初等数学总结

数学,字面上看就是数的学问,但这个概念早已经过时了,只是数学起源于数罢了.数学:纯运动,这个世界的秘密所在.抽象:从运动体中抽出一些运动.(抽象出的运动不会独立存在,但它是存在的,抽象不是幻象)逻辑:1.抽象出的有规律的运动 2.特指对脑运动抽象出的运动(概念、判断、推理)现代数学三大基础科目:代数、几何、分析数学也分初等数学(小学、中学)高等数学(大学) 高等数学包括：微积分，高等代数，概率论与数理统计代数分为：初等代数：以方程为基础的有限元次的代数 高等代数包括：线性代数、多项式代数第一章 数 1数的分类及概念 N 自然数 Z 整数 Q有理数 R 实数 C复数自然数：表示物体的个数无理数：无限不循小数数轴上所有的数为实数数学上并没有给出负数的表示符号,只是用正数的相反数作为标记. “”只表示相反,而不是表示负数,负数就没有标记.2非负数：正实数与零的统称。（表为：x0） 3倒数 两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数4相反数 任意的一个实数a，它的相反数是-a5数轴：定义（“三要素”） 原点、正方向、单位长度作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。 6奇数、偶数、质数、合数（正整数自然数） 定义及表示： 奇数：不能被除数整除的自然数 2n+1 偶数：能被除数整除的自然数 2n（n为自然数）整除是数学中两个自然数(不包括0）之间的一种关系 a/b为整数，a 能被b 整除约数：a、b为自然数 a能被b整除，则b为a 的约数倍数：a、b为自然数 a能被b整除，则a为b 的倍数质数：约数只有1和其本身的自然数合数：约数不只1和其本身的自然数 1既不是质数也不是合数公约数：几个数共有的约数（有限个，既有最大也有最小）公倍数：几个数共有的倍数（无限个，只有最小公倍数）互质数：两个数公约数只有1质因子：每个自然数都可分解为若干个质数相乘 分解质数叫被分解自然数的质因子最简分数：分子分母互质真分数：分子比分母小 假分数相反通分：把几个单位不同的分数化成相同单位（大小不变）约分：把一个分数化成与它相等的分子分母较小的分数7绝对值：定义几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。 a0,符号“”是“非负数”的标志;数a的绝对值只有一个;处理任何类型的题目，只要其中有“”出现，其关键一步是去掉“”符号。8. 因数亦称“因子”。一整数被另一整数整除,后者即是前者的因数,如1,2,4都为8的因数【 漢 典 网】二、 实数的运算 1 运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）求n个相同因数a的积的的运算,叫作乘方,记作an,a为底数,n为指数,an叫幂. a0时，an0;a0时，an0（n是偶数），an 0（n是奇数） 零指数：a0=1（a0） 负整指数：a-p=1/ap （a0,p是正整数） xn=a，则x叫做a的n次方根，记作nax，na叫做根式。在根式na中，n叫做根指数，a叫做被开方数，“”叫做根号。幂的运算性质1知识结构幂的运算性质同底数幂相乘幂的乘方积的乘方同底数幂相除2知识要点（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 （2）幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（3）积的乘方，等于每个因式分别乘方，即（4）同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 （a0）（5）零指数和负指数：规定a0=1，a-p=1/ap（其中a0，p为正整数） （其中，m、n均为整数）2 运算定律（五个加法乘法交换律、结合律;乘法对加法的 分配律） 3 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左” 到“右”（如5 5）;C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。 4.科学计数法:用10的幂的形式，有时可以方便的表示日常生活中遇到的一些较大的数 例如:3108 有效数字: 有效数字是指从左面数不为0的数第二章 代数式 一、 重要概念 1.代数式与有理式 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。代数式包括有理式和无理式，有理式包括整式和分式，整式包括单独的数或字母2.整式和分式 含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。无理式含有根式且根式中有字母的代数式。没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。 有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。整式和分式统称为有理式。 3.单项式与多项式 没有加减运算的整式叫做单项式。（数字与字母的积包括单独的一个数或字母） 几个单项式的和，叫做多项式。 说明：根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。 4.系数与指数 区别与联系：从位置上看;从表示的意义上看 5.同类项及其合并所含字母(准确地说，是自变量）相同,并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项。 几个常数项也是同类项 条件：字母相同;相同字母的指数相同 合并依据：乘法分配律 6.根式 表示方根的代数式叫做根式。 含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。 注意：从外形上判断;区别：sqrt2是根式，但不是无理式（是无理数）。 7.算术平方根 平方根就是数字开跟号所得的数.有正负区分.算数平方根就是平方根的绝对值.是正数正数a的正的平方根8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化 (1)式子（a0） 叫做_二次根式_，（ 与 必是非负数）. (2)最简二次根式的条件是_：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因式。(3)化成最简二次根式后，被开方数相同。这样的二次根式_叫做同类二次根式. (4)两个含有根式的代数式相乘,如果它们的积不含有根式,那末这两个代数式_叫做互为有理化因式. (5)通过适当的变形化去代数式分母中根号的运算_叫做分母有理化.满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式9分式的性质 (1)基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变(2)繁分式：分式的分子或分母含有分式,称这个分式为繁分式10乘法公式：平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； 立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；完全立方公式：a3+3a2b3ab2+b3=(a+b) 3 a3-3a2b3ab2-b3=(a-b) 311因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也作分解因式。A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) kx2+mx+n型的式子的因式分解 如果如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d)D.分组分解法;E.求根公式法。例如在分解2x4+7x3-2x2-13x+6时，令2x4+7x3-2x2-13x+6=0，则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1所以2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)多项式因式分解的一般步骤： 如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； 如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 第三章 方程（组） 一、 基本概念 带有未知数的等式 根为符合等式的值,解为符合等式且在定义域内的值.二、 解方程的依据等式性质 1a=ba+c=b+c 2a=bac=bc (c0) 三、 解法 1一元一次方程的解法：去分母去括号移项合并同类项 系数化成1解。 2 二元一次方程组的解法：基本思想：“消元”方法：代入法 加减法 四、 一元二次方程 1定义及一般形式： 2解法：直接开平方法（注意特征） 配方法（注意步骤推倒求根公式） 公式法： 因式分解法（特征：左边=0） 3根的判别式：=b2-4ac (读做delta)（1）当0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当0时，方程有两个相等的实数根；（3）当0时，方程没有实数根（1）和（2）合起来：当0时，方程有两实数根4根与系数顶的关系： 韦达定律，主要用于一元二次方程，它揭示了根与系数的关系。 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0 且=b2-4ac0)中 两个根为X1和X2 则X1+X2= -b/a ; X1*X2=c/a x=(-b(b2-4ac)/2a 配方法： 1.化二次系数为1. x2+(b/a)x+c/a=0 2两边同时加上一次项系数一半的平方； x2+(b/a)x+(b/2a)2=(b/2a)2-c/a 3用直接开平方法求解. x+(b/2a)2=(b2-4ac)/4a2 当b2-4ac=0 (a0)时 x+b/2a+ -根号下(b2-4ac)/4a2 x=-b/2a+ -根号下(b2-4ac)/4a2=-b+ -根号下b2-4ac /2a 若b=0，方程有两个互为相反数实根. 若c=0，方程有一根为零.四、 可化为一元二次方程的方程 1分式方程 2无理方程 3简单的二元二次方程组 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。 五、 列方程（组）解应用题 一概述 列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是： 审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。 设元（未知数）。直接未知数间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。 用含未知数的代数式表示相关的量。 寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。 解方程及检验。 答案。 综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。 第四章 统计初步 统计的特点是用样本的特征数去估计总体的情况。一、 重要概念 1.总体：考察对象的全体。 2.个体：总体中每一个考察对象。 3.样本：从总体中抽出的一部分个体。 4.样本容量：样本中个体的数目。 5.众数：一组数据中，出现次数最多的数据。 6.中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数据的平均数） 二、 计算方法 1.样本平均数：所给出的样本的总和除以样本的个数得出的值.通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。 2样本方差：样本中各数据与样本平均数的差的平方的平均数叫做样本方差.样本方差是刻划数据的离散程度（波动大小）的特征数，当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体方差。 3样本标准差：样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。第五章 函数及其图象 虽然函数形式上是定量代数的深化,但函数思想却是起源于解析几何.解析几何只是函数运用的一小部分, 是函数与几何的结合应用,人们为了解决空间问题而产生解析几何,后从解析几何中剖离出函数.(函数的精华就在于变量)函数的定义： 设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作 y=f(x).(函数应属于代数,分析数学是建立在函数基础之上的分析极限的数学)函数的三要素，即定义域、值域和对应法则一、平面直角坐标系1各象限内点的坐标的特点 2坐标轴上点的坐标的特点 3关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点 4坐标平面内点与有序实数对的对应关系 二、函数 1表示方法：解析法;列表法;图象法。（1）解析法：就是把两个变量函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。优点：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质。 （2）列表法：用列出表格来表示两个变量的函数关系。如：平方表、平方根表、三角函数表、利息表等。 优点：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值。 （3）图象法：利用函数的图象表示两个变量的函数关系。如：股票图示、气象台应用的自动记录器等。 优点：直观形象地表示出函数的变化情况。2确定自变量取值范围的原则：使代数式有意义;使实际问题有意义。 3画函数图象：列表(选几点列出X,Y的值);描点;连线。 三、几种特殊函数 （定义图象性质） 1 正比例函数 (两个变量的比为一定值K,这两个变量为正比例关系)定义：y=kx(k0) 或y/x=k。 图象：直线（过原点） 性质：k0，k0,k0时，开口方向向上，a0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a；在x|x-b/2a上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是y|y4ac-b2/4a相反不变当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax2+c(a0)7.定义域：R 值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）(4ac-b2)/4a，正无穷）；t，正无穷） 奇偶性：偶函数 周期性：无 解析式： y=ax2+bx+c一般式 a0 a0，则抛物线开口朝上；a0，则抛物线开口朝下； 极值点：（-b/2a，(4ac-b2)/4a）； =b2-4ac, 0，图象与x轴交于两点： （-b+/2a，0）和（-b+/2a，0）； 0，图象与x轴交于一点： （-b/2a，0）； 0，图象与x轴无交点； y=a(x-h)2+t配方式 此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b2)/4a）；编辑本段二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax2+bx+c=0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2 +k，y=ax2+bx+c(各式中，a0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解析式 y=ax2y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 顶点坐标 (0，0) (h，0) (h，k) (-b/2a，sqrt4ac-b2/4a) 对 称 轴 x=0 x=h x=h x=-b/2a 当h0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到，当h0,k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h0,k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h0,k0时，开口向上，当a0，当x -b/2a时，y随x的增大而减小；当x -b/2a时，y随x的增大而增大若a0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根这两点间的距离AB=|x-x| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2（-b/2a）A |（A为其中一点的横坐标）当=0图象与x轴只有一个交点； 当0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y0；当a0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y0(aba+cb+c abacbc(c0) abacbc(cb,bcac ab,cda+cb+d. 5一元一次不等式的解、解一元一次不等式 6一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表示解集） 第七章 相似形 相似三角形的判定和性质 内容提要 一、本章的两套定理 第一套（比例的有关性质）： 涉及概念：第四比例项比例中项比的前项、后项，比的内项、外项黄金分割等。 第二套： 注意：定理中“对应”二字的含义; 平行相似（比例线段）平行。 二、相似三角形性质 1对应线段;2对应周长;3对应面积。 三、相关作图 作第四比例项;作比例中项。 四、证（解）题规律、辅助线 1“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。 2找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。 3添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。 4对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。 5对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。 第八章 解直角三角形 内容提要 一、三角函数 1定义：在RtABC中，C=Rt，则sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA= . 2 特殊角的三角函数值： 0 30 45 60 90 sin cos tg / ctg / 3 互余两角的三角函数关系：sin(90-)=cos; 4 三角函数值随角度变化的关系 5查三角函数表 二、解直角三角形 1 定义：已知边和角（两个，其中必有一边）所有未知的边和角。 2 依据：边的关系： 角的关系：A+B=90 边角关系：三角函数的定义。 注意：尽量避免使用中间数据和除法。 三、对实际问题的处理 1 俯、仰角： 2方位角、象限角： 3坡度： 4在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。 四、应用举例（略） 第九章 圆 圆的重要性质;直线与圆、圆与圆的位置关系;与圆有关的角的定理;与圆有关的比例线段定理。 内容提要 一、圆的基本性质 1圆的定义（两种） 2有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 3“三点定圆”定理 4垂径定理及其推论 5“等对等”定理及其推论 5 与圆有关的角：圆心角定义（等对等定理） 圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系） 弦切角定义（弦切角定理） 二、直线和圆的位置关系 1.三种位置及判定与性质： 2.切线的性质（重点） 3.切线的判定定理（重点）。圆的切线的判定有 4切线长定理 三、圆换圆的位置关系 1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切) 2.相切（交）两圆连心线的性质定理 3.两圆的公切线：定义性质 四、与圆有关的比例线段 1.相交弦定理 2.切割线定理 五、与和正多边形 1.圆的内接、外切多边形（三角形、四边形） 2.三角形的外接圆、内切圆及性质 3.圆的外切四边形、内接四边形的性质 4.正多边形及计算 中心角： 内角的一半： (右图) （解RtOAM可求出相关元素, 、 等） 六、 一组计算公式 1.圆周长公式 2.圆面积公式 3.扇形面积公式 4.弧长公式 5.弓形面积的计算方法 6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算 七、 点的轨迹 六条基本轨迹 八、 有关作图 1.作三角形的外接圆、内切圆 2.平分已知弧 3.作已知两线段的比例中项 4.等分圆周：4、8;6、3等分 九、 基本图形 十、 重要辅助线 1.作半径 2.见弦往往作弦心距 3.见直径往往作直径上的圆周角 4.切点圆心莫忘连 5.两圆相切公切线（连心线） 6.两圆相交公共弦第十一章 几何定理1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c2 47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形 48定理 四边形的内角和等于360 49四边形的外角和等于360 50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）180 51推论 任意多边的外角和等于360 52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 61矩形性质定理2 矩形的对角线相等 62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等 65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（ab）2 67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形 68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的 72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一 点平分，那么这两个图形关于这一点对称 74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75等腰梯形的两条对角线相等 76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77对角线相等的梯形是等腰梯形 78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第 三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它 的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的 一半 L=（a+b）2 S=Lh 83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d 84 (2)合比性质 如果ab=cd,那么(ab)b=(cd)d 85 (3)等比性质 如果ab=cd=mn(b+d+n0),那么 (a+c+m)(b+d+n)=ab 86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应 线段成比例 87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA） 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS） 94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS） 95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平 分线的比都等于相似比 97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值 100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等 于它的余角的正切值 101圆是定点的距离等于定长的点的集合 102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104同圆或等圆的半径相等 105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半 径的圆 106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直 平分线 107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线 108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距 离相等的一条直线 109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。 110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111推论1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 相等，所对的弦的弦心距相等 115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所 对的弦是直径 119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它 的内对角 121直线L和O相交 dr 直线L和O相切 d=r 直线L和O相离 dr 122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 127圆的外切四边形的两组对边的和相等 128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 相等 131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项 132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项 133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 135两圆外离 dR+r 两圆外切 d=R+r 两圆相交 R-rdR+r(Rr) 两圆内切 d=R-r(Rr) 两圆内含dR-r(Rr) 136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137定理 把圆分成n(n3): 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 139正n边形的每个内角都等于（n-2）180n 140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 141正n边形的面积Sn=pnrn2 p表示正n边形的周长 142正三角形面积3a4 a表示边长 143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为 360，因此k(n-2)180n=360化为（n-2）(k-2)=4 144弧长计算公式：L=n兀R180 145扇形面