数学解题“三引”

高考数学解题“三引”广东 柯厚宝在高考解题时,若能恰到好处地引入一些有力的工具,会对我们的解题工作带来很大的帮助.下面我们来探讨一下几种常用解题工具的引入.一、引入函数函数是联系运动与静止,变化与定值的有力工具.解题时,若能恰到好处地引入她,会对我们的解题工作带来很大的帮助.例1 若,则 A. B. C. D.解析：由题之模型,我们引入函数,可得.有(1)当时,为增函数;(2)当时,为减函数.于是得,删除A,D又,知,于是选C. 评注：由具体、特殊的数据或表达式，联想到一般的函数模型，直接引入函数，运用函数的工具解决了问题。更可贵的是，这种想法正与命题者的初衷不谋而合，看透了问题的本质，更可以对原命题作一般性的推广. 例2 若实数满足;.求证:。 分析：将所证的不等式作差变形得,由,设,这样我们就可以引入函数,借助函数的单调性来研究问题.解:由;.设,引入函数,可得.而,得,得0.(在时取等号)所以在上为减函数,得=1,即,于是得. 评注：通过变形后，再引入函，也是引入函数的一种常用手法。例3 已知函数,.()若,求证:;()是否存在实数,使方程有四个不同的实根?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.设质解析:()令.则=由,得,知在上为增函数.又在处连续,得在上为增函数,而,得=0,即.()由原方程得 ,令,并变形得 tyo图 1要使方程有四个不同实根,则要方程有两个不同正根.令,它们的图象如图1所示当直线与曲线在点=处相切时,由,得,于是,得切点为,这时切线方程为,即,与轴的交点为,要使直线与曲线在轴右边有两个不同交点,则,即.所以当时,原方程有四个不同的实根.评注:本题在解答过程中,3处引入了函数,第1次是通过作差手法引入的，第2，3次是根据等式（或不等式）的结构特点，两边取函数的手法引入的.这也是引入函数的常用手法.二、引入平面直角坐标系或空间直角坐标系 直角坐标系实现了数与形之间的真沟通.引入她,可使我们的解题工作左右逢源.例4 设满足约束条件,则使得目标函数的值最大的点()是 . 解析：引入平面直角坐标系,即可顺利解决线性规划问题.答案(2,3)例5 某人在山坡P处观看对面山崖顶上的一座铁塔,如图a所示,塔高BC=80(米),塔所在的山高OB=220(米),OA=200(米),图中所示的山坡可视为直线,且点P在直线上,与水平地面的夹角为,.试问,此人距水平地面多远时,观看塔的视角最大(不计此人的身高)? 图 a解:以O为原点建立平面直角坐标系（如图2）,则A(200,0),B(0,220),C(0,300).OAPalxyCB图 2直线的方程为,即.设点,则.由经过两点的直线的斜率公式得,.又由直线PC到直线PB的角的公式得=.要使达到最大,只须达到最小.由均值不等式得.当且仅当时,上式取得等号,故当时,最大.这时,点P的纵坐标为.由此实际问题知,所以最大时,最大.故当此人距水平地面60米高时,观看铁塔的视角最大. 评注：本题引入了平面直角坐标系及函数，使我们的解题工作一气呵成.例6 如图b，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EAEB1，已知AB=，BB1=2，BC=1，BCC1=，求：ABCEA1B1C1图 b（）异面直线AB与EB1的距离；（）二面角AEB1A1的平面角的正切值.解析:（I）以B为原点, 、分别为y、z轴建立空间直角坐标系(图3).由于BC=1，BB1=2，AB=，BCC1=，在三棱柱ABCA1B1C1中有B（0,0,0），A（0,0,），B1（0,2,0），图 3设又AB面BCC1B1，故ABBE. 因此BE是异面直线AB、EB1的公垂线，则，故异面直线AB、EB1的距离为1.（II）由已知有故二面角AEB1A1的平面角的大小为向量的夹角.三、引入向量 向量既有方向,又有大小.她是研究现代数学的有力工具.在解高考题时,我们若能引入她,可使我们的解题工作妙不可言.例7 若异面直线所成的角为,AB是公垂线,E,F分别是异面直线上到A,B距离为2和1的两点,当时,线段AB的长为 .abABEF21图 4解析:如图4, 由,得(1)当时,有,得;(2)当时,有,得. 评注：本题引入了向量的有向线段表示法帮助解题，使得解答简洁明了.例8, 已知都是正数,且,则函数的最小值是 .解析：由已知,我们作向量,则,.又,得.即,于是所求的最小值为1. 评注：本题根据问题的结构，引入向量的坐标表示法，解决了问题.ABCDEFA1B1C1D1图 c例9如图c,在长方体ABCDA1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1.(I) 求二面角CDEC1的正切值;(II) 求直线EC1与FD1所成的余弦值. 答案：(I) ，；(II)，.（详解留给读者） 评注：本题引入空间直角坐标系后，再引入向量的坐标表示，即可简洁、明快、一般性地得到解答。运用空间向量解答立体几何问题，乃近年