元微积分应用(曲率).ppt

一元微积分学,大学数学（一）,第三十二讲一元微积分的应用(五),脚本编写：刘楚中,平面曲线的曲率,第六章一元微积分的应用,本章学习要求：熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。,第六章一元微积分的应用,第七节平面曲线的曲率,一、曲率的概念,二、曲率的计算公式,三、参数方程下曲率的计算公式,四、曲率圆、曲率中心,我们已经讨论过曲线的凹凸性,知道如,判定曲线的弯曲程度.而在许多实际问题中,何判断曲线的弯曲方向,但是还不能描述和,都必须考虑曲线的弯曲程度,例如,道路的,弯道设计,梁的弯曲程度,曲线形的切削工,具的设计等等.,你认为应该如何描述,曲线的弯曲程度?,一、曲率的概念,单位弧长上的转角,曲率的概念,解,求半径为R的圆上任意一点处的曲率.,如图所示,在圆上任取一点M,则,故,即圆上点的曲率处处相同：,半径越小的圆,弯曲得越厉害.,设曲线方程为,则在曲线上点,处的曲率为,二、曲率的计算公式,证,如图所示,曲线在,故,又,从而,解,直线上任意一点处的曲率均为零.,俗话说,直线不弯曲.,解,哪一点曲率最大,哪一点曲率最小.,利用参数方程求导法求出,故,得驻点,故在各象限中,由此可得:,将它们代入曲率计算公式中即可得：,三、参数方程下曲率的计算公式,解,会出现导数的分母,为零的情形,相同,对称,故原问题可以转为求曲线,图形关于,在有些实际问题中,现在问你一下:(假设单位是统一的),如果告诉你一条曲线在点M处的曲率为,你能想象出它的弯曲程度吗？,如果告诉你有一个半径为5的圆,你能想象,出该圆上任何一点处的弯曲程度吗？,由此及前面讲的例题1,你有什么想法？,曲率圆,曲率半径,曲率中心,处可用一个相应的圆来描述曲线的弯曲程度,四、曲率圆、曲率中心,1.曲率圆、曲率中心的概念,2.曲率圆的性质,3.曲率中心的坐标,作其,法线,在法线指向曲线凹向的一侧上取一点Q,使,以Q为中心,R为半径所作的圆称为曲线在点,M处的曲率圆,圆心Q称为曲率中心,R称为,曲率半径.,1.曲率圆、曲率中心的概念,曲率圆与曲线在点M处相切,且在点M处,两者曲率相同.,曲率圆与曲线在点M处具有相同的一、二,阶导数.当讨论曲线在点M处与一、二阶,导数有关的局部性质时,可以通过讨论其相,应的曲率圆的局部性质来实现.,2.曲率圆的性质,则曲线在点,3.曲率中心的坐标,证,则,曲线在点,由于,故有,其斜率为,曲线在点M处切线的斜率为,从而,有,(1),(2),由(1),(2)两式消去,由于曲率圆总是位于曲