数学北师大版八年级下册等腰三角形第一课时.ppt

1.1等腰三角形（1）,复习回顾1三角形全等,判定公理：三边对应相等的两个三角形全等（SSS）公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)性质公理：全等三角形的对应边相等、对应角相等.,你能用上面的公理证明下面的推论吗？推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS),命题的证明,证明:A=A,C=C（已知），B=B（三角形内角和定理），在ABC与ABC中A=A（已知）,AB=AB（已知）,B=B（已证）,ABCABC（ASA）.,已知:如图,在ABC和ABC中,A=A,C=C,AB=AB.求证:ABCABC.,几何的三种语言,回顾与思考1,推论:两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.,在ABC与ABC中，A=A，C=C，AB=AB，ABCABC（AAS）.,证明后的结论,以后可以直接运用.,你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?,推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线，底边上的高互相重合(三线合一).,你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?,复习回顾2,定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).,回顾与思考2,定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).,已知:如图,在ABC中,AB=AC.求证:B=C.,在RtABD与RtACD中，AB=AC（已知）,AD=AD（公共边）,ABDACD（HL）.,此时AD还是什么线?,证明:过点A作ADBC,交BC于点D.,B=C（全等三角形的对应角相等）.,定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).,如图,在ABC中,AB=AC(已知),B=C(等边对等角).,证明后的结论,以后可以直接运用.,推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一).,AB=AC,1=2(已知)，BD=CD,ADBC（等腰三角形三线合一）.,AB=AC,BD=CD(已知)，1=2,ADBC（等腰三角形三线合一）.,想一想,P3,AB=AC,ADBC(已知)，BD=CD,1=2（等腰三角形三线合一）,轮换条件1=2,ADBC,BD=CD,可得三线合一的三种不同形式的运用.,想一想,在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等）.,与同伴交流你在探索思路过程中的具体做法.,你能发现其中的一些相等的线段吗?,你能发现其中的一些相等的角吗?,你能证明发现的结论吗?,探索学习,例1求证:等腰三角形两底角的平分线相等.,证明:AB=AC(已知),ABC=ACB(等边对等角).又1=ABC,2=ACB(已知),1=2(等式性质).在BDC与CEB中DCB=EBC（已知）,BC=CB（公共边）,1=2（已证）,BDCCEB（ASA）.BD=CE(全等三角形的对应边相等).,已知:如图,在ABC中,AB=AC,BD,CE是ABC的角平分线.求证:BD=CE.,例题解析,例2求证:等腰三角形两腰上的中线相等.,证明:AC=AB(已知),ABC=ACB(等边对等角).又CM=AC,BN=AB(已知),CM=BN(等式性质).在BMC与CNB中，BC=CB（公共边）,MCB=NBC（已证）,CM=BN（已证）,BMCCNB（SAS）.BM=CN(全等三角形的对应边相等).,已知:如图,在ABC中,AB=AC,BM,CN是ABC两腰上的中线.求证:BM=CN.,命题证明,例3求证:等腰三角形两腰上的高相等.,证明:AB=AC(已知),ABC=ACB(等边对等角).又BP,CQ是ABC两腰上的高(已知),BPC=CQB=900(高的意义).在BPC与CQB中，BPC=CQB（已证）,PCB=QBC（已证）,BC=CB（公共边）,BPCCQB（AAS）.BP=CQ(全等三角形的对应边相等).,已知:如图,在ABC中,AB=AC,BP,CQ是ABC两腰上的高.求证:BP=CQ.,命题证明,这里是由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.,1.已知:如图,在ABC中,AB=AC(1)如果ABD=ABC/3,ACE=ACB/3呢?由此你能得到一个什么结论?(2)如果AD=AC/3,AE=AB/3呢?由此你能得到一个什么结论?你能证明得到的结论吗？,议一议,结论1:等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半.,结论2:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.,结论,前面已经证明了“等边对等角”，反过来，“等角对等边”成立吗?即有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?,已知:如图,在ABC中,BC.求证:AB=AC.,如：作BC边上的中线；作A的平分线作BC边上的高.,想一想,定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.,在ABC中，CB（已知），AB=AC（等角对等边）.,定理证明,这又是一个判定两条线段相等的方法.,练一练,1.如图,ABC中,D，E分别是AC，AB边上的点,BD与CE交于点O,给出下列四个条件:EBO=DCO，BEO=CDO，BE=CD，OB=OC.(1)上述四个条件中,哪两个条件可判定ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形).(2)选择的（1）小题的一种情形,证明ABC是等腰三角形.,O,;,练一练,2.现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形顶角的度数?,3690108,路边苦李古时候有个人叫王戍，7岁那年的某一天和小朋友在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小朋友们都跑去摘，只有王戍站着没动.小朋友问他为何不去摘，他说：“树长在路边，如果李子是甜的,那么早没了,现在李子那么多，肯定李子是苦的，不好吃.”小朋友摘来一尝，李子果然苦得没法吃.,开启智慧,小明说,在一个三角形中，如果两个角所对的边不相等,那么这两个角也不相等.,你认为这个结论成立吗?如果成立,你能证明它吗?,即在ABC中,如果ABAC,那么BC.,命题证明,小明是这样想的:,你能理解他的推理过程吗?,假设B=C,那么根据“等角对等边”得AB=AC,与已知条件ABAC相矛盾，因此假设不成立,原命题成立.即BC.,开启智慧,先假设命题的结论反面成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，所以假设不成立,原命题成立,你可要结识“反证法”这个新朋友噢!,反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.,这种证明方法称为反证法(reductiontoabsurdity),假设,归谬,结论,开启智慧,例4如何证明这个结论:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.,用反证法来证:证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假设不成立,原命题成立,即这五个数中至少有一个大于或等于1/5.,例题讲解,3.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：ABC求证：A，B，C中不能有两个角是直角,证明：假设A，B，C中有两个角是直角，不妨设A=B=90，则A+B+C=90+90+C180这与三角形内角和定理矛盾，所以A=B=90不成立所以一个三角形中不能有两个角是直角,随堂练习,4.用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60.,证明:假设A,B,C是ABC的三个内角,且都大于60,则A60,B60,C60,A+B+C180.这与三角形的内角和是18