广东深圳实验、珠海一中等六校高三数学第二次联考文

广东省深圳实验、珠海一中等六校2019届高三数学第二次联考试题 文（含解析）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1.设集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得，选D2.已知复数满足，（为的共轭复数）.下列选项（选项中的为虚数单位）中（ ）.A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】设，则，所以，得，所以或.本题选择C选项.3.已知，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得：本题选择A选项.4.等差数列中，则其前项和取最大值时的值为（ ）A. 503 B. 504 C. 503或504 D. 505【答案】C【解析】【分析】题目所给数列为等差数列，故将所给的两个条件都转化为的形式，解方程组解出，然后利用通项大于或等于零，求得最大时的值.【详解】由于数列为等差数列，故，解得，故，当时，解得，故当或时，取得最大值.故选C.【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式以及前项和公式.在求解等差数列通项的过程中，首先明确题目给定的数列是等差数列还是等比数列，若是等差数列，则将已知条件转化为和的形式，若是等比数列，则将已知条件转化为和的形式，然后通过解方程组求得对应的首项和公差或者首项和公比，由此求得数列的通项公式.5.下列命题中，为真命题的是（ ）A. ，使得 B. C. D. ，是的充分不必要条件【答案】D【解析】【分析】对于A,C两个选项，利用指数函数和幂函数的性质进行排除，对于B选项，利用基本不等式的知识进行排除.对于D选项，利用不等式的性质和充要条件的知识来说明.【详解】对于A选项，由于对任意的实数都成立，故A选项错误.对于B选项，当时，不等式不成立.当时，故C选项错误.根据不等式的性质，当时，反过来不一定，故D选项正确.故选D.【点睛】本小题主要考查指数函数和幂函数的图像与性质，考查基本不等式使用的条件：一正二定三相等，考查全称命题与特称命题，考查充要条件的判断以及不等式的性质等知识，属于中档题.6.四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线与所成的角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】画出图像，将两条异面直线平移到一起，然后利用三角形的知识求得两条异面直线所成的角.【详解】画出图像如下图所示，将平移到的位置，连接，则角即是两条异面直线所成的角.由于三角形为等边三角形，故两条异面直线所成的角为.故选C.【点睛】本小题主要考查空间两条异面直线所成的角.要求空间两条异面直线所成的角，需要通过平移，将两条异面直线平移到有一个公共顶点的三角形内，然后通过解三角形求得异面直线所成的角.将异面直线平移的主要方法是通过平行四边形平移，或者通过中位线平移，或者通过面面平行来平移.7.已知满足，则的最大值为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A【解析】【分析】画出可行域，通过平移到边界位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，通过平移到点的位置，此时截距取得最大值，也即目标函数取得最大值为.故选A.【点睛】本小题主要考查线性规划知识，目标函数是线性型的.画出可行域后，平移目标函数到边界位置来取得最值.属于基础题.8.已知菱形的边长为2，点满足，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将两个向量，用表示，再根据向量数量积的运算，列方程，解方程求得的值.【详解】依题意 ,.故选A.【点睛】本小题主要考查平面向量的数量积运算，考查平面向量的加法和减法的运算，还考查了化归与转化的数学思想方法.属于中档题.9.已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的周期为B. 函数为偶函数C. 函数在上单调递增D. 函数的图象关于点对称【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的最低点求得，再结合图像过和这两个点，可求得的解析式，然后对选项逐一进行判断和排除，从而得出正确选项.【详解】由于三角函数图像最小值为，故.，将点代入，解得，再将代入，解得，故.函数的周期为，所以A选项错误. 为奇函数，故B选项错误.，故D选项错误.所以选C.【点睛】本小题主要考查利用三角函数的图像，求三角函数的解析式，并利用解析式求三角函数的最小正周期、单调区间等问题，综合性较强，属于中档题.10.已知双曲线的离心率为2，左右焦点分别为，点在双曲线上，若的周长为，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据离心率可得，根据双曲线的定义和三角形的周长，列方程组求得三角形的三条边长，然后利用勾股定理算出高，再用三角形面积公式计算出面积.【详解】根据离心率得，即，根据双曲线的定义，有，根据三角形的周长有，故，故三角形的高为，故面积为.故选B.【点睛】本小题主要考查双曲线的定义、双曲线的离心率和焦点三角形的面积.离心率在本题中的作用是将转化为的形式.在解答过程中，主要是方程的数学思想方法，利用双曲线的定义，得到一个方程，再利用题目所给的周长这个条件，又列出另一个方程，根据这两个方程可以求解出三角形的边长.11.在正方体中，点是侧面内的一动点，若点到直线与到直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（ ）A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线【答案】D【解析】【分析】由于到直线的距离，也即是的长度.由此将问题转化为到直线的距离和到点的距离相等，符合抛物线的定义.由此得出选项.【详解】画出图像如下图所示，由于到直线的距离，也即是的长度.由此将问题转化为到直线的距离和到点的距离相等，这恰好是抛物线的定义，故选D.【点睛】本小题主要考查空间点到直线的距离，考查圆锥曲线的定义，主要是抛物线的定义，属于基础题.12.设函数，直线是曲线的切线，则的最小值是（ ）A. B. 1 C. D. 【答案】C【解析】分析：设切点是，求出切线方程，可得，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求出的最小值即可的结果.详解：设切点是，由是切线斜率，切线方程为，整理得，记，当，递减；当，递增；故，即的最小值是故选C.点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与最值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。13.已知是定义在上的周期为2的奇函数，当时，则_。【答案】【解析】【分析】由函数的周期为，结合函数为奇函数，即可得解【详解】由于函数的周期为，故，由于函数为奇函数，所以.【点睛】本小题主要考查函数的周期性，考查函数的奇偶性以及函数值的求解策略.将大的数，通过周期变为小的数来求解.属于基础题.14.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为_。【答案】【解析】【分析】由三视图可知，该几何体为四棱锥，将四棱锥补形为正方体，利用正方体的对角线即为外接球的直径，来求得球的半径，进而求得球的体积.【详解】由三视图可知，该几何体为四棱锥，画图图像如下图.将四棱锥补形为正方体，利用正方体的对角线即为外接球的直径，即，所以球的体积为.【点睛】本小题主要考查三视图还原直观图，考查利用补形的方法求几何体外接球的体积，属于中档题.15.以下四个命题，其中正确的序号是_。从匀速传递的产品生产流水线上，每20分钟从中抽取一件产品进行检测，这样的抽样是分层抽样。两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1。在线性回归方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位。分类变量与，它们的随机变量的观测值为，当越小，“与有关系”的把握程度越大。【答案】【解析】是系统抽样；对于，随机变量K2(2)的观测值k越小，说明两个变量有关系的把握程度越小16.在中内角所对的边为，则边上的高为_。【答案】【解析】【分析】利用向量转化为，根据的值求出的值，再结合求得边长度.利用余弦定理求得边的长，最后利用三角形面积公式列方程，求得边上的高.【详解】设变上的高为.根据向量的数量积，有，由于，所以，故，结合解得，由余弦定理得.由三角形的面积公式得，解得.【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算（模的形式），考查同角三角函数的基本关系式，考查余弦定理和三角形面积公式.属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17.在数列中， 。（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和。【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将题目所给递推数列配成等差数列的形式，由此证得为等差数列，并由此求得数列的通项公式.（2）利用分组求和法和错位相减法求得数列的前项和.【详解】解：（1）因为 所以数列是公差为1，首项为的等差数列，所以。所以数列的通项公式为 （2）令 则 -得 所以 所以【点睛】本小题主要考查递推数列求通项，考查数列求和方法中的分组求和法和错位相减法，属于中档题.18.十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进行销售.为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分布在区间内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：（1）按分层抽样的方法从质量落在的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽2个，求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：A.所有蜜柚均以40元/千克收购；B.低于2250克的蜜柚以60元/个收购，高于或等于2250的以80元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】分析：（）由题得蜜柚质量在1750，2000）和2000，2250）的比例为2：3，应分别在质量为1750，2000），2000，2250）的蜜柚中各抽取2个和3个记抽取质量在1750，2000）的蜜柚为A1，A2，质量在2000，2250）的蜜柚为B1，B2，B3，则从这5个蜜柚中随机抽取2个，利用列举法能求出这2个蜜柚质量均小于2000克的概率（）由频率分布直方图可知，蜜柚质量在1500，1750）的频率为0.1，蜜柚质量在1750，2000），2000，2250），2500，2750），2750，3000）的频率依次为0.1，0.15，0.4，0.2，0.05若按A方案收购：根据题意各段蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250，求出总收益为457500（元）；若按B方案收购：收益为175060+325080=2502073+134=365000元方案A的收益比方案B的收益高，应该选择方案A详解：（1）由题得蜜柚质量在和的比例为，应分别在质量为的蜜柚中各抽取个和个.记抽取质量在的蜜柚为，质量在的蜜柚为，则从这个蜜柚中随机抽取个的情况共有以下种：其中质量小于克的仅有这种情况，故所求概率为.（2）方案好，理由如下：由频率分布直方图可知，蜜柚质量在的频率为同理，蜜柚质量在的频率依次为若按方案收购：根据题意各段蜜柚个数依次为于是总收益为（元）若按方案收购：蜜柚质量低于克的个数为蜜柚质量低于克的个数为收益为元方案的收益比方案的收益高，应该选择方案.点睛：本题考查概率的求法，考查两种方案的收益的求法及应用，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19.如图1，在中，,分别为，的中点，为的中点， ，将沿折起到的位置，使得平面平面， 为的中点，如图2（1）求证： 平面；（2）求点到平面的距离图1 图2【答案】（）见解析；（）【解析】分析：（）折叠前有，折叠后的中点为，则，从而，四边形为平行四边形，从而，可证平面（）由平面平面可以得到到平面的距离，从而可得，也就得到了，故可求得到平面的距离详解：（）取线段的中点，连接，因为在中， 分别为的中点，所以，因为，分别为的中点，所以， 所以，四边形为平行四边形，故因为平面,平面，所以平面 （）因为为的中点，,所以又因为平面平面，平面平面，故平面.由图有，则，故点睛：线面平行的证明通常需要在面中找到与已知直线平行的直线，常见的找线的方法是平行投影和中心投影立体几何中点到平面的距离可以利用面面垂直作出点到平面的距离，也可以利用等积法求点到平面的距离20.已知椭圆 ，若椭圆上一点与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.（1）求椭圆E的离心率；（2）如图，若直线与椭圆相交于且是圆的一条直径，求椭圆的标准方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】根据题意可知，代入椭圆方程化简后可求得离心率.（2）由（1）设出椭圆的方程和直线的方程，联立这两个方程，写出韦达定理，根据弦长公式列方程，由此求得的值，进而求得的值和椭圆方程.【详解】解：（1）由题意知点坐标为，代入椭圆方程可得，即， ， （2）设椭圆方程为，直线为， （*） 又 则 解得，此时，所以椭圆方程为【点睛】本小题主要考查椭圆的离心率的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆相交所得弦长公式.属于中档题.21.已知，.（）讨论的单调性；（）若，求实数的取值范围.【答案】（）详见解析；（）.【解析】试题分析：（）由函数的解析式可得 ，当时，在上单调递增；当时，由导函数的符号可知在单调递减；在单调递增.（）构造函数，问题转化为在上恒成立，求导有，注意到.分类讨论：当时，不满足题意. 当时，在上单调递增；所以，满足题意.则实数的取值范围是.试题解析：（） ，当时，.在上单调递增；当时，由，得.当时，；当时，.所以在单调递减；在单