一、三类信息在金融市场上可以获得的信息集根据其公开程度可以区分为：历史价格信息、基本面信息和内幕信息。历史价格信息和基本面信息构成公开信息，公开信息和内幕信息构成所有信息，是最大的信息集合。投资者历史价格信息的分析就是证券投资中的技术分析，对基本面信息的分析就是证券投资中的基本面分析。二、三种市场有效性根据价格反映的信息集不同，市场有效性假说分为弱式有效、半强式有效和强式有效。弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得超过平均收益率的收益。半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确地根据可获得的所有公开信息调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息以及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券。强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而且是可能获得的有关信息都已反映在股价中，因此任何信息（包括“内幕信息”）对挑选证券都没有用处。三、知情交易者、流动性交易者和噪音交易者金融市场有效的一个必要条件是市场上必须有知情的交易者。从资产定价原理看，不同交易者获得不同的信息，表现为对未来不确定现金流概率分布的认识不 同，或者有不同的偏好，交易者对同样的资产有着不同的估值。由于获得了更为准确的信息而得出更合理估值的交易者就是知情交易者。那些根据公开信息进行估值 的交易者就是流动性交易者，其交易完全是由于偏好的差异。另外还有一类交易者称为噪音交易者，这类交易者往往是基于短期走势对价格做出估计，往往扩大价格短期的波动性。 3.3 金融市场的套利一、套利和市场有效性套利是是有效市场的必要条件，是保证各种金融产品（如现货、远期、期权和互换）、各种期限结构（如即期利率期限结构、远期利率期限结构、附息票债券到期收益率期限结构、远期汇率期限结构等）、各地金融市场保持高度相关性的重要途径和力量。套利是利用资产定价的错误、价格联系的失常，以及市场缺乏有效性的其它机会，通过买进价格被低估的资产，同时卖出价格被高估的资产来获取无风险利润的交易策略。套利是市场无效率的产物，而套利的结果则促使市场效率的提高。市场能够套利的基本假定有：1没有交易费用和税收；2套利者可按无风险利率自由借贷；3套利者均可按市场中间价格买卖资产。二、套利交易的种类套利有五种基本的形式：空间套利、时间套利、工具套利、风险套利和税收套利。最明显和最直观的套利形式是空间套利（或称地理套利），它是指在一个市场上低价买进某种商品，而在另一市场上高价卖出同种商品，从而赚取两个市场间差价的交易行为。空间套利是最早的套利形式之一，也是大多数经营活动的主要形式。时间套利是指同时买卖在不同时点交割的同种资产，它包括现在对未来的套利和未来对未来的套利。工具套利就是利用同一标的资产的现货及各种衍生证券的价格差异，通过低买高卖来赚取无风险利润的行为。从前面关于衍生证券定价的分析中，我们看到各种 衍生证券的价格部分或全部取决于标的资产现货价格、利率、期限（或时间）、波动率等变量，当这些变量值已知时，我们就可推导出各种衍生证券价格之间的关 系。工具套利是各种套利形式中最振奋人心的一种。在这种套利形式中，多种资产或金融工具组合在一起，形成一种或多种与原来有着截然不同性质的金融工具，这 正是创造复合金融工具的过程。这个过程反过来也成立。一项金融工具可以分解成一系列的金融工具，且每一个都有着与原来的金融工具不同的特性，金融工具的组 合和分解正是金融工程的主要运用。风险套利是指利用风险定价上的差异，通过买低卖高赚取无风险利润的交易行为。根据高风险高收益原则，风险越高，所要求的风险补偿就越多。如果现实生活中各种风险资产的定价偏离了这个平价关系，就存在风险套利机会。税收套利是指利用不同投资主体、不同证券、不同收入来源在税收待遇上存在的差异所进行的套利交易。三、套利的局限从理论上讲，套利无需资本，也没有风险。当套利者卖出价格较高的证券，同时买进价格较低的“相同或本质上相似”的证券时，他就立即获得套利利润（等于 买卖价差），而其未来的净现金流一定等于零；或者他在套利时的净现金流为零，而其未来的净现金流有可能为正。然而，现实生活中的套利往往是有风险的，因此是有局限的。金融市场上的定价错误大多是由噪音交易者（Noise Trader）造成的。比如，噪音交易者对于某个资产的价格走势如果持悲观看法，就会大量抛售该资产使其价格走低。而套利者发现该资产价格相对于与该资产 “相同或本质上相似”的其他资产的价格而言被低估了，于是就买进该资产而卖出其他资产进行套利。但该套利在短期内面临着如下风险：噪音交易者在短期内可能 对该资产更悲观，进一步推低该资产价格，从而使套利组合在短期内面临亏损的危险。特别是当套利被放大数倍后，价格的不利变动可能使套利组合在短期内发生保 证金不足而被迫平仓。 此外，完美替代品的缺乏也限制了套利。所谓完美的替代品是指替代证券（或投资组合）的现金流与被替代证券（或投资组合）的现金流完全相同。当某种证券 的价格高于其内在价值时，投资者就可以卖出该证券，同时买进未来现金流与之完全相同的证券或投资组合。相反，当某种证券的价格低于其内在价值时，投资者就 可以买进该证券，同时卖出未来现金流与之完全相同的证券或投资组合。这种套利活动从长期看是无风险的。对于期货、期权等衍生证券来说，通常较容易找到完美 的替代品。但在很多情况下，证券现货完美的替代品是很难找到的。套利者往往只能找到近似的替代品，这就使套利者面临风险。例如，当套利者发现股票市场的价 格被整体高估时，他找不到股票组合的替代组合。第四节 远期与期货定价4.1 远期价格和期货价格的关系一、基本假设和符号 （一）基本的假设 为分析简便起见，本节的分析是建立在如下假设前提下的： 1没有交易费用和税收。 2市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。 3远期合约没有违约风险。 4允许现货卖空行为。 5当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动，从而使套利机会消失，我们算出的理论价格就是在没有套利机会下的均衡价格。 6期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。这意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头和空头地位。 （二）符号 本节将要用到的符号主要有： T：远期和期货合约的到期时间，单位为年。 t：现在的时间，单位为年。变量T和t是从合约生效之前的某个日期开始计算的，Tt代表远期和期货合约中以年为单位的剩下的时间。 S：标的资产在时间t时的价格。 ST：标的资产在时间T时的价格（在t时刻这个值是个未知变量）。 K：远期合约中的交割价格。 f：远期合约多头在t时刻的价值。 F：t时刻的远期合约和期货合约中标的资产的远期理论价格和期货理论价格，在本节中如无特别注明，我们分别简称为远期价格和期货价格。 r：T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率（年利率），在本节中，如无特别说明，利率均为连续复利。二、 远期价格和远期价值 在签订远期合约时，如果信息是对称的，而且合约双方对未来的预期相同，那么合约双方所选择的交割价格应使合约的价值在签署合约时等于零。这意味着无需成本就可处于远期合约的多头或空头状态。 我们把使得远期合约价值为零的交割价格称为远期价格（Forward Price）。这个远期价格显然是理论价格，它与远期合约在实际交易中形成的实际价格（即双方签约时所确定的交割价格）并不一定相等。但是，一旦理论价格 与实际价格不相等，就会出现套利（Arbitrage）机会。若实际价格高于理论价格，套利者就可以通过买入标的资产现货、卖出远期并等待交割来获取无风 险利润，从而促使现货价格上升、交割价格下降，直至套利机会消失，我们称这种套利方式为正向套利（cash-and-carry arbitrage）；若实际价格低于理论价格，套利者就可以通过卖空标的资产现货、买入远期来获取无风险利润，从而促使现货价格下降，交割价格上升，直 至套利机会消失，远期理论价格等于实际价格，我们称这种套利方式为反向套利（reverse cash-and-carry arbitrage）。在本节中，我们所说的对金融工具的定价，实际上都是指确定其理论价格。 这里要特别指出的是远期价格与远期价值的区别。一般来说，价格总是围绕着价值波动的，而远期价格跟远期价值却相去甚远。例如，当远期价格等于交割价格时， 远期价值为零。其原因主要在于远期价格指的是远期合约中标的物的远期价格，它是跟标的物的现货价格紧密相联的；而远期价值则是指远期合约本身的价值，它是 由远期实际价格与远期理论价格的差距决定的。在合约签署时，若交割价格等于远期理论价格，则此时合约价值为零。但随着时间推移，远期理论价格有可能改变， 而原有合约的交割价格则不可能改变，因此原有合约的价值就可能不再为零。三、 远期价格和期货价格的关系 根据罗斯等美国著名经济学家证明，当无风险利率恒定，且对所有到期日都不变时，交割日相同的远期价格和期货价格应相等。 但是，当利率变化无法预测时，远期价格和期货价格就不相等。至于两者谁高则取决于标的资产价格与利率的相关性。当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格 高于远期价格。这是因为当标的资产价格上升时，期货价格通常也会随之升高，期货合约的多头将因每日结算制而立即获利，并可按高于平均利率的利率将所获利润 进行再投资。而当标的资产价格下跌时，期货合约的多头将因每日结算制而立即亏损，而他可按低于平均利率的利率从市场上融资以补充保证金。相比之下，远期合 约的多头将不会因利率的变动而受到上述影响。因此在这种情况下，期货多头显然比远期多头更具吸引力，期货价格自然就大于远期价格。相反，当标的资产价格与 利率呈负相关性时，远期价格就会高于期货价格。 远期价格和期货价格的差异幅度还取决于合约有效期的长短。当有效期只有几个月时，两者的差距通常很小。此外，税收、交易费用、保证金的处理方式、违约风险、流动性等方面的因素或差异也都会导致远期价格和期货价格的差异。但在现实生活中，期货和远期价格的差别往往可以忽略不计。例如，Cornell和Reinganum（1981）、Park和Chen（1985）在估计 外汇期货和远期之间的合理差价时，都发现盯市所带来的收益太小了，以至于在统计意义上，远期和期货价格之间并没有显著的差别。因此，在大多数情况下，我们 仍可以合理地假定远期价格与期货价格相等，并都用F来表示。在以下的分析中，对远期合约的定价同样适用于期货合约。4.2 远期的定价一、无收益资产远期合约的定价 无收益资产是指在到期日前不产生现金流的资产，如零息债券。 （一）无收益资产远期合约多头的价值 例如，为了给无收益资产的远期定价我们可以构建如下两种组合： 组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（Tt）的现金； 组合B：一单位标的资产。 在组合A中，Ke-r（Tt）的现金以无风险利率投资，投资期为（Tt）。到T时刻，其金额将达到K。这是因为：Ke-r（Tt）er（Tt）=K 在远期合约到期时，这笔现金刚好可用来交割换来一单位标的资产。这样，在T时刻，两种组合都等于一单位标的资产。根据无套利原则，这两种组合在t时刻的价值必须相等。即： f+ Ke-r（Tt）=S f=SKe-r（Tt）（4.1） 公式（4.1）表明，无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差额。或者说，一单位无收益资产远期合约多头可由一单位标的资产多头和Ke-r（Tt）单位无风险负债组成。 （二）现货远期平价定理 由于远期价格（F）就是使合约价值（f）为零的交割价格（K），即当f=0时，K=F。据此可以令（4.1）式中f=0，则 F=Ser（Tt） （4.2） 这就是无收益资产的现货远期平价定理（Spot-Forward Parity Theorem），或称现货期货平价定理(Spot-Futures Parity Theorem)。式（4.2）表明，对于无收益资产而言，远期价格等于其标的资产现货价格的终值。 为了证明公式（4.2），我们用反证法证明等式不成立时的情形是不均衡的。 假设F Ser（Tt），即交割价格大于现货价格的终值。在这种情况下，套利者可以按无风险利率r借入S现金，期限为Tt。然后用S购买一单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格为F。在T时刻，该套利者就可将一单位标的资产用于交割换来F现金，并归还借款本息Ser（Tt），这就实现了FSer（Tt） 的无风险利润。 若F (S-I)er（Tt），即交割价格高于远期理论价格。这样，套利者就可以借入现金S，买入标的资产，并卖出一份远期合约，交割价为F。这样在T时刻，他需要还本付息Ser（Tt），同时他将在Tt期间从标的资产获得的现金收益以无风险利率贷出，从而在T时刻得到Ier（Tt）的本利收入。此外，他还可将标的资产用于交割，得到现金收入F。这样，他在T时刻可实现无风险利润F(SI)er（Tt）。 其次再假设F(S-I)er（Tt），即交割价格低于远期理论价格。这时，套利者可以借入标的资产卖掉，得到现金收入以无风险利率贷出，同时买入一份交割价为F的远期合约。在T时刻，套利者可得到贷款本息收入Ser（Tt），同时付出现金F换得一单位标的证券，用于归还标的证券的原所有者，并把该标的证券在Tt期间的现金收益的终值Ier（Tt）同时归还原所有者。这样，该套利者在T时刻可实现无风险利润(ST)er（Tt）F。 从以上分析可以看出，当公式（4.6）不成立时，市场就会出现套利机会，套利者的套利行为将促成公式（4.6）成立。三、支付已知收益率资产远期合约的定价 支付已知收益率的资产是指在到期前将产生与该资产现货价格成一定比率的收益的资产。外汇是这类资产的典型代表，其收益率就是该外汇发行国的无风险利率。股 价指数也可近似地看作是支付已知收益率的资产。因为虽然各种股票的红利率是可变的，但作为反映市场整体水平的股价指数，其红利率是较易预测的。远期利率协 议和远期外汇综合协议也可看作是支付已知收益率资产的远期合约。 为了给出支付已知收益率资产的远期定价，我们可以构建如下两个组合： 组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（Tt）的现金； 组合B：e-q（Tt）单位证券并且所有收入都再投资于该证券，其中q为该资产按连续复利计算的已知收益率。 显然，组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券。组合B拥有的证券数量则随着获得红利的增加而增加，在时刻T，正好拥有一单位标的证券。因此在t时刻两者的价值也应相等，即： （4.7）公式（4.7）表明，支付已知红利率资产的远期合约多头价值等于e-q(T-t)单位证券的现值与交割价现值之差。或者说，一单位支付已知红利率资产的远期合约多头可由e-q（Tt）单位标的资产和Ke-r（Tt）单位无风险负债构成。 根据远期价格的定义，我们可根据公式（4.7）算出支付已知收益率资产的远期价格： （4.8） 这就是支付已知红利率资产的现货远期平价公式。公式（4.8）表明，支付已知收益率资产的远期价格等于按无风险利率与已知收益率之差计算的现货价格在T时刻的终值。例4.6 A股票现在的市场价格是25美元，年平均红利率为4，无风险利率为10，若该股票6个月的远期合约的交割价格为27美元，求该远期合约的价值及远期价格。 所以该远期合约多头的价值为1.18美元。其远期价格为： 4.3 远期和期货的定价模型目前，理论界对于远期与期货合约的定价模型主要有两大类，一是持有成本模型（cost-of-carry model），即远期价格（或期货价格）取决于标的资产的现货价格以及从当前时刻储存该标的资产直到远期（或期货）合约交割日这段期间内的总成本。二是风险收益模型，又称为预期模型（expectations model），即当前的远期价格（或期货价格）等于市场预期的该合约标的资产在合约交割日的现货价格。前者主要适用于可持有性资产（carryable assets），后者则主要适用于不可持有性资产（non-carryable assets）。以下分析中，对期货合约的定价同样适用于远期合约。一、持有成本模型（一）完全市场假设下的期货定价 1投资性资产期货合约的定价 期货合约和远期合约都是在交易双方约定在将来某一时间按约定的条件买卖一定数量的某种标的资产的合约。因此，一般来说，在未来的T时刻要获得一单位标的资 产的方法可以有以下两种：一是在当前时刻（即t时刻）买入一份期货合约，期货价格为F，待合约到期时（即T时刻）再进行交割，获得一单位标的资产；二是在 当前时刻（即t时刻）以无风险利率r借入一笔资金买入一单位标的资产现货，现货价格为S，持有至T时刻（假设该期间内，除借款利率外无其他收益或成本支 出）。可见，以上两种策略在T时刻的价值应该相等，均等于T时刻一单位标的资产的价值。故： 如果实际价格高于或低于上述理论价格F，市场上就存在着套利机会，可以通过前文介绍的正向或反向套利来获取无风险收