江苏苏州实验中学高二数学上学期第一次月考

江苏省苏州市实验中学2019-2020学年高二数学上学期第一次月考试题（含解析）一选择题（60分=12题*5分）1.观察下列各数：1,2,2,4,8,则该数列的第8项可能等于( )A. 256B. 1024C. 4128D. 8192【答案】D【解析】【分析】观察知，其规律为：从第三项起，每一项都等于其前相邻两项的积，即可得出【详解】观察知，各式的值构成数列1，2，2，4，8，其规律为：从第三项起，每一项都等于其前相邻两项的积，继续写出此数列为1，2，2，4，8，32，256，8192，第八项为8192故选：D【点睛】本题考查了通过观察分析猜想归纳数列的通项公式，属于基础题2.已知是公差为1的等差数列，为的前项和，则，则A. B. 12C. D. 10【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的前n项和公式求得a1，再代入通项公式即可得出【详解】an是公差为1的等差数列，S84S4，8a114（4a1），解得a1则a1091故选：C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3.已知等比数列满足,则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由题意可得,所以,故,选C.考点：本题主要考查等比数列性质及基本运算.4.已知数列an满足若a1=,则a2019 = ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据数列的递推公式，得到数列的取值具备周期性，即可得到结论【详解】，又a1，a22a1121，a32a2，a42a32，a52a4121，故数列的取值具备周期性，周期数是4，则，故选：B【点睛】本题主要考查数列项的计算，根据数列的递推关系是解决本题的关键根据递推关系求出数列的取值具备周期性是解决本题的突破口5.设的三个内角成等差数列，、成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形【答案】B【解析】【分析】先由的三个内角成等差数列，得出 ,又因为、成等比数列，所以，整理计算即可得出答案.【详解】因为的三个内角成等差数列，所以 ,又因为、成等比数列，所以所以 即 又因为 所以故选B【点睛】本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得，再利用三角公式转化，属于中档题.6.若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）A. B. 或C. D. 或【答案】C【解析】试题分析：由三个二次关系可知方程的解为且，设，所以，所以不等式为，解集为考点：三个二次关系与一元二次不等式解法7.已知数列中，且是等差数列，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：设数列的公差为，则，所以，故选B考点：等差数列的通项公式【名师点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题解决等差数列的问题有两种基本方法，一是基本量法，即用首项和公差表示出已知条件，求出首项和公差，从而可求通项和前项和，另一种是应用等差数列的性质：时，利用性质解题可以减少计算量本题另一种解法：因为数列是等差数列，所以，解得8.已知函数，若数列满足（），且是递增数列，则实数取值范围是_【答案】【解析】试题分析：因为，函数，（，且），且数列满足，且是递增数列，所以，在，是增函数由复合函数的单调性，在是增函数，所以，且，解得，考点：1分段函数的概念，2指数函数的单调性；3数列的性质【思路点睛】本题考查的知识点是分段函数，其中根据分段函数中自变量时，对应数列为递增数列，得到函数在两个段上均为增函数，且，从而构造出关于变量的不等式是解答本题的关键由函数，数列满足，且是递增数列，我们易得函数为增函数，根据分段函数的性质，我们可得函数在各段上均为增函数，根据一次函数和指数函数单调性，我们易得，且，且，由此构造一个关于参数的不等式组，解不等式组即可得到结论9.已知数列的前项和，若，则( )A. 420B. 780C. 390D. 80【答案】A【解析】【分析】由已知数列递推式可得a2k1+a2k+a2k+1+a2k+24k+2取k1，3，5，19，作和得答案【详解】由an+1+（1）nann，当n2k时，有a2k+1+a2k2k，当n2k1时，有a2ka2k12k1，当n2k+1时，有a2k+2a2k+12k+1，得：a2k+1+a2k11，+得：a2k+2+a2k4k+1，a2k1+a2k+a2k+1+a2k+24k+2S404（1+3+19）+2020420故选：A【点睛】本题考查数列递推式，考查了数列前n项和的求法，考查数学转化思想方法，是中档题10.已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】不等式为(*)，当时，(*)式即为，又（时取等号），（时取等号），所以，当时，(*)式为，又（当时取等号），（当时取等号），所以，综上故选A【考点】不等式、恒成立问题【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.11.已知数列an的前n项和为Sn，且满足4(n1)(Sn1)(n2)2an，则数列an的通项公式an等于()A. (n1)3B. (2n1)2C. 8n2D. (2n1)21【答案】A【解析】当n1时，4(11)(a11)(12)2a1，解得a18，当n2时，由4(Sn1)，得4(Sn11)，两式相减，得4an，即，所以ana1(n1)3，经验证n1时也符合，所以an(n1)3点睛：本题主要考查数列通项与前项和之间的关系以及累乘法求通项，属于中档题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.12.如图所示,点列满足：,，均在坐标轴上，则向量() A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由于点列An满足：|1，|2|+1，设，则a11，an+12an+1，变形为an+1+12（an+1），可知；数列an+1是等比数列，利用通项公式可得由于Ai均在坐标轴上（iN*），且A4n3，A4n2，A4n1，A4n，（nN*）分别在y轴的正半轴，x轴的正半轴，y轴的负半轴，x轴的负半轴可得向量的横坐标a2a4+a6a8+a2010a2012+a2014，向量的纵坐标a1a3+a5a7+a2011+a2013，再利用等比数列的前n项和公式即可得出【详解】点列An满足：|1，|2|+1，设，则a11，an+12an+1，化为an+1+12（an+1），数列an+1是等比数列，2n由于Ai均在坐标轴上（iN*），且A4n3，A4n2，A4n1，A4n，分别在y轴的正半轴，x轴的正半轴，y轴的负半轴，x轴的负半轴向量的横坐标a2a4+a6a8+a2010a2012+a2014（221）（241）+（261）（281）+（220101）（220121）+（220141）2224+2628+2201022012+2201411同理可得向量的纵坐标a1a3+a5a7+a2011+a2013向量故选：D【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、前n项和公式、向量的运算等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论和数形结合的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题二填空题（20分=4题*5分）13.已知等差数列的前n项和为，若，则_.【答案】【解析】由得，则.14.不等式x2|x|20的解集是_【答案】x|x2或x2【解析】【分析】分类去绝对值，分别求解不等式取交集，最后取并集【详解】x2|x|20，等价于或或x2或x2原不等式的解集为x|x2或x2故答案为：x|x2或x2【点睛】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键15.已知正项等比数列的公比，且满足，设数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，则实数的最大值为_【答案】【解析】由等比数列的性质可得，即，再结合可得，则公比，所以，故原不等式可化为，即，又因为，所以，应填答案。点睛：本题设置目的旨在考查等比数列的定义、通项公式的性质及前项等有关知识的综合运用。求解时先运用等比数列的通项的性质，求出，再结合可求得，进而求得公比，从而将问题化为求的最小值的问题。16.已知递增数列共有项，且各项均不为零，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则数列的各项和_【答案】【解析】当时，仍是数列中的项，而数列是递增数列，所以必有，利用累加法可得：，故，得，故答案为.点睛：本题主要考查了数列的求和，解题的关键是单调性的利用以及累加法的运用，有一定难度；根据题中条件从中任取两项，当时，仍是数列中的项，结合递增数列必有，利用累加法可得结果.三解答题（70分=10分+10分+12分+12分+12分+14分）17.已知等差数列an满足a32，前3项和S3. (1)求an的通项公式；(2)设等比数列bn满足b1a1，b4a15，求bn的前n项和Tn.【答案】（1）an.（2）Tn2n1.【解析】试题分析:(1)根据等差数列的基本量运算解出和,代入公式算出等差数列的通项公式;(2)计算出等比数列的首项和公比,代入求和公式计算.试题解析:(1)设an公差为d，由已知得解得a11，d，故an的通项公式an1，即an.(2)由(1)得b11，b4a158.设bn的公比为q，则q38，从而q2，故bn的前n项和Tn2n1.点睛:本题考查等差数列的基本量运算求通项公式以及等比数列的前n项和,属于基础题. 在数列求和中，最常见最基本的求和就是等差数列、等比数列中的求和，这时除了熟练掌握求和公式外还要熟记一些常见的求和结论，再就是分清数列的项数，比如题中给出的,以免在套用公式时出错18.已知.(1)解关于的不等式；(2)若不等式的解集为，求实数的值【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)由f(1)3a(6a)6a26a3，得a26a3b的解集为(1,3)等价于方程3x2a(6a)x6b0的两根为1,3，由根与系数的关系求解即可.试题解析：(1)f(x)3x2a(6a)x6，f(1)3a(6a)6a26a3，原不等式可化为a26a30，解得32a32.原不等式的解集为a|32ab的解集为(1,3)等价于方程3x2a(6a)x6b0的两根为1,3，等价于解得.19.已知等差数列的前n项和为，且数列的前n项和为，且，（1）求数列,的通项公式；（2）设， 求数列的前项和【答案】（1）；,（2）【解析】试题分析：（1）由题意，得，当n=1时，当n2时，两式相减，得数列为等比数列，（2）=考点：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式，等比数列的通项公式以及前n项和公式，以及数列求和点评：解决本题关键是（1）注意知道与的关系，求；常用；（2）注意项数20.某企业2017年纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力逐年下降，若不能进行技术改造，预测从2018年起每年比上一年纯利润减少20万元，2018年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第年（以2018年为第一年）的利润为万元（为正整数）.（1）设从今年起的前年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元（须扣除技术改造资金），求，的表达式；（2）依上述预测，从2018年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计利润超过不进行技术改造的累计纯利润？【答案】（1）；（2）4.【解析】【分析】（1）利用等差数列的求和公式可得，由等比数列的求和公式可得的表达式；（2）令,构造函数，根据函数的单调性，利用特殊值验证，从而可得结果.【详解】. .（2）令,设在单调递增,，,所以当时 ,即经过4年，进行技术改造后的累计利润超过不进行技术改造的累计纯利润 .【点睛】本题主要考查等比数列与等差数列的求和公式以及函数单调性的应用，考查的阅读能力与建模能力，属于中档题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.21.已知数列的前项和满足：，数列满足：对任意有.（1）求数列与数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，证明：当时，【答案】（1），（2）证明略【解析】试题分析：（1）本小题考察与的关系，当时利用得到，得到数列是以，公比的等比数列，得出的通项公式，而当时，根据得到，需要验证时的值；（2）根据（1）得到，可以知道用错位相减法求的前项和，得到，令=，利用函数的单调性即可证得结论；试题解析：（1）当时，所以， 当时，所以数列是以，公比的等比数列，通项公式为.由题意有，得.当时，于是得故数列的通项公式为（2） 证明：=，所以=，错位相减得=，所以，即，下证：当时，令=，=当时，即当时，单调减，又，所以当时，即，即当时，.考点：1.与的关系；2.错位相减法求数列的前n项和；3.函数单调性的应用；22.设数列的前项和，（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列前n项和为，求；（3）利用第二问结果，设是整数，问是否存在正整数n，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，说明理由【答案】（1）;（2）（3）当时，存在正整数，使等式成立，当时，不存在正整