浙江省杭州市八校联盟学年高一数学上学期期中试题 (1)

2018学年第一学期杭州八校联盟期中联考高一年级数学学科试题一、选择题。1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据元素和集合的关系可得解.【详解】由集合，又,所以集合.故选D.【点睛】本题主要考查了元素和集合的关系，属于基础题.2.函数 的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由函数可知，解不等式组即可得定义域.【详解】由函数，可得，解得.所以函数的定义域为：.故选C.【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域，属于基础题.3.已知，且，则函数与函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由函数与函数互为反函数，图像关于对称易得解.【详解】由函数与函数互为反函数，则图像关于对称，从而排除A,C,D.易知当时，两函数图像与B相同.故选B.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数互为反函数的性质，属于基础题.4.已知函数，若，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由函数的解析式结合对数的运算法则可得，从而代入条件可得解.【详解】函数，可得.从而有：.所以由，可得.故选D.【点睛】本题主要考查了部分奇偶性的应用，利用对数的运算法则可得中心对称性，属于基础题.5.函数的定义域为R，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】函数的定义域为R，即为在R上恒成立.当时，显然不在R上恒成立；当时，有，解得.综上.故选B.【点睛】本题主要考查了二次函数在R上的恒成立问题，利用抛物线的开口及判别式判断与x轴是否有公共点即可，属于基础题.6.已知函数 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据自变量函数的范围，结合分段函数的表达式求解即可.【详解】由函数 ，可得.所以.故选C.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值，属于基础题.7.若函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合二次函数的图像可知函数对称轴，通过化简函数，利用反比例函数的性质可得在区间上是减函数，有，从而得解.【详解】由函数在区间上是增函数，可得对称轴，得.又在区间上是减函数，所以，得.综上：.故选B.【点睛】本题主要考查了二次函数和反比例函数的单调性，属于常考题型.8.已知函数（是常数，且）在区间上有最大值3，最小值，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过换元令，然后由单调递减，结合的范围可列方程解得.【详解】令，最大值为0，最小值为.则当时，单调递减.所以，解得，有，故选A.【点睛】本题主要考查了指数型复合函数的最值问题，通常的解题的方法为换元，解题时注意新变元的范围，属于常考题型.二、填空题。9.比较大小_.【答案】【解析】【分析】借助于函数为增函数，即可比较大小.【详解】由函数为增函数，且，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性的应用，属于基础题.10.函数的图象所经过的定点坐标是_.【答案】【解析】【分析】由对数的运算，结合函数结构即可得解.【详解】易知函数满足函数所以函数图像恒过定点.故答案为：.【点睛】本题主要考查了对数的运算，属于基础题.11.设，若只有一个子集，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由只有一个子集，知，从而可得.【详解】若只有一个子集，则必然为空集，即.由，则.故答案为：.【点睛】本题主要考查了集合的子集的个数及集合的交集运算，属于基础题.12.设映射：，在的作用下，A中元素与B中元素对应，则与B中元素对应的A中元素是_.【答案】【解析】【分析】设A中元素与B中元素，则有，解方程组即可得解.【详解】根据题意由A中元素与B中元素对应，设A中元素与B中元素，则有，解得.故答案为：.【点睛】本题主要考查映射的概念和应用，利用条件中的映射关系，建立方程组，解方程即可13.已知 是偶函数，定义域为 ，则它的单调递减区间是_.【答案】【解析】【分析】由函数为偶函数知定义域关于原点对称，图像关于y轴对称，从而解得，再利用二次函数的性质结合定义域即可得减区间.【详解】由 是偶函数，易知，即.定义域为，有，即.所以，定义域为.函数为开口向下的抛物线，对称轴为.所以函数的单调减区间为：.故答案为：.【点睛】本题主要考查了偶函数的性质及二次函数的性质，属于基础题.14.已知函数 ，则在区间上的最小值是_.【答案】5【解析】【详解】当时，有.又时，.所以当与时有相同的最小值，而时，最小值为5.当时，所以在区间上的最小值是5.故答案为：5.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、周期性的应用. 函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.15.已知函数是定义在R上的奇函数，若对任意给定的实数，恒成立，则不等式的解集是_.【答案】【解析】【分析】整理题中不等式可得，从而得函数是R上的减函数，由函数是定义在R上的奇函数，有，结合函数单调性，不等式转化为或，从而得解.【详解】对任意给定的实数，恒成立，整理得：，即.从而得函数是R上的减函数.又函数是定义在R上的奇函数，有.所以当时，当时，.所以不等式，有：或.即或.解得：.故答案为：.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.三、解答题。16.设全集，已知集合，（1）求；（2）记集合，已知集合，若，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）解二次方程可得集合N，再利用补集和交集的定义求解即可；（2）由，可得，从而得，解不等式即可得解.【详解】（1）因为，则，又因为 ，从而有 （2）因为，所以，又因为，所以，解得，即实数的取值范围是【点睛】本题主要考查了集合的运算及集合关系，属于基础题.17.计算下列各式的值：（1）；（2）【答案】（1）-5；（2）-1【解析】【分析】（1）由根式与指数的运算法则运算即可得解；（2）由对数的运算法则运算即可得解.【详解】（1）原式；（2）原式.【点睛】本题主要考查了指数、根式、对数的运算性质，属于基础题.18.已知幂函数的图象过点，（1）求函数的解析式，并求出它的定义域；（2）若偶函数满足，当时，写出函数的解析式，并求它的值域【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由函数为幂函数，可设，代入题中点即可得解析式，从而可得定义域；（2）由偶函数时，代入求解析式即可，从而可得值域.【详解】（1）设，由条件得，即，函数的定义域为.（2）当时， 当时，故有 函数的值域为.【点睛】利用函数奇偶性求函数解析式3个步骤：1.“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，就应在哪个区间上设；2.转化到已知区间上，代入已知的解析式；3.利用的奇偶性，写出的解析式.19.已知函数是奇函数，（1）求实数m的值；（2）判断函数的单调性并用定义法加以证明；（3）若函数在上的最小值为，求实数a的值【答案】（1）m=-1；（2）见解析；（3）或【解析】【分析】（1）由奇函数满足，即可求解m，再检验是否为奇函数即可；（2）利用定义法证明：设是定义在区间上的任意两个数，且，化简和0比较大小即可；（3）由（2）可知函数为增函数，所以当时有最小值，代入解方程即可.【详解】（1）由，得，经检验符合题意.本题也可用恒成立求解.（2）函数是区间上的增函数.下面用定义法证明：设是定义在区间上的任意两个数，且，则.因为，得，.显然有，从而有.因为当时，有成立，所以是区间上的增函数.（3）由单调性知，当时有最小值，则，即，解得或.【点睛】本题主要考查了奇偶性的应用及利用定义证明函数的单调性，属于中档题.20.已知函数在区间上有最大值0，最小值，（1）求实数的值；（2）若关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围；（3）若，如果对任意都有，试求实数a的取值范围。【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由二次函数性质可知在区间上单调递增，从而得，解方程组求解即可；（2）令，则，转化为关于t的方程在区间上有解，记，由的范围，可得，即可得解；（3）分析条件可得恒成立，当时，显然成立，当时，转化为恒成立，即恒成立，从而转化为求不等式中函数的最值，即可得解.【详解】（1）因为，为开口向上的抛物线，对称轴为所以在区间上单调递增，所以 ，即，解得 （2）因为，得关于x的方程在上有解.令，则，转化为关于t的方程在区